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2025-2026 学年高二下学期期末模拟考试（二）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡
上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 的共轭复数是（ ）
A. B. C. D.
3. 在 中， 在 上且 ，设 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
4. 的展开式中 的系数是（ ）
A. B. C. D.
5. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商
品在 家商场的售价 （元）及其一天的销售量 （件）进行调查，得到五对数据
，经过分析、计算，得 ， ， 关于 的经验回归方程为
，则相应于点 的残差为（ ）
第 1 页，共 5 页A. B. C. D.
6. 已知函数 ，曲线 在点 处的切线与直线 平行，则
实数 的值为（ ）
A. B. C. D.
7. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 与 ，两人约定如下投篮：每次由一人投
篮，若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可
能性相同，则前 次中甲恰好投篮 次的概率为（ ）
A. B. C. D.
8. 设函数 ，若 恒成立，则 的最小值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 设随机变量 ，随机变量 ，其正态密度曲线如图所示，则（
）
A. B.
C. D.
10. 已知数列 的前 项和为 ， ，则（ ）
A. 数列 是递减数列
第 2 页，共 5 页B. 当且仅当 时， 取得最小值
C. 数列 是递减数列
D. 当且仅当 时， 取得最小值
11. 已知 是函数 的极大值点，则（ ）
A. 函数 的极小值为
B. 若 ，则
C. 若 ，则 有 个相异的零点
D. 若 （其中 ），则
第二部分 非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在 中，内角 所对的边分别为 ，若 ， ， ，则
＿＿＿＿＿＿.
13. 为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等 人到三个不
同地方参加活动，每个地方至少 人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有
＿＿＿＿＿＿种.
14. 在棱长为 个单位的正方体 中，一个质点在随机外力的作用下从顶点
出发，每隔 秒等可能地沿着棱移动 个单位，移动的方向是随机的.设第 秒（
）后，质点位于平面 的概率为 ，则 ＿＿＿＿＿＿， ＿＿＿＿＿＿.
第 3 页，共 5 页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 为数列 的前 项和，已知 .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和 .
16. 如图，在长方体 中， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求直线 与平面 所成角的正弦值.
17. 某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的 个小球，其中有 个红球， 个白球.
顾客从中依次摸出 个球，记摸到红球的个数为 .
（1）若采用不放回摸球，求 的分布列与期望；
（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分 分，摸到白球得 分.设顾客获得的
积分为 ，若商场希望顾客获得积分的期望不超过 分，这种有放回的摸球规则是否符
合商场要求？
第 4 页，共 5 页18. 已知椭圆 的短轴长为 ，离心率为 .
（1）求 的方程；
（2）若 ， 分别是 的左、右顶点，不与 轴垂直的动直线 与 交于 ， 两点
（不同于 ， ），且直线 的斜率等于直线 的斜率的 倍，求证：直线 经过定
点.
19. 已知函数 .
（1）若 是增函数，求 的取值范围；
（2）证明：当 时， .
第 5 页，共 5 页
