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山东省泰安一中青年路校区2025-2026学年高二4月诊断测试
数学试题
一、单选题
1．已知函数 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．0
2．曲线 在点 处的切线方程为 ，则 （ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．已知 ，则不等式 的解集是（ ）
A． B． C． D．
4．已知 ，则“ ”是“ ，且 ， 恒成立”的
（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要
条件
5．集合 ， ，从 ， 中各取一个元素，作为点 的坐标，可以得到不同的点
的个数是（ ）
A．12 B．11 C．6 D．5
6．已知函数 ，若 且 ，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
7．在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变量，这样的函
数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅与其市场价格有关，而且与消费者的收入以及这种商品的其他代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因素不止一个而是多个.我们常常用偏导数来研究
多元函数.以下是计算二元函数 在 处偏导数的全过程： ，
，所以 ， ，由上述过程，二元函数
，则 （ ）
A．1 B． C． D．
8．已知函数 ， ，若对 ， ，使 成立，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．已知函数 的导函数 的图象如图所示，则下列结论正确的是（ ）
A． 时， 取得最大值 B． 时， 取得极大值
C． D．
10．已知函数 ，则（ ）
A．当 时，函数 的最大值为
B．若函数 图象的对称中心为 ，则C．函数 在 上一定存在减区间
D．函数 必有3个零点
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 是奇函数 B． 在 上单调递减
C． 时， 的最小值是0 D． 在 内有且只有4个极值点
三、填空题
12．给如图所示的 四个区域涂色，有4种不同的颜色可选，相邻区域颜色不能相同，则共有
______种不同的涂色方案.
13．已知函数 的导函数为 ，且对任意 ， ，若 ，则不等式
的解集为______．
14．若过点 的任意一条直线都不与曲线 相切，则实数 的取值范围是__________．
四、解答题
15．有一项活动，要从2位老师，2名男同学，3名女同学中指定人员参加.
(1)只需一人，有多少种不同的选法？
(2)需要两人，一位老师，一位学生，有多少种不同的选法？
(3)需要三人，一位老师，两位学生，有多少种不同的选法？16．已知函数f(x)＝kx3－3(k＋1)x2－k2＋1(k>0)，且f(x)的减区间是(0， 4)．
(1)求实数k的值；
(2)当x>k时，求证：2 >3－ .
17．已知某企业生产一种产品的固定成本为400万元，每生产 万件，需另投入成本 万元，假设该企
业年内共生产该产品 万件，并且全部销售完，每1件的销售收入为100元，且
(1)求出年利润 （万元）关于年生产零件 （万件）的函数关系式（注：年利润 年销售收入 年总成
本）；
(2)将年产量 定为多少万件时，企业所获年利润最大.
18．已知函数 .
(1)若曲线 在 处的切线与直线 平行，求实数 的值；
(2)若函数 在 内不单调，求实数 的取值范围.
(3)若 在 上单调递增，求实数 的取值范围.
19．已知函数 ， 是两个不同的正数，且满足 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若函数 在闭区间 上的最大值为0，求 的值；
(3)当 时，证明： .参考答案
1．B
【详解】
．
2．C
【详解】由题可知 ，且曲线 在点 处的切线方程为 ，即 ，
所以 ，所以
3．A
【详解】因为 ，且等号仅在 时成立，
所以 在 上严格单调递增，
由 可得 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 .
4．B
【详解】“ ，且 ， 恒成立”等价于函数 在 上单调递减，
所以 在 上恒成立，
即 在 上恒成立，
所以 ，因为
显然“ ”是“ ”的必要不充分条件，
即 “ ”是“ ，且 ， 恒成立”的必要不充分条件.
5．B
【详解】从 中取一个元素作为横坐标，从 中取一个元素作为纵坐标，共有 个；
从 中取一个元素作为横坐标，从 中取一个元素作为纵坐标，共有 个；
又点 重复，故可以得到不同的点 的个数是 个．
6．A
【详解】令 ，由已知得 ， ，∴ ，令 ， ，
令 ，解得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
∴ .
7．D
【详解】 ， ，
所以
8．C
解：函数 ，开口向下，对称轴为 ，
时， ，
， ，
令 ，解得 ，
则 时， ， 单调递减，
时， ， 单调递增，
，又 ，
则 时， ，
对 ， ，使 成立，，
，解得 ．
9．BC
【详解】由导函数图象可知当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
选项A：因为 在 上单调递增，且 ，因此 在 处取不到最大值，A错误，
选项B： 左侧 ， 单调递增；右侧 ， 单调递减，
且 ，因此 时 取得极大值，B正确，
选项C：由 ，且 在 单调递增，可得 ，C正确，
选项D： 在 单调递增，因此 ，故 不成立，D错误.
10．BCD
【详解】A选项：当 时， ，
当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
当x无限趋于正无穷大时， 也无限趋于正无穷大，
当x无限趋于负无穷大时， 也无限趋于负无穷大，所以 没有最大值，选项A错误；
B选项：法一： ，令 ，
则 ，结合三次函数对称性可知 ，所以 ，选项B正确；
法二：若函数 图象的对称中心为 ，
则对任意实数 ，恒有 ，
所以 ，代入化简得 ；
C选项： ， ，
所以 ，解得 ，或 ，
所以当 时 ，
所以 在 上单调递减，C选项正确；
D选项： ，显然 ，
令 ， ，又 ，
所以 有两个不为0的根，所以 有3个零点，D选项正确.
11．ACD
【详解】A选项： 定义域为 ，
，是奇函数，选项正确；
B选项： ， ， ，
故 在 上单调递增，选项错误；C选项：当 ， ， ，
故 在 单调递增，所以 的最小值是 ，选项正确；
D选项： ， ，解得： 或 ，
当 时， ，当 ， ，
当 时， ，
即 在 ， 单调递增，在 单调递减，
∴ 在 内有且只有2个极值点，
结合奇函数的对称性， 在 内有且只有4个极值点，选项正确.
12．84
【详解】当A和C颜色相同，
第一步涂A：共4种颜色可选，所以有 种选择；
第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的 种颜色可选，所以有 种选择；
第三步涂C：由于C与A同色，只有 种选择；
第四步涂D：此时D仅需与A（C）不同色，有 种选择；
所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为： ；
当A和C颜色不同，
第一步涂A：共4种颜色可选，所以有 种选择；
第二步涂B：由于B与A不同色，只有剩下的 种颜色可选，所以有 种选择；
第三步涂C：由于C与A不同色，且与B不同，只有剩下的 种颜色可选，所以有 种选择；
第四步涂D：此时D既与A不同色，又与C不同色，由于A与C也不同色，故只有 种选择；所以根据分步计数乘法原理可知此类方案数为： ；
利用分类计数加法原理，把这两类相加可得总方案数为： .
13．
【详解】构造 ， ，
∴ 在 上单调递增，又 ，
则不等式 可转化为 ，即 ,
故 ，故解集为 ．
14．
【详解】设点 为曲线C上任意一点，
由 ，得 ，
则曲线C在点B处的切线l的方程为 ．
据题意，切线l不经过点 ，
则关于 的方程 无实根，
即 无实根，
假设方程 有解.
因为 时，方程 无解，
所以方程 有解等价于方程 有解，
设 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递减；
当 时， ，函数 在 上单调递增.又当 时， ；当 时， .
， ，当 时， ；当 时， ，
根据以上信息，作出函数 的大致图象，
观察图象，可得当 时，方程 有解，
所以 或 ，
所以由 无实根，可得 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为： .
15．(1)7
(2)10
(3)20
【详解】（1） ；
（2） ；
（3） .
16．(1)k＝1
(2)证明见解析
【详解】（1）f′(x)＝3kx2－6(k＋1)x＝3kx ， k＞0.
由题意知f′(x)＝0的两根为0和4，故 ＝4，解得k＝1；（2）令g(x)＝2 ＋ －3， g′(x)＝ － .
令g′(x)＝0，得x＝1.
当x＞1时，g′(x)>0， g(x)＝2 ＋ －3在(1，＋∞)上单调递增．
又因为g(1) ＝0， x＞k＝1，所以g(x)＞0，则2 >3－ .
17．(1)
(2)80万件
【详解】（1）由题意得，总售价固定为 ，
当产量不足60万箱时， .
当产量不小于60万箱时， .
则
（2）设 ，
当 时， ，令 ，得 ，
得 在 上单调递增，在 上单调递减，
则 ；
当 时，由基本不等式有
当且仅当 ，即 时取等号；又因为 ，所以当 时，所获利润最大，最大值为1300万元
18．(1)
(2)
(3)
【详解】（1）因为 ，
所以 ，
曲线 在 处的切线与直线 平行，
而直线 的斜率为 ，
所以 ，得 ；
（2）已知 在 内不单调，
即 在 内有极值点，
令 ，则 ，
又 ，∴ ，
当 时， 恒成立，不合题意，
综上， ；
（3）因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，
所以 ，即 ，
令 ， ，即 ，令 ， ，要使 ，
只需 ，解得 ，
即实数 的取值范围是 ．
19．(1) 在 上单调递增，在 上单调递减.
(2)
(3)证明见解析
【法2】由题知 ， 是 两根，即 ， 是 两根，根据极值点偏移构造
， 即可．
【详解】（1）解：函数 的定义域为 ， ，
由 ，可得 ，由 ，可得 ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减.
（2）由（1），当 时， ， 在 上单调递增，
，∴ ；
当 时， ， 在 上单调递减， ，与前提矛盾，舍去；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减， ，不合
题意；
综上， ；
（3）【法1】由（1） ，令 ， ，当 时，由 ，得，整理可得 ，
， ，∴ .
要证明 ，只需证明 ，
即证 ，
即证 ，即 ，两边取自然对数，即证 ，
化简转化为要证 ，
又 ，即证 ，
设 ， ，
，
设 ， ，所以 在 上单调递增，
所以 ，即 ，从而 在 上单调递增，
所以 ，故原命题成立.
【法2】
由题意，若记 ，那么 ， 是 两根， ，可转化为
， 是 两根，
令 ， ，令 ， ，解 ， ；， ，所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
不妨设 ，要证 ，即 ，只需证 ，
只需证 ，
令 ， ，
当 时， ， ，
