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2025-2026 学年高二下学期期末模拟考试（一）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡
上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 ， ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 复数 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知 ，若 的展开式中，常数项等于240，则 （ ）
A. 3 B. 2 C. 6 D. 4
4. 已知一道解答题共有两小问，某班50个人中有30个人能够解答出第一问．在第一问
解答不出的情况下，解答出第二问的概率为0.1，第一问解答出来的情况下，第二问解答
不出来的概率为0.7，则解答出第二问的概率为（ ）
A. 0.46 B. 0.22 C. 0.18 D. 0.04
5. 已知点 在曲线 上，点 在直线 上，则 两点
距离最小值为（ ）
A. B. C. D.
第 1 页，共 5 页6. 在一个具有五个行政区域的地图上，用6种颜色着色，若相邻的区域不能用同一种颜
色，则不同的着色方法共有（ ）
A. 1450种 B. 1480种 C. 1520种 D. 1560种
7. 等差数列 的前 项和为 ，且 ，则 为（ ）
A. 45 B. 81 C. 90 D. 162
8. 已知 ，则 的大小关系为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 李明上学有时坐公交车，有时骑自行车.假设其坐公交车用时 和骑自行车用时
均服从正态分布，密度曲线如下图所示，则（ ）
A.
B.
C. 如果某天有34min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择坐公交车
D. 如果某天有38min可用，为了降低迟到的可能性，李明应选择骑自行车
10. 已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 函数 存在三个不同零点
B. 函数 既存在极大值又存在极小值
第 2 页，共 5 页C. 若 时， ，则 的最大值为2
D. 当 时，方程 有且只有两个实根
11. 甲、乙、丙、丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，并且每次传球时传球
者都等可能传给另外三人中的任何一人，则（ ）
A. 第一次球传出后恰好传给丙的概率为
B. 第二次球传出后恰好传给丙的概率为
C. 第二次球传出后恰好传给丙，且此球是由乙传出的概率为
D. 球第 次传出后恰好传给丙的概率为
第二部分 非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线 在点 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
13. 若把满足 的正整数组 称为“勾股数组”，则在不大
于14的正整数中，随机选取3个不同的数，能组成“勾股数组”的概率为＿＿＿＿＿＿.
14. 已知定义域为 的偶函数 满足 ，且当 时，
，若将方程 实数解的个数记为 ，则 ＿＿＿＿
＿＿.
第 3 页，共 5 页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 某种传染性疾病的检测通过采集血样利用相关检测试剂盒进行检测，若呈阳性，则
诊断为患病，若呈阴性，则诊断为不患病.某企业开发了一种新型检测试剂盒，现采用卡
方检验的方法检验该试剂盒的检测效果，为此随机抽取了100份患病的血样和100份不患
病的血样进行检验，试验结果显示，100份患病的血样中，检测出阳性血样90份，阴性血
样10份；100份不患病的血样中，检测出5份阳性血样，95份阴性血样.
（1）填写下面列联表，记检测结果为阳性者患该疾病的概率为 ，求 的估计值；
检测结果 患病 不患病 合计
阳性
阴性
合计
（2）根据小概率值 α=0.001 的独立性检验，判断某人血样经该检测试剂盒检测的诊断结
果与其患病是否有关.
n(ad−bc) 2
附：χ2= ，其中 n=a+b+c+d.
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.050 0.010 0.001
x 3.841 6.635 10.828
α
16. 已知数列 中， ，且数列 为等差数列．
（1）求 的通项公式；
（2）记 为数列 的前 项和，证明： ．
第 4 页，共 5 页17. 已知椭圆 的离心率为 ， 分别为椭圆的左，右顶点，
为椭圆的上顶点，且 .
（1）求椭圆的标准方程；
（2）过点 作斜率不为0的直线交椭圆于 两点，直线 与 相交
于点 .
（i）证明：点 在定直线上；
（ii）求 的最大值.
18. 编号为 的小球随机放入编号为 的盒子中，记 表示 个盒子中空
盒子的个数.
（1）当 时，求编号为1的盒子中有球的概率；
（2）求 并证明 关于 单调递增；
（3）求证： .
注：若随机变量 满足 ，则 .
19. 已知函数 .
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，求实数 的取值范围；
（3）若函数 有且仅有两个零点 ，且 ，证明： .
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