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公众号：云儿和花
湖南师大附中 2024—2025 学年意高二第一学期第一次大徐习
数学
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据复数的除法运算，即可求出答案.
【详解】由题意得 ，
故选：A
2. 设集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由绝对值不等式解出集合 ，再由对数的单调性得到集合 ，最后求并集即可；
【详解】由题意可得 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，
故选：C.
3. 若圆锥的轴截面是面积为 的等边三角形，则该圆锥的表面积为（ ）公众号：云儿和花
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆锥的底面半径为r，根据轴截面面积求出r，结合圆锥侧面积公式，即可求得答案.
【详解】设圆锥的底面半径为r，
由于圆锥的轴截面是等边三角形，则该圆锥的高为 ，母线长为2r，
又轴截面面积为 ，故 ，
则该圆锥的表面积为 ，
故选：B
4. 若角 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据给定条件，利用诱导公式求出 ，再利用二倍角的余弦公式，结合齐次式法求值.
【详解】由 ，得 ，
即 ，则
所以
.公众号：云儿和花
故选：B
5. 已知平面上三个单位向量 满足 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将 平方后求出 ，再根据数量积的运算律，即可求得答案.
【详解】由题意知平面上三个单位向量 满足 ，则 ，
即 ，则 ，
故 ，
故选：C
6. 若函数 在定义域 上的值域为 ，则称 为“ 函数”．已知函数
是“ 函数”，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据“ 函数”的定义确定 的值域为 ，结合每段上的函数的
取值范围列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】由题意可知 的定义域为 ，公众号：云儿和花
又因为函数 是“ 函数”，故其值域为 ；
而 ，则值域为 ；
当 时， ，
当 时， ，此时函数在 上单调递增，则 ，
故由函数 是“ 函数”可得 ，
解得 ，即实数 的取值范围是 ，
故选：C
7. 已知 两点的坐标分别为 ，两条直线 和
的交点为 ，则 的最大值为（ ）
A. B. C. 1 D. 2
【答案】D
【解析】
【分析】由直线所过定点和两直线垂直得到点 的轨迹，再设 ，结合辅助角公式求出即可；
【详解】
由题意可得直线 恒过定点 ， 恒过定点 ，
且两直线的斜率之积为 ，所以两直线相互垂直，
所以点 在以线段 为直径的圆上运动，公众号：云儿和花
，设 ，
则 ，
所以 ，
所以当 时，即 时， 取得最大值 ，此时点 的坐标为 .
故选：D.
8. 已知点P在椭圆τ： (a>b>0)上，点P在第一象限，点P关于原点O的对称点为A，点P关
于x轴的对称点为Q，设 直线AD与椭圆τ的另一个交点为B，若PA⊥PB，则椭圆τ的离心率
e=（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】设 的坐标，由题意可得 的坐标，再由向量的关系求出 的坐标，求出 的斜率，设
坐标， 在椭圆上，将 的坐标代入椭圆的方程，两式相减所以可得 ，再由
可得 的关系，进而求出离心率．
详解】设 ，则 ， ，则 ，设 ，
【公众号：云儿和花
则 两式相减得到： ，
即 ，
故 ，即 ，故 ，故 .
故选：C.
【点睛】本题考查了椭圆的离心率，意在考查学生的计算能力和转化能力，属于中档题.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9. 若圆 上至多存在一点，使得该点到直线 的距离为2，
则实数 可能为（ ）
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】BCD
【解析】
【分析】根据圆的方程确定圆心和半径以及 ，再结合题意列出相应不等式，即可求得答案.
【详解】圆 即圆 ,
需满足 ，则圆心为 ，半径为
圆心 到直线 的距离为 ，
要使圆 上至多存在一点，使得该点到直线 的距离为2，
需满足 ，解得 ，结合选项可知6，7，8符合题意，
故选：BCD
10. 已知函数 的定义域为 为偶函数， 为奇函数，则下列选项正确的是（ ）公众号：云儿和花
的
A. 图象关于直线 对称
B. 的图象关于点 对称
C.
D. 的一个周期为8
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据函数的奇偶性可推出函数的对称性，判断AB；利用赋值法求出 的值，结合对称性可求
，判断C；结合函数奇偶性、对称性可推出函数的周期，判断D.
【详解】由于函数 的定义域为 为偶函数，
则 ，即 ，则 的图象关于直线 对称，A正确；
又 为奇函数，则 ，即 ，
故 的图象关于点 对称，B正确；
由于 ，令 ，则 ，
又 的图象关于直线 对称，故 ，C错误；
又 ， ，则 ，
故 ，即 ，则 ，
即 的一个周期为8，D正确，
故选：ABD
11. 在棱长均为1的三棱柱 中， ，点 满足
，其中 ，则下列说法一定正确的有（ ）公众号：云儿和花
A. 当点 为三角形 的重心时，
B. 当 时， 的最小值为
C. 当点 在平面 内时， 的最大值为2
D. 当 时，点 到 的距离的最小值为
【答案】BCD
【解析】
【分析】将 用 表示，再结合 求出 ，即可判断A；将
平方，将 代入，再结合基本不等式即可判断B；当点 在平面 内时，则存在唯
一实数对 使得 ，再根据 ，求
出 ，再根据 即可判断C；求出 在 方向上的投影，再利用勾股定理结合基本不
等式即可判断D.
【详解】对于A，当点 为三角形 的重心时， ，
所以 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，故A错误；
对于B，
，
因为 ，所以 ，公众号：云儿和花
则
，
当且仅当 时取等号，
所以 ，
所以 ，所以 的最小值为 ，故B正确；
对于C，当点 在平面 内时，
则存在唯一实数对 使得 ，
则 ，又因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的最大值为2，故C正确；
对于D，当 时，由A选项知，
，
在 方向上的投影为 ，
所以点 到 的距离 ，公众号：云儿和花
因为 ，所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以点 到 的距离的最小值为 ，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：当点 在平面 内时，则存在唯一实数对 使得
，再根据 ，求出 ，是解决C
选项的关键.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12. 已知随机事件 满足 ，则 ____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据随机事件的和事件的概率计算公式，即可求得答案.
【详解】由题意可知 ，
故 ,
则 ，
故答案为：
13. 已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为 和 ，其顶点都在同一球面上，则该球的表面
积为__________．
【答案】
【解析】公众号：云儿和花
【分析】分别求得上下底面所在平面截球所得圆 的半径，找到球心，求得半径，再由球的表面积公式可得
结果．
【详解】
由题意设三棱台为 ，如图，
上底面 所在平面截球所得圆的半径是 ， 为上底面截面圆的圆心
下底面 所在平面截球所得圆的半径是 ， 为下底面截面圆的圆心
由正三棱台的性质可知，其外接球的球心 在直线 上，
当 在线段 上时，轴截面中由几何知识可得 ，无解；
当 在 的延长线上时，可得 ，解得 ，
因此球的表面积是 ．
故答案为：
14. 已知2024是不等式 的最小整数解，则 的取值范围为____________．
【答案】
【解析】
【分析】结合分式不等式和对数函数与指数函数互换的性质变形不等式，再分 大于零和小于零时
分类讨论即可；公众号：云儿和花
【详解】由题意可得 ，
变形不等式可得 ，
当 时，
有 ，由指数函数和对数函数的互化并整理可得 ，
即 ，解得 或 （舍去），
从而 ，
又 时 ，
所以要使2024是不等式 的最小整数解，有 ，
解得 ，
所以 ，
当 时，注意到 ，
此时，不等式的分子大于零，不符合题意，
综上， 的取值范围为 .
为
故答案 ： .
四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，
得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：公众号：云儿和花
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值 ，将该指标大于 的人判定为阳性，小于或等于 的人
判定为阴性．此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为 ；误诊率是将未患病者判定
为阳性的概率，记为 ．假设数据在组内均匀分布．
（1）当漏诊率 时，求临界值 和误诊率 ；
（2）已知一次调查抽取的未患病者样本容量为100，且该项医学指标检查完全符合上面频率分布直方图
（图2），临界值 ，从样本中该医学指标在 上的未患病者中随机抽取2人，则2人中恰有一
人为被误诊者的概率是多少？
【答案】（1） ，
（2）
【解析】
【分析】（1）由图1，根据漏诊率 列式求出 ，再由图2求出误诊率 ；
（2）根据图2求出100个未患病者中，该项医学指标在 中的人数以及被误诊者的人数，再利用列
举法和古典概型的概率公式可求出结果.
【小问1详解】
依题可知，图1第一个小矩形的面积为 ，所以 ，公众号：云儿和花
所以 ，解得 ，
．
【小问2详解】
由题可知，100个未患病者中，该项医学指标在 中的有 人，
其中被误诊者有 人，
记随机抽取的2人恰有一人为被误诊者为事件A．分别用a，b，c，d，E，F表示这6人，E，F代表被误
诊的2人，
样本空间 ，
事件 ，故 ， ，
，故2人中恰有一人为被误诊者的概率是 ．
16. 已 知 圆 ， 过 点 的 直 线 与 圆 交 于 两 点 ， 点 满 足
，其中 为坐标原点．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）若 的面积为2，求 ．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设M(x,y)，求出圆心坐标，利用 的数量积为零求出轨迹方程即可；
（2）设圆心到直线的距离为 ，由三角形面积公式求出 ，再利用弦长公式求解即可；
【小问1详解】公众号：云儿和花
由 可得点 为线段 的中点，设M(x,y)，
圆方程化为标准方程为 ，所以圆心 ，半径 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
整理可得 ，
所以点 的轨迹方程为 ，
【小问2详解】
设圆心到直线的距离为 ，
因为 为 的中点，且 ， 的面积为2， ，
所以 ，即 ，解得 ，
由弦长公式可得 .
17. 如图，在四棱锥 中，底面 是矩形， ， ，
，点M，N分别是棱 ， 的中点.公众号：云儿和花
（1）求证： 平面 ；
（2）若平面 平面 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】（1）见解析（2）
【解析】
【分析】（1）取 的中点为Q，连接 ， ，由平面几何知识可得 且 ，进而
可得 ，由线面平行的判定即可得证；
（2）过点P作 交 于点E，作 交CD于点F，连接 ，取 的中点为O，连接
，建立空间直角坐标系后，求出平面 的一个法向量为 、直线 的方向向量 ，利用
即可得解.
【详解】（1）证明：取 的中点为Q，连接 ， ，如图：公众号：云儿和花
又点N是 的中点，则 且 ，
又点M是 的中点，底面 是矩形，
则 且 ，
∴ 且 ，∴四边形 是平行四边形，∴ ，
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2）过点P作 交 于点E，作 交CD于点F，连接 ，
则 ， ，∴ 平面 ，
又 平面 ，∴平面 平面 ，
∵ ， ， ，
∴ ， ， ， .
设平面 平面 ，可知 ，
∵平面 平面 ，∴ ，∴ ，
取 的中点为O，连接 、 ，则 平面 ， ，
∴ 、 、 两两垂直，
以O为坐标原点，分别以 ， ， 所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系, ，如图所
示，公众号：云儿和花
则 ， ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则由 ，令 可得 .
设直线 与平面 所成角为 ，
则
∴直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【点睛】本题考查了线面平行的判定及利用空间向量求线面角，考查了空间思维能力与运算求解能力，属
于中档题.
18. 已知P( ， )是椭圆C： (a>b>0)上一点，以点P及椭圆的左、右焦点F，F 为顶点
1 2
的三角形面积为2 ．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）过F 作斜率存在且互相垂直的直线l，l，M是l 与C两交点的中点，N是l 与C两交点的中点，求
2 1 2 1 2
△MNF 面积的最大值．
2公众号：云儿和花
【答案】（1） ；
（2） ﹒
【解析】
【分析】(1)由椭圆过的点的坐标及三角形的面积可得 ， ， 之间的关系，求出 ， 的值，进而求出
椭圆的标准方程；
(2)由题意设直线 的方程，与椭圆联立求出两根之和，进而求出交点的中点 的纵坐标，同理求出 的
纵坐标，进而求出 面积的表达式，换元由函数的单调性求出其最大值．
【小问1详解】
由题意可得 ，解得： ， ，
∴椭圆的标准方程为： ；
【小问2详解】
由(1)可得右焦点 ，
由题意设直线 的方程为： ，设直线与椭圆的交点 ， ， ， ，则中点 的纵坐标
为 ，
联立直线 与椭圆的方程 ，公众号：云儿和花
整理可得： ， ，∴ ，
同理可得直线 与椭圆的交点的纵坐标 ，
∴
，
设 ，令 ，则 ，令 ， ，
， ， 恒成立，∴ 在 ， 单调递增，
∴ ．
∴ 面积的最大值为： ．
19. 基本不等式是最基本的重要不等式之一，二元基本不等式为 ．由低维到高维，知识与
方法上的类比是探索发展的重要途径，是发现新问题、新结论的重要方法．基本不等式可以推广到一般的
情形：对于 个正数 ，它们的算术平均数 （注：
）不小于它们的几何平均数 （注：
），即 ，当且仅当 时，等号成立．公众号：云儿和花
（1）已知 ，求 的最小值；
（2）已知 且 ．
（ⅰ）求证： ；
（ⅱ）当 ，求 的最小值，其中 ．
【答案】（1）
（2）（ⅰ）证明见解析（ⅱ）
【解析】
【分析】（1）直接使用均值不等式即可证明 ，再构造取到等号的例子即可；
（2）（ⅰ）使用适当的 元和 元均值不等式，再将所得结果相乘即可；（ⅱ）先研究函数
的性质，再利用相应性质得到结果.
【小问1详解】
由均值不等式得 .
而当 ， 时，有 ， .
所以 的最小值是 .
【小问2详解】
（ⅰ）由于 ， ，故对 ，由均值不等式有公众号：云儿和花
，
.
将二者相乘，得 .
再将该不等式对 相乘，即得
.
（ⅱ）对 ，设 .
则 ， .
对 ，设 ， .
则 ， ，所以 在 上递增.
所以对 有 ，对 有 .
这表明 在 上递减，在 上递增，所以由 有
.
这就得到 ，同理有 ，即
.
再设 ， .
则 ， .
所以 在 上递减.
而 ， .公众号：云儿和花
所以一定存在 ，使得对 有 ，对 有 .
故 在 上递增，在 上递减，而 ，结合 的单调性，知对任意
有 .
特别地，有 ，即 ，此即 .
对 ，同理有 .
而对 ，显然有 .
综上，对任意 ，有 .
先证明一个引理：设 ，则 .
用数学归纳法证明.
①当 时，结论显然成立.
②若结论对 成立，则对 ，有
.
从而结论对 也成立.
结合①②，可知原结论对无穷多个正整数 成立.
③若结论对 成立，则对 ，有公众号：云儿和花
.
从而结论对 也成立.
由于原结论对无穷多个正整数 成立，再结合③，即知原结论对任意的正整数 成立.
引理证毕，回到原题.
由于我们有 ，故
.
而当 时，有 .
所以 的最小值是 .
【点睛】关键点点睛：本题的关键点在于对全新知识和工具的运用，适当运用工具方可解决问题.
