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湖南师大附中 2025～2026 学年度高二第一学期第一次大练习
数学
时量：120 分钟 满分：150 分 得分__________
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1. 复数 在复平面内对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】根据复数的除法运算得到复数 ，再确定其在复平面内对应点的坐标，即可确定点所在的象限.
【详解】因为 ，
所以在复平面内对应的点为 ，位于第四象限.
故选：D
2. 设 ， 是平面内两个定点，动点 P 满足 ，则 P 点的轨迹方程是（ ）．
A. B.
C D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线的定义求解即可.
【详解】由双曲线的定义可知，点 P 的轨迹是以 ， 为焦点的双曲线，
因为 ， ，所以 ，
所以其轨迹方程为 .
故选：B
第 1页/共 19页3. 已知 m，n 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则（ ）
A. 若 m∥α，n∥α，则 m∥n B. 若 m∥α，m⊥n，则 n⊥α
C. 若α∥β，m⊥α，n∥β，则 m⊥n D. 若 m∥n，n α，则 m∥α
【答案】C ⊂
【解析】
【分析】由空间中直线与直线、直线与平面位置关系逐一分析四个选项即得．
【详解】对于 A，若 m∥α，n∥α，则 m∥n 或 m 与 n 相交或 m 与 n 异面，故 A 错误；
对于 B，若 m∥α，m⊥n，则 n∥α或 n α或 n 与α相交，相交也不一定垂直，故 B 错误；
对于 C，若α∥β，m⊥α，则 m⊥β，又 ⊂n∥β，∴m⊥n，故 C 正确；
对于 D，若 m∥n，n α，则 m∥α或 m α，故 D 错误．
故选：C． ⊂ ⊂
4. 已知 ， 是夹角为 的两个单位向量，则向量 在向量 上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据投影向量的概念结合数量积的计算可得结果.
【详解】由题意得，向量 在向量 上的投影向量为 ，
∵ ， 是夹角为 两个单位向量，
∴ ，
∴向量 在向量 上的投影向量为 .
故选：A.
5. 圆 与圆 的位置关系为（ ）．
A. 内切 B. 相交 C. 外切 D. 外离
【答案】C
【解析】
【分析】分别计算得到两圆圆心和半径，根据 得到答案.
第 2页/共 19页【详解】 ，即 ，圆心 ，半径 ，
，圆心为 ， ，
，故两圆外切.
故选：C.
6. 已知实数 x，y 满足 ，且 ，则 的取值范围为（ ）．
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】作出对应图象，利用斜率与倾斜角的关系，找出其边界情况即可求解.
【详解】 的几何意义为动点 与定点 所在直线的斜率，
动点 满足关系式 ，且 ，
可知 在线段 （除点 外）上移动，且 ，
如图， ， ，
点 与定点 所在直线的斜率不存在，
所以 的取值范围是 ，
故选：A.
第 3页/共 19页7. 已知点 ，直线 与直线 交于点 ，则 的值可
以为（ ）．
A. 7 B. 6 C. 8 D. 19
【答案】C
【解析】
【分析】由题意确定直线 与 互相垂直，得到点 轨迹，即可求解.
【详解】由题意可知，当 时，直线 与 互相垂直，
当 时， ，直线 与 互相垂直，
且 直线经过定点 ，直线 经过定点 ，所以 .
设 ，则 ，即 ，
则点 在以点 为圆心，5 为半径的圆（除去 与 、 ）上，
所以 的最大值为 ，
最小值为 .
故 的取值范围是 .
故选：C
8. 已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， 为坐标原点．若椭圆 上的点 满
足 ， ，则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
第 4页/共 19页【解析】
【分析】如图，利用勾股定理求得 ，结合 和椭圆的定义建立关于 的方程，解之
即可求解.
【详解】如图，过点 作 ，垂足为 ，
由 ，知 ，所以 ，而 ，
所以 ，则 ，
由椭圆的定义知， ，即 ，
所以椭圆的离心率为 .
故选：A
二、选择题：本大题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分．在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求．全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分．
9. 已知点 ， 到直线 l 的距离相等，且 l 过点 ，则 l 的方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】先利用几何意义得到直线 l 与 AB 平行或经过 AB 的中点．然后由点斜式和两点式求直线方程.
【详解】由已知直线 l 与 AB 平行或经过 AB 的中点．
当直线 l 与 AB 平行时，由 可得： ，
再由直线 l 与 AB 平行，可知斜率相等，然后由点斜式直线方程可得： ，
整理得直线 l 方程为 ；
由 可知中点坐标为 ，当直线 l 经过 AB 的中点和点 时，
第 5页/共 19页由两点式直线方程得： ，
整理得直线 l 方程为 ．
故选：BD．
10. 已知函数 的部分图象如图所示，则（ ）
A. 的最小正周期为
B.
C. 的图象关于点 中心对称
D. 将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），得到函数 的图象，则 是
区间 上的增函数
【答案】ACD
【解析】
【分析】利用题给图象结合正弦函数的性质得出 和 值，求出函数表达式，再结合正弦函数的图象和性
质对选项进行逐一判断.
【详解】由图象可知，相邻最小值点 和最大值点 之间的水平距离为半个周期，
即 ，
由周期公式 ，
所以 ，选项 A 正确；
因为图象经过点 ，代入函数得： ，
第 6页/共 19页由正弦函数性质可知 时， ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ，
因为 ，故 B 错误；
因为 是中心对称函数，对称中心为 ， ，
若函数 图象关于点 对称，则 .
代入计算： ，
所以图象关于点 对称，故 C 正确；
将 图象上所有点的横坐标伸长为原来的 2 倍（纵坐标不变），则 ，
由正弦函数性质可知 在 上单调递增，
令 ，解得 ，
区间 位于增区间 内，故 在区间 内是增函数，故 D 正确.
故选：ACD.
11. 在正方体 中，点 P 为线段 上的动点，则下列结论正确的是（ ）．
A.
B. 平面 与平面 所成角的正弦值是
C. 当 时， 的值最小
D. 若平面 上的动点 满足 ，则点 M 的轨迹是椭圆
【答案】ACD
【解析】
第 7页/共 19页【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量运算求解判断 ACD；易得平面 平面 ，进而
求解判断 B.
【详解】对于 A，建立如图所示的空间直角坐标系，
设 ，则 ，
则 ， ，设 ， ，
所以 ，故 A 正确；
对于 B，在正方体 中， 平面 ，
而 平面 ，则平面 平面 ，
所以平面 与平面 所成角的正弦值是 1，故 B 错误；
对于 C，由 A 知， ，则 ，
则 ， ，
所以 ，
当 ，即 时， 的值最小，故 C 正确；
对于 D，设 ，则 ， ，
当平面 上的动点 满足 时，
，
整理得 ，所以点 的轨迹为椭圆，故 D 正确.
第 8页/共 19页故选：ACD.
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分．
12. 若直线 与圆 交于 A，B 两点，则 ______．
【答案】
【解析】
【分析】由圆的方程求出圆心坐标与半径，再由点到直线的距离公式求圆心到直线的距离，再由垂径定理
求弦长．
详解】由圆 ，得 ，
则圆心坐标为 ，半径为 1．
圆心到直线 的距离 ，
．
故答案为： ．
13. 在正四棱台 中， ，则该棱台的体积为________．
【答案】 ##
【解析】
【分析】结合图像，依次求得 ，从而利用棱台的体积公式即可得解.
【详解】如图，过 作 ，垂足为 ，易知 为四棱台 的高，
因为 ，
第 9页/共 19页则 ，
故 ，则 ，
所以所求体积为 .
故答案为： .
14. 某校举办“数学文化节”，其中一项活动为“多人石头剪刀布挑战赛”．规则如下：每次挑战由 n 名同
学同时参与（ ），每人独立选择出“石头”“剪刀”或“布”中的一种手势．若所有人出的手势完全
相同（如全为石头），或三种手势均同时出现，则视为平局．否则，按照“石头胜剪刀，剪刀胜布，布胜石
头”的规则判定胜负．已知每位同学出每种手势的概率均等，则一次挑战中出现平局的概率为________．
【答案】
【解析】
【分析】先根据题意求出一次挑战中出现平局的不同种类数；再根据古典概型的概率公式即可求解.
【详解】假设在一次挑战中 n 名同学只能从“石头”“剪刀”这两种手势中选择，
则每个人都有两种选择；在一次挑战 n 名同学独立选择手势的不同种类数共有： ；
在一次挑战 n 名同学相同手势种类数共有： ；
此时一次挑战中 n 名同学只出现两种手势的不同种类数共有 .
由题意可得：每个人都有三种选择.
所以在一次挑战 n 名同学独立选择手势的不同种类数共有： ；
在一次挑战中 n 名同学只出现两种手势的不同种类数共有 .
所以一次挑战中出现平局的不同种类数共有 .
根据古典概型概率公式可得：一次挑战中出现平局的概率为 .
故答案为： .
第 10页/共 19页四、解答题：本大题共 5 小题，共 77 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15. 在 中，A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，已知 ．
（1）求角 B 的大小；
（2）若 的面积为 且 ，求 的周长．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用正弦定理及和角的正弦公式，诱导公式将 变形化简，再结合角的
范围即可求出角 B；
（2）由三角形的面积公式求出 ，再由余弦定理求出 ，即可求出 的周长.
【小问 1 详解】
因为 ，
由正弦定理可得 ．
即 ，
因为 ，所以 ．
所以 ．
因为 ， ，所以 ，
因 ，所以 ．
【小问 2 详解】
因为 ，所以 ，
由余弦定理得 ，
由 ，可得 ，
所以 ，所以 的周长为 ．
16. 甲、乙两人参加某高校的入学面试，入学面试有 3 道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是 ，
第 11页/共 19页乙答对每道题目的概率都是 ，对抽到的不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响；
（1）求甲、乙两人共答对 5 道题目的概率．
（2）若每位面试者共有三次机会，一旦某次答对抽到的题目，则面试通过，否则就一直抽题到第 3 次为止，
求甲、乙两人只有一人通过面试的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式，再结合互斥事件加法公式即可求解；
（2）先求甲乙两人分别没通过面试的概率，再利用对立事件，即可得到甲乙两人分别通过面试的概率，然
后利用两人中仅有一人通过，结合两相互独立事件概率乘法公式即可求解.
【小问 1 详解】
设 “甲答对 3 道题目”, “甲答对 2 道题目”
“乙答对 3 道题目”， “乙答对 2 道题目”，根据独立事件的性质，可得，
， ，
， ，
设 为 “甲、乙两人共答对 5 道题目”，
则 ，因为 与 互斥， 与 ， 与 分别相互独立，
，
所以甲、乙两人共答对 5 道题目的概率 ．
【小问 2 详解】
C=“甲通过面试”，D=“乙通过面试”， 与 相互独立，
，
E=“甲、乙两人只有一人通过面试”，则 ，因为 与 互斥，
与 ， 与 分别相互独立，
第 12页/共 19页所以甲、乙两人只有一人通过面试的概率
17. 已知椭圆 ： 的长轴长为 4，且点 在椭圆 上，其中 是椭圆 的离心率
.
（1）求椭圆 的方程；
（2）若斜率为 的直线 与椭圆 交于 ､ 两点，且点 在第一象限，点 ､ 分别为椭圆 的右顶点
和上顶点，求四边形 面积 的最大值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)结合已知条件、椭圆特征以及 、 和 的关系求解即可；(2)根据已知条件首先求出直线 的截
距的取值范围，然后联立椭圆方程和直线 的方程，利用韦达定理和弦长公式表示出弦长，然后利用点到直
线的距离公式分别求出点 、 到直线 的距离，最后表示出面积 即可求解.
【小问 1 详解】
椭圆 ： 长轴长为 4，且点 在椭圆 上，设椭圆 的焦距为 ，
∴ ，解得 ， ， ，
∴椭圆 的方程为： .
【小问 2 详解】
由题意可设 ： ，
第 13页/共 19页∵点 在第一象限，∴ ，
设 ， ，点 ， 到直线 的距离分别为 ， ，
由 ，消 可得 ，
∴ ， ，
∴ ，
∵ ， ，直线 的一般式方程： ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ ，
当 时， 有最大值为 .
18. 如图，在四棱锥 中， 平面 ， ， ．
（1）证明：平面 平面 ；
（2）若 ， ， ，P，A，B，C 在同一个球面上，球心为 O．
（ⅰ）求 与平面 所成角的正弦值；
（ⅱ）N 为 的中点，线段 上是否存在点 H，使得 H，A，O，N 四点共面？若存在，求出点 H 的位
置；若不存在，说明理由．
第 14页/共 19页【答案】（1）证明见解析
（2）（ⅰ） ；
（ⅱ）存在点 H，满足
【解析】
【分析】（1）先利用线面垂直的性质定理和判定定理证明 平面 ，再根据面面垂直的判定定理即
可证明结论；
（2）（i）建立空间直角坐标系，根据线面角的向量求法，即可求得答案；
（ii）根据 H，A，O，N 四点共面，则存在实数 a，b，使得 ，由此列式求解，即得答
案.
【小问 1 详解】
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， 平面 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 .
【小问 2 详解】
（i）在四边形 中，因为 ， ， ，
，又 平面 ，
故以 C 为原点， 所在直线分别为 x 轴，y 轴，过点 且平行于 的直线为 z 轴，
建立如图所示的空间直角坐标系，
由（1）知 平面 ， 平面 ，故 ，
因为 P，A，B，C 在同一个球面上，且 为直角，
即可得 的中点到 的距离均相等，
第 15页/共 19页故 为外接球直径，则球心 O 为 PB 的中点，
结合 ，则 ， ，
则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ，
设平面 PBC 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，令 ，得 ，
所以 ，
设 与平面 所成角为 ，
则 .
（ii）因为 分别为 的中点，所以 ，
所以 ， ，由（i）知 ，
设 ，
则 ，
因为 H，A，O，N 四点共面，所以存在实数 a，b，使得 ，
即 ，
所以 ，解得 .
第 16页/共 19页所以存在点 H，满足 ，使得 H，A，O，N 四点共面.
19. 设函数 ， ．
（1）求证： ；
（2）分别求 和 时函数 的最小值；
（3）求函数 的最小值（用 k 表示）．
参考公式：当 且 时， ．
【答案】（1）证明见解析
（2）当 时， ；当 时，
（3）
【解析】
【分析】（1）根据诱导公式将 分别化简，即可证明；
（2）根据三角恒等变换的化简和同角的三角函数关系计算即可求解；
（3）令 ，则 ，利用定义法，结合题意给的公式讨论函数 的单调性，
求解即可.
【小问 1 详解】
， ；
， ；
所以 ，得证.
【小问 2 详解】
当 时，
，
第 17页/共 19页又 ，所以 ；
当 时，
，
又 ，所以 .
【小问 3 详解】
根据（2）进行猜想：当 时， .
当 时， ，函数的最小值为 1，
当 时，令 ，则 ，
显然 ，即函数 图象关于直线 对称，
令 ，
则
，
由 ，得 ，
所以对任意 ，都有 ，
所以 ，
得 ，
则 ，即函数 在 上单调递减，函数 在 上单调递增，
所以 ，即 ， ，
当且仅当 即 时，取到最小值，
所以 ， .
第 18页/共 19页第 19页/共 19页
