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高二下学期6月份教学诊断检测数学试题
一、单选题（每题5分）
1．若 ， ， ，则事件A与B满足（ ）
A．互为对立事件 B． C． D．A与B互斥
2．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点 出发，每次向左移动的概率为 ，向右移动的概率
为 ．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于 的位置，则 （ ）
A． B． C． D．
3．甲，乙两人进行乒乓球比赛，比赛采用3局2胜制，如果每局比赛甲获胜的概率为0.7，乙获胜的概率
为0.3，且各局比赛结果相互独立，那么在甲获胜的条件下，比赛进行了3局的概率为（ ）
A． B． C． D．
4．离散型随机变量X的分布列如下：
X 1 2 3 4
P m 0.3 n 0.2
若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
5．有6本不同的书，全部分给4个学生，每个学生至少一本，不同的分法种数为（ ）
A．1440种 B．1560种 C．1920种 D．5760种
6．某城市选用一种植物进行绿化，设其中一株幼苗从观察之日起，第 天的高度为 ，测得一些数据
如下表所示
第 天 1 2 3 4 5 6 7
高度 1 4 6 9 11 12 13
由表格数据可得到 关于 的经验回归方程为 ，则第6天的残差为（ ）
A． B．2.12 C． D．0.08
7设等比数列 的公比为 ，其前 项和为 ，前 项积为 ，并满足条件 ，
，则下列结论正确的是（ ）
A． B． 是数列 中的最大值C． D．数列 无最大值8．某人在 次射击中击中目标的次数为 ，其中 ，击中偶数次为事件A，则
（ ）
A．若 ，则 取最大值时 B．当 时， 取得最小值
C．当 时， 随着 的增大而减小D．当 的， 随着 的增大而减小
二、多选题
9．已知 ，则下列描述不正确的是（ ）
A． B． 除以5所得的余数是1
C． D．
10．关于随机变量的期望与方差，以下说法正确的是（ ）
A．若 ，则 ，
B．若 ，则 与试验次数 无关
C．若随机变量 的分布列为 ，则
D．两点分布中， 时，方差最大
11．甲､乙､丙三人相互做传球训练，第1次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外
两个人中的任何一人，记 次传球后球在乙手中的概率为 ，下列说法中正确的是（ ）
A． B．第5次传球后球在乙手中有11种传法
C．数列 为等比数列 D．
三、填空题
12．如图所示为函数 的图象，则不等式 的解集为_____
13．设有编号为1，2，3，4，5的五个球和编号为1，2，3，4，5的五个盒子，现将这五个球放入这五个
盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有一个球的编号与盒子的编号相同，则这样的投放方法的种
数为______.
14．某班级举行抽奖活动，准备10张形状和质地完全相同的抽奖券，其中4张为一等奖券，6张为二等奖
券，每次随机抽取1张.若不放回地连续抽取两次，在第二次抽到一等奖券的条件下，第一次抽到二等奖券
的概率是__________；若每次都是有放回地抽取，连续抽取5次，抽到一等奖券记2分，抽到二等奖券记0分，以 表示5次抽取的总得分，则 的数
学期望为__________.
四、解答题
15．设函数 ．
(1)讨论函数 的单调性；
(2)若 恒成立，求实数 的取值范围．
16．某高中学校为了解学生参加体育锻炼的情况，统计了全校所有学生在一年内每周参加体育锻炼的次数，
现随机抽取了60名同学在某一周参加体育锻炼的数据，结果如下表：
一周参加体育锻炼次数 0 1 2 3 4 5 6 7 合计
男生人数 1 2 4 5 6 5 4 3 30
女生人数 4 5 5 6 4 3 2 1 30
合计 5 7 9 11 10 8 6 4 60
(1)若将一周参加体育锻炼次数为3次及3次以上的，称为“经常锻炼”，其余的称为“不经常锻炼”．请
完成以下 列联表，并依据小概率值 的独立性检验，能否认为性别因素与学生体育锻炼的经常性
有关系；
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生
女生
合计
(2)若将一周参加体育锻炼次数为0次的称为“极度缺乏锻炼”，“极度缺乏锻炼”会导致肥胖等诸多健康
问题．以样本频率估计概率，在全校抽取20名同学，其中“极度缺乏锻炼”的人数为 ，求 和
；
(3)若将一周参加体育锻炼6次或7次的同学称为“运动爱好者”，为进一步了解他们的生活习惯，在样本
的10名“运动爱好者”中，随机抽取3人进行访谈，设抽取的3人中男生人数为 ，求 的分布列和数学
期望．
附：
0.1 0.05 0.01
2.706 3.841 6.635
17．为深入贯彻“五育融合”的教育理念，某地在中小学全面推广劳动教育实践课程，定期统计学生参与劳动实践的情况，下表是课程开设后前5个月的数据，其中 表示月份编号， 表示该月份日平均参与劳
动实践的学生人数（单位：万）.
月份编号 1 2 3 4 5
日平均参与人数 0.5 0.7 1 1.3 1.5
根据表格数据得到如图所示的散点图.
(1)根据散点图推断 与 是否线性相关，计算样本相关系数，并推断它们的相关程度；
(2)由（1）所得结论，建立 关于 的回归方程，并预测第6个月的日平均参与人数；
(3)假设第6个月（按30天计）的日参与人数 （单位：万）服从正态分布 ，并视（2）的结果
为 的值，预测该月份日参与人数超过1.75万的天数是否不少于25天.
附：①样本相关系数 ；
②回归直线 的斜率的最小二乘估计为 ；
③ ；
④若 ，则 .
18．已知等比数列 的前n项和为 ，且 ，其中 .
(1)求数列 的通项公式；
(2)在 与 之间插入n个数，使这 个数组成一个公差为 的等差数列，在数列 中是否存在不
同三项 ， ， （其中 成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的三项；若不存在，请说明
理由.
19．某公司组织 两部门的50名员工参加技术培训.
(1)此次技术培训的员工中共有6名部门领导参加，恰有3人来自A部门．从这6名部门领导中随机选取2
人，记 表示选取的2人中来自A部门的人数，求 的分布列和数学期望；
(2)此次技术培训分三轮进行，每位员工第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为 ，每轮培训
结果相互独立，至少两轮培训达到“优秀”的员工才能合格.
（ⅰ）求每位员工经过培训合格的概率：
（ⅱ）经预测，开展此次技术培训后，合格的员工每人每年平均为公司创造利润30万元，不合格的员工每人每年平均为公司创造利润20万元，且公司需每年平均为每位参加培训的员工支付3万元的其他成本和费
用．试估计该公司 两部门培训后的年利润（公司年利润 员工创造的利润－其他成本和费用）.高二下学期 6 月份教学诊断检测数学答案
1. C 2D .3C . 4 D .5.B 6.A 7.C 8.D 9.ACD 10.BD 11. ABD
7．C解析：解：等比数列 的公比为 ，则 ，由 ，则有 ，必
有 ，
又由 ，即 ，又 ，则有 或 ，
又当 时，可得 ，由 ，则 与 矛盾
所以 ，则有 ，由此分析选项：
对于A， ，故 ，故A错误；
对于B，等比数列 中， ， ，所以数列 单调递减，又因为 ，所以前 项
积为 中， 是数列 中的最大项，故B错误；
对于C，等比数列 中，则 ，则 ，故C正确；
对于D，由B的结论知 是数列 中的最大项，故D错误.
8．D解析：A：在10次射击中击中目标的次数 ，
当 时对应的概率 ，
因为 取最大值，所以 ，
即 ，即 ，解得 ，
因为 且 ，所以 ，即 时概率 最大．故A错误；
B： ，当 时， 取得最大值，故B错误；
C、D： ，
，
，
，
当 时， ， 为正负交替的摆动数列，所以 不会随着 的增大而减小，
故C错误；
当 时， 为正项且单调递减的数列，所以 随着 的增大而减小，故
D正确；
故选：D.
11、ABD解析：由题意，若第 次传球后球在乙手中，则第 次必不在乙手中，此时概率为 ，第n
次传球给乙的概率为 ，，所以 为等比数列，C错误；
为首项是 ，公比是 的等比数列，
，故A正确；前5次传球共有 种传球方法，传到乙手
中的概率 ，∴传到乙手中共有11种传法，B正确；
，显然 ， ，D正确.
15．解析：（1）由 ，则 当 时， 恒成立，则
在 上单调递增；当 时，令 ，解得 ， 时， ，则 在
上单调递增； 时， ，则 在 上单调递减．
（2） 由题意 恒成立，因为 ，即得 恒成立，即 ， ，
记 则 ，
令 ，得 ，令 ，得 ，即 在 上单调递减，
令 可得 ，即 在 上单调递增，所以 ，
所以 ，即实数 的取值范围为 ．
16．解析：（1）根据统计表格数据可得列联表如下：
锻炼
性别 合计
不经常 经常
男生 7 23 30
女生 14 16 30
合计 21 39 60
零假设为 ：性别与锻炼情况独立，即性别因素与学生体育锻炼的经常性无关；
根据列联表的数据计算可得
根据小概率值 的独立性检验，推断 不成立，
即性别因素与学生体育锻炼的经常性有关系，此推断犯错误的概率不超过0.1
（2）因学校总学生数远大于所抽取的学生数，故 近似服从二项分布，
易知随机抽取一人为“极度缺乏锻炼”者的概率
即可得 ，故 ， ．
（3）易知10名“运动爱好者”有7名男生，3名女生，所以 的所有可能取值为 ；且 服从超几何分布：
故所求分布列为
0 1 2 3
可得
17．解析：（1）解法一：根据散点图直观判断 与 之间线性相关.
因为 ，
所以 与 的线性相关程度强；（也可利用“ ”或“接近1”判断相关程度强）
解法二：
根据散点图直观判断 与 之间线性相关.因为 ，
， ， ，
，
所以 与 的线性相关程度强；
（也可利用“ ”或“接近1”判断相关程度强）
（2）解法一：
设 ，则 ，
所以 ，故 时， .
解法二：
设 ，则 ，
所以 ，故 时， .
（3）依题意，得 ，
由正态分布性质，可知 .
因为 ，所以 .因为 ，所以该月日参与人数超过1.75万人的天数不少于25天.
18．(1) (2)不存在，理由：
由题设可得 ，若数列 中存在不同三项 ， ， （其中 成等差数列）成
等比数列，则 ，因 为等差数列，故 即 ，
故 ，故 即 ，这样 不同矛盾，故数列 中不存在不同三项 ， ，
（其中 成等差数列）成等比数列.
19．解析：（1） 的所有可能取值为0，1，2，且 服从超几何分布． ，
， ． 的分布列为
0 1 2
的数学期望 ．
（2）（ⅰ）记 “每位员工经过培训合格”， “每位员工第 轮培训达到优秀” ，
，根据概率加法公式和事件相互独立定义得，
．即每位员工经过培训合格的概率为 ．
（ⅱ）记 两部门开展培训后合格的人数为 ，则 ，
则 （万元），
即估计 两部门的员工参加培训后为公司创造的年利润为1100万元．
