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绵阳外国语学校2024-2025学年下期期末模拟教学质量检测
高二年级数学试卷
本试卷分为第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共4页。完卷时间：120分钟。满分：150分
第Ⅰ卷（选择题 ，共58分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的）
1、已知事件A，B相互独立， ， ，则 等于
A. B. C. D.
2、某射击选手每次射击击中目标的概率是0.8，这名选手在10次射击中，恰有8次击中目标
的概率为
A. B. C. D.
3、函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，其导函数 在(a，b)内的图象如
图所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内的极大值点有（ ）个
A. 1 B. 2 C．3 D.
4
4、已知 是各项不相等的等差数列，若 ，且 ， ， 成等比
数列，则数列 的前10项和
A. 5 B. 45 C．55 D. 110
5、若 的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为243，则展开式中 的
系数是
A. 80 B. 64 C. 32
D. 16
6、在网课期间，为了掌握学生们的学习状态，某省级示范学校对高二一段时间的教学成果
进行测试．高二有1000名学生（百分制且卷面成绩均为整数）Z服从正态分布N(82.5,5.42)，
则下列说法错误的是（人数保留整数）
参考数据：若Z∼N(μ,σ2 )则
P(μ-σ<Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z≤μ+2σ)≈0.9545，
P(μ3σ<Z≤μ+3σ)≈0.9973．
A．年级平均成绩为82.5分
B．成绩在95分以上（含95分）人数和70分以下（含70分）人数相等
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C．成绩不超过77分的人数少于150
D．超过99分的人数约为1
7、若随机变量 的分布列如下表所示，则
0 1
A. B. 2
C． D.
8、某校在校庆期间举办羽毛球比赛，某班派出甲､乙两名单打主力，为了提高两位主力的能
力，体育老师安排了为期一周的对抗训练，比赛规则如下：甲、乙两人每轮分别与体育老师
打2局，当两人获胜局数不少于3局时，则认为这轮训练过关；否则不过关.若甲､乙两人每
局获胜的概率分别为 ， ，且满足 ，每局之间相互独立.记甲、乙在 轮训
练中训练过关的轮数为 ，若 ，则从期望的角度来看，甲､乙两人训练的轮数至
少为
A. 28 B. 24 C. 32 D. 27
二、多项选择题（本大题共 3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项
中，有多项符合题目要求全部选对的得 6分，部分选对的得部分分，有选错的得
0分）
9、下列有关线性回归分析的问题中，正确的是
A. 线性回归方程 至少经过点 中的一个点
B. 两个具有线性相关关系的变量的相关性越强，则线性相关系数 的值越接近于1
C. 若设直线回归方程为 ，则当变量 增加1个单位时， 平均增加2个单位
D. 对具有线性相关关系的变量 ， ，其线性回归方程为 ，若样本点的中心为
，则实数 的值是 .
10、已知数列 满足： ，当 时， ，则关于数列 的说
法正确的是
A． B. 是递增数列
C． D. 数列 为周期数列
11、已知函数f (x)=x(1-lnx)，下列选项正确的是
A．f (x)的最大值为1
B．f (x)有唯一的零点
C．若x≥e时，f (x)-a(e-x)≤0恒成立，则a≤1
D．设x ，x 为两个不相等的正数，且x lnx -x lnx =x -x ，则x +x <2
1 2 1 1 2 2 1 2 1 2
第Ⅱ卷 (非选择题，共92分)
三、填空题（本题共 3小题，每题5分，共15分.把答案填写在答题卡相应位置
上）
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12、已知 ，则 的单调增区间为__________.
13、某高中为开展新质课堂，丰富学生的课余生活，开设了若干个社团，高二年级有5名同
学打算参加“书法协会”、“舞动青春”、“红袖添香”和“羽乒协会”四个社团.若每名同学必须参
加且只能参加1个社团，每个社团必须有人参加，则这5个同学中有1人参加“舞动青春”社
团的不同方法数为__________.（用数字作答）
n2 3 1
S = +(t− )n b =
{a } n 2 2 n a
14、已知数列 n 的前 项和 ， n，若对任意的 ，都有
b ≥b
n 6，则实数 的取值范围为__________.
四、解答题（本题共5个小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算
步骤）
15、（13分）已知函数 ．
（1）若 是函数 的极值点，求 在 ， 处的切线方程．
（2）若
a=6
，求 在区间 ， 上最大值．
16、（15分）游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受
学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主
题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的2×2列联表：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男 40
女 60
合计 50
（1）完成上述2×2列联表，根据以上数据，根据小概率值α=0.01的独立性检验，能否认为
购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？
（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小
都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红
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球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可
以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，ξ表示3名同学中获赠一套毛绒公
仔的人数，求随机变量 的数学期望. 附： n(ad-bc) 2 ，其中
ξ χ2=
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
n=a+b+c+d．
P(χ2≥k) 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
17、（15分）已知数列 中， ，当 时， ，记
．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．
18、（17分）国产动画电影《哪吒之魔童闹海》凭借其独特的艺术魅力与深刻的故事情节吸
引了无数观众的目光，电影中的人物哪吒也深得观众喜爱.某公司适时推出20种款式不同的
哪吒玩偶随机购活动，购买规则及概率如下：每次购买一个，且买到任意一种款式是等可能
的.小王特别喜欢20种款式中的一种.
（1）若20种款式的玩偶各有一个.
（ⅰ）求小王第二次才买到特别喜欢的款式的概率；
（ⅱ）设小王买到特别喜欢的款式所需次数为X，求X的数学期望 .
（2）若每种款式的玩偶数量足够多，每次玩偶被买后公司都会补充被买走的款式.为了满足
客户的需求，引进了保底机制：在购买前指定一个款式，若前6次未买到指定款式，则第7
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次必定买到指定款式.设Y为小王买到某指定款式所需的次数，求Y的数学期望 .
（参考数据： ，结果保留整数）
19、（17分）已知函数 ， .
f (x)=x(ex-a) a∈R
（1）当
a=0
时，求 的极值；
f (x)
x ,x
（2）若函数g(x)=f (x)-alnx有2个不同的零点 1 2.
（i）求a的取值范围；
x +x −1 a
e 1 2 >
x x
（ii）证明： 1 2.
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高二年级数学试卷答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
答案 B C B C A C D D BCD ABC ABC
12、 / 13、180 14、
15、解：（1） ， ， （1） ，
， ， 有购买意 没有购买意 合
愿 愿 计
， ，
男 90 40 130
在 ， 处的切线方程为 ． 女 60 10 70
合
（2）6 150 50 200
计
16、解：（1）由题可得2×2列联表如下：
提出假设H ：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，
0
根据列联表中的数据，可以求得
200(90×10-60×40) 2 600
χ2= = ≈6.5934<6.635，
150×50×130×70 91
因为当H 成立时，χ2≥6.635的概率大于1%，
0
所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关.
（2）一次游戏中取出2个红球的概率 P= 1 ×0+ 1 × C 2 2 + 1 × C 3 2 = 2，
3 3 C2 3 C2 9
4 4
( 2) 2 2
由题可知ξ=0,1,2,3，则ξ~B 3, ，所以E(ξ)=3⋅ = .
9 9 3
17、【详解】（1）解：由题意得 ，所以 ，即 ．
当 时，
．
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当 时， 也符合． 综上， ．
（2）证明：由（1）得 ，
当 时 ；
当 时， ，
故当 时，
． 综上， ．
18、解：（1）（i）设小王第 次买到特别喜欢的款式为事件 .
则小王第二次才买到特别喜欢 的款式的概率为 ；
（ii） 的可能取值为 ，
1 2 19 20
则
，
所以 的分布列为
；
（2）记 的可能取值为 .
因为前6次（包含第6次）没有保底，
则 ，其中 ，
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，
所以 的分布列为
1 2 6 7
0.950 ×0.05 0.951 ×0.05 0.955 ×0.05 0.956
则 .
记 ，
则 ，
两式相减，得
，
所以 .
19、解：（1）
a=0
时，
f(x)=xex
，
∴f' (x)=(x+1)ex
∴f'(x)在 (−∞,−1)
单调递减，
(−1,+∞)
单调递增，
1
∴f (x) f(−1)=−
e
的极小值为 ，无极大值.
（2）（i）g(x)=f (x)-alnx=xex-a(x+lnx)=xex-aln(xex)，x∈(0,+∞)，
令t=xex，t∈(0,+∞)，
∵t'=(x+1)ex>0，∴t=xex在(0,+∞)单调递增，
令h(t)=t-alnt，即h(t)在t∈(0,+∞)有2个零点t ，t ，且t =x ex 1，t =x ex 2，
1 2 1 1 2 2
a t-a
∵h'(t)=1- = ，
t t
∴a≤0时，h'(t)>0，h(t)在t∈(0,+∞)单调递增，不存在2个零点，
∴a>0，
∵t∈(0,a)时，h'(t)<0；t∈(a,+∞)时，h'(t)>0，
∴h(t)在(0,a)单调递减，在(a,+∞)单调递增，
∵t→0时，h(t)→+∞；t→+∞时，h(t)→+∞，
∴h(t) =h(a)=a(1-lna)<0，∴a∈(e,+∞).
min
（ii）设t <t ，∵h(1)=1>0，h(e)=e-a<0，
1 2
ae
∴由（i）知，1<t <e<a<t ，即证：t t >ae，即证：t > ，
1 2 1 2 2 t
1
ae
∵t >a， >a，h(t)在(a,+∞)单调递增，
2 t
1
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(ae
)
∴即证：0=h(t )>h
，
2 t
1
∵a= t 1 ，∴h (ae ) = ae -aln ae =a( e -ln e )=a [e +ln(lnt )-1 ] ，
lnt t t t t lnt t 1
1 1 1 1 1 1 1
e
令 p(t )= +ln(lnt )-1 ，t ∈(1,e)，
1 t 1 1
1
e 1 t -elnt
即证：p(t )<0，p' (t )=- + = 1 1 ，
1 1 t2 t lnt t2lnt
1 1 1 1 1
令q(t )=t -elnt ，t ∈(1,e)，
1 1 1 1
e t -e
∵q' (t )=1- = 1 <0，∴q(t )在(1,e)单调递减，q(t )>q(e)=0，
1 t t 1 1
1 1
∴p' (t )>0，∴p(t )在(1,e)单调递增，∴p(t )<p(e)=0.
1 1 1
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