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广东高州中学等校2025-2026学年高二下学期5月学情检测数学试题
一、单选题
1．某校开展阅读打卡活动，语文老师要求每个学生阅读科普类文本或人文自然类文本中的一本，现有7本
科普类文本和8本人文自然类文本可供选择，小明按照语文老师的要求进行选择，则不同的选法共有（
）
A．7种 B．8种 C．15种 D．56种
2．已知函数 满足 ，则 （ ）
A．4 B． C． D．2
3．函数 在 上的值域为（ ）
A． B． C． D．
4．已知数列 满足 ， ．若 ，则正整数 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
5．若二项式 的展开式中，x和 的系数相同，则非零常数 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
6．将标有 、 、 、 、 、 的六张数字卡片分成甲、乙、丙三组，要求每组都有奇数数字卡片与偶数
数字卡片，则不同的分法总数为（ ）
A． B． C． D．
7．记 为等比数列 的前n项和，若 ， ， ，则 （ ）
A．3 B． C．6 D．
8．已知函数 ， ．若 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题9．“杨辉三角”揭示了二项式系数在三角形数阵中的排列规律，在我国南宋数学家杨辉1261年所著的
《详解九章算法》一书中就有出现，如图，下列关于“杨辉三角”的说法正确的是（ ）
A．每行的首位和末位均为1
B． 对应的行中共有4个质数
C．若有不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，则该数字的最小值为6
D． 对应的行的各项数字之和为
10．若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
11．对于数列 ， ，若对任意正整数n， 恒成立，则称 是“ 有界数列”，若
，则称 是阶乘数列，则（ ）．
A．对任意等差数列 ，存在等比数列 使得 是“ 有界数列”
B．对任意等比数列 ，存在等差数列 使得 是“ 有界数列”
C．对任意等差数列 ，存在阶乘数列 使得 是“ 有界数列”
D．对任意阶乘数列 ，存在等比数列 使得 是“ 有界数列”
三、填空题
12．已知函数 ，则 ______．13．已知在公差为 的等差数列 中， ，且 ， ，则 ______．
14．将甲、乙、丙、丁等8个人平均分成两组：第一组和第二组，在第一组中选择2人干工作C，其余2
人干工作D；在第二组中选择1人干工作E，其余3人干工作C，已知甲不能干工作C，乙要干工作D，丙
不与丁在同一组，则分配方式总数为______．（用数字作答）
四、解答题
15．若 ，证明：
(1) ；
(2) ．
16．已知函数 ，曲线 在点 处的切线方程为 ．
(1)求 ；
(2)若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围．
17．记 为数列 的前 项和， ．
(1)求数列 的前 项和；
(2)求 ．
18．在等差数列 中， ， ．
(1)求 ；
(2)求 ；
(3)若 ，记 为 的前n项和，证明： ．19．已知函数 ， ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)求 的零点个数；
(3)当 时，记 ， 的各零点之和为T，证明： ．
参考数据： ， ．参考答案
1．C
【详解】有7本科普类文本和8本人文自然类文本，从科普类文本或人文自然类文本中选一本，
所以，根据分类加法计数原理，不同的选法共有 （种）．
2．B
【详解】 ．
3．A
【详解】因为 ，则 在 内恒成立，
可知 在 上单调递减，且 ，
所以函数 在 上的值域为 .
4．B
【详解】因为 ， ，所以 ， ，可得 ，而 ，则
正整数 的最小值是 ，故B正确．
5．C
【详解】由题意可得x的系数为 ， 的系数为 ，
则有 ，解得 或 （舍去）．
6．B
【详解】将奇数数字卡片分配给甲、乙、丙三组，可以是 、 、 或 、 、 或 、 、 ，有 种分配方
法，
将偶数数字卡片分配给甲、乙、丙三组，共 种分法，
由分步乘法计数原理知共3×6=18种分法．
7．D
【详解】记 的公比为q，由 ，得 ，
由 ，得 ，则 ，由 ，得 ，即 ，联立解得 ，
所以 ．
8．D
【详解】已知函数 ，其中 ，定义域为 ，
则 ，
令 ，则 或 ，
当 时， ，则 时， ， 单调递减，当 时， ，
单调递增，
此时函数 的最小值为 ，
因为对 ，有 ，则 ，即 ，得 ，此时 没有最小值，不符合题意；
当 时， ，则 时， ， 单调递减，当 时，
， 单调递增，
此时函数 的最小值为 ，
因为对 ，有 ，则 ，即 ，
得 ，则 ，即 ．故D正确．
9．ACD
【详解】对于A，显然 ，故A正确；对于B，易知 对应的行中的数为1，5，10，10，5，1，显然只有2个质数，故B错误；
对于C，注意到前5行不存在不同的两行同时出现了相同数字，且该数字不为1，
而第6行后除1以外数字最小为6，且其在 对应的行出现过，故C正确；
对于D，当 时，该行的数依次为二项式 展开式中各项的系数顺序排列所得，
取 得和为 ，故D正确．
10．ABD
【详解】令 ，则 ，故A正确；
，故B正确；
令 ，得 ，
令 ，得 ，
两式相减得 ，故C错误；
对等式两边求导得 ，
令 ，得 ，故D正确．
11．AC
【详解】对于 A，设任意等差数列 满足 ．取等比数列 ，其中
．则 .
因为对任意正整数 ，有 ，所以
.故 A 正确．
对于 B，取等比数列 ．若存在等差数列 ，设 ，则 .
取正整数 ，使 ，又 ，于是 ，与题设要求矛盾，故 B 不正确．对于 C，设任意等差数列 满足 ．
取阶乘数列 ，其中 ．则 ，
且 .
因为对任意正整数 ，有 ，且 ，
所以 .故 C 正确．
对于 D，取阶乘数列 ．若存在等比数列 ，设 ，则 .
当 时， ．
取正整数 ，使 ，则 ，与题设要求矛盾．
当 时，令 于是有 .
取正整数 ，使 ，则当 时， ．
于是对任意正整数 ，有 .
又因为可以取 足够大，使 ，所以存在正整数 ，使 .
即 ，这也与题设要求矛盾．故 D 不正确．
12．
【详解】因为 ，于是 ．
13．20
【详解】因为等差数列 中， ，且 ，
所以 ，两式相减得 ，代入 中，得 ，解得 ．
14．68
【详解】不妨考虑丙在第一组，丁在第二组．显然乙必然在第一组．
若甲在第一组，则剩余4人中1人进第一组与丙共干工作C，剩余3人进入第二组，而这3人与丁中1人干
工作E，剩余3人干工作C，故共有 种．
若甲在第二组，则剩余4人中2人进第二组与丁干工作C，剩余2人进第一组与丙干工作，其中1人干工
作D，剩余2人干工作C，故此时共有 种．
所以，丙在第一组，丁在第二组的分配情况共有 种，
同理，由对称性可知,丙在第二组，丁在第一组的分配情况也有 种，
所以，总分配方式共 种．
15．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【详解】（1）由题意得 ， ， ，
又 ，
所以 ．
（2）由题意得 ， ，
而 ，
而 ，
所以 ．
16．(1) ， .(2)
【详解】（1）已知 ，求导得 .
曲线在点 处的切线方程为 ，切线斜率 ，且 .
代入计算： ， .
故 ， .
（2）由（1）得 ，则 .
求导得 .
因为 在 上单调递增，所以 在 上恒成立，即 在 上恒成立.
令 ， ，求导得 .
因为 时， ，所以 ，即 在 上单调递增.
因此 .
故 ，即 的取值范围为 .
17．(1)
(2)
【详解】（1）解：由 为数列 的前 项和， ，可得 ，
两式相减，可得 ，即 ，所以 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，
再令 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以数列 是以 为首项，公比为 的等比数列，
则数列 的前 项和为 ．
（2）解：由（1）知： ，可得 ，且 ，
所以数列 是首项为 ，公差为 的等差数列，可得 ，
所以数列 的通项公式为 ，
则 ，
可得
两式相减，可得
，所以 ．
18．(1)
(2)
(3)证明见解析
【详解】（1）解：记 的公差为d，因为 ，
所以 .
（2）解：由题意可得 ， ，此时显然 ，可得 ，
则 ，
即 ，即 ，解得 ，
所以 ．
（3）证明：当 时， ，此时 ，不符合题意，
当 时， ，此时 ，符合题意．
此时 ，故 ．
所以 ．
所以 ，
即 ，
所以
，证毕.
19．(1)当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间 ，上单调递增，在区间 上单调递减．
(2)唯一零点
(3)证明见解析
【详解】（1）解： ， ，
令 ，则 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ，由 得 ，
当 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减；
当 时， ， 单调递增．
综上，当 时， 在区间 上单调递增；当 时， 在区间 ，
上单调递增，在区间 上单调递减．
（2）解： ，
设 ， ，
当 时， ， 单调递减；当 时， ， 单调递增，所以 ，而 是增函数，
所以 时 ， 单调递增，
因为当 时， ， ， ，
所以 有唯一零点 ．
（3）证明：注意到 ，故 是函数 的一个零点，
因为 ，
所以，若 存在零点 ，则 也是其零点，
令 ，
则 在 上恒成立，
所以 在 上单调递减，
所以 ，即 在 上恒成立，
所以 ，
又因为 ， ， ，
所以 在区间 上有唯一零点 ，
所以 ， ，
设 ， ，
所以 在 上恒成立，故 在 上单调递增，所以 ，即 ，证毕.
