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山东省菏泽市第一中学2025-2026学年高二下学期4月教学诊断检测
数学试题
一、单选题
1．已知函数 有极值，则c的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．如图是我国古代数学家赵爽在为《周髀算经》作注解时给出的“弦图”．现提供4种颜色给“弦图”的
5个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则不同的涂色方案共有（ ）
A．48种 B．72种 C．96种 D．144种
3．若函数 在区间 上不单调，则实数a的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
4．已知函数 ，若关于 的不等式 恒成立，则实数 的最小值为（ ）
A． B． C． D．1
5．函数 的大致图象是（ ）
A． B．C． D．
6．若点P是曲线 上任意一点，则点P到直线 的距离的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数 在闭区间 上的图象连
续不间断，在开区间 内的导数为 ，那么在区间 内至少存在一点c，使得
成立，其中c叫做 在 上的“拉格朗日中值点”．根据这个定理，可得
函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为（ ）．
A．3 B．2 C．1 D．0
8．已知函数 是定义在 上的偶函数，其导函数为 ，且当 时， ，则不等
式 的解集为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列函数的求导运算正确的是（ ）
A． B．C． D．
10．对于函数 ，下列说法正确的是（ ）
A． 在 处取得极大值 ；
B． 有两个不同的零点；
C．
f'(x)=ex− a =0
D． x
11．已知函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A．函数 存在三个不同的零点
B．函数 既存在极大值又存在极小值
C．若 时， ，则t的最大值为2
D．当 时，方程 有且只有两个实根
三、填空题
12．A、B、C、D共4名同学参加演讲比赛，决出第一至第四的名次.A和B去询问成绩，回答者对A说：
“很遗憾，你和B都没有得到冠军.”对B说：“你当然不会是最差的.”从这两个回答分析，这4人的名次排
列有__________.种（用数字作答）.
13．若函数 在区间 上有单调递增区间，则实数 的取值范围是______．
14．对于函数 ，若对任意的 ，存在唯一的 使得
，则实数 的取值范围是__________．四、解答题
15．已知函数 .
(1)求函数 的极值；
(2)若函数 无零点，用第（1）问结论求 的取值范围.
16．已知函数 ， ，若 的图象在点 处的切线方程为 ，
(1)求函数 的解析式；
(2)若 在区间 上是减函数，求实数a的取值范围.
17．用具体数字表示下列问题．
(1)从100个两两互质的数中取出2个数，其商的个数；
(2)由0，1，2，3组成的能被5整除且没有重复数字的四位数的个数；
(3)有4名大学生可以到5家单位实习，若每家单位至多招1名实习生，每名大学生至多到1家单位实习，
且这4名大学生全部被分配完毕，其分配方案的个数．
18．已知函数 ．
(1)讨论 的单调性；
(2)证明：当 时， ．
19．设函数 .
（1）当 （ 为自然对数的底数）时，求 的最小值；
（2）讨论函数 零点的个数；
（3）若对任意 恒成立，求 的取值范围.参考答案
1．A
解：由题意得 ，
若函数 有极值，则 ，
解得 ，
故选：A．
2．B
解：根据题意，如图，假设5个区域依次为 ，分4步分析：
①，对于 区域，有4种涂法，
②，对于 区域，与 相邻，有3种涂法，③，对于 区域，与 相邻，有2种涂法，
④，对于 区域，若其与 区域同色，则 有2种涂法，
若 区域与 区域不同色，则 有1种涂法，则 区域有2+1＝3种涂色方法，
则不同的涂色方案共有4×3×2×3＝72种；
故选： B．
3．B
【详解】由题设， ，又 在 上不单调，
所以函数 在 上存在变号零点，
设 ， ，
则 ，则 在 上单调递增，
所以 ，即 ，解得 ，
则 的取值范围是
故选：B.
4．B
【详解】由题可知 ， ，
由于 ，故 在 上恒成立，
故 在 上单调递增，
因为 ，
所以 ，即 恒成立，令 ， ，
则 ，
由 可得， ，由 可得， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 在 处取得极大值，也是最大值，
即 ，
故 ，解得
故实数 的最小值为 .
故选：B
5．D
【详解】函数 的定义域为 ，
当 时， ，此时函数 的图象在 轴上方，排除C；
由 ，得 ，因此函数 只有1个零点，其图象与 轴只有1个交点，排除B；
又 ，当 时， ，因此 ，排除A，D符合题意..
6．A
【详解】由函数 ，可得 ， ，令 ，解得 、或 （舍去），
单调递增 单调递减
设 ， ，所以图象向上凹，如图画出函数 的图象，以及直线 得到图象，以及平移直线 与函数相切的直线，
则 ，
即平行于直线 的直线与曲线 相切的切点坐标为 ，
，所以切点 在直线 的左侧，
曲线 上任意一点到直线 距离的最小值为点 到直线 的距离，
由点到直线的距离公式，可得点P到直线l的距离为 ．
故选：A
7．B
【详解】函数 ，求导得： ，令 为 在 上的“拉格朗日中值点”，
则有 ，即 ，
整理得 ，解得 ，
所以函数 在 上的“拉格朗日中值点”的个数为2.
故选：B.
8．D
【详解】令 ，则 ，当 时， ，所以当 时， ，
即 在 上是增函数，由题意 是定义在 上的偶函数，所以 ，
所以 ，所以 是偶函数，在 单调递减，
所以 ， ，
即不等式 等价为 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不等式 的解集为 ．
故选：D
9．BCD
【详解】对于A， ，A错误；
对于B， ，B正确；
对于C， ，C正确；
对于D， ，D正确.
故选：BCD
10．AC
【详解】 的定义域为 ，且 .令 ，得 在 上单调递增，在
上单调递减，因此 在 处取得极大值 正确.
令 ，解得 ，故函数 有且仅有一个零点， 错误.
由 在 上单调递减，得 ，则 正确.因为 ，即 ，所以 ，则 错误.
故选：AC.
11．BCD
【详解】由函数 ，可得 ，
令 ，解得 或 ，
当 时， ；当 时， ；当 时， ，
所以函数 在 单调递减，在 上单调递增，
当 ，函数 取得极小值 ；
当 ，函数 取得极大值 ，
当 时， ，当 时， ，
作出函数 的图象，如图所示，结合图象得：
对于A中，函数 存在两个不同的零点，所以A不正确；
对于B中，函数 既存在极大值又存在极小值，所以B正确；
对于C中，当 时， ，可得 ，所以t的最大值为 ，所以C正确；
对于D中，若方程 有且只有两个实根，
即 与 的图象有两个不同的交点，可得 ，所以D正确.
故选：BCD.12．
【详解】依题意 、 不在第一名且 不在第四名，
若 在第四名，先排 到第二、三名中的一个位置，另外两个人全排列，
所以有 种排列；
若 不在第四名，则先排 、 到第二、三名两个位置，另外两个人全排列，
所以有 种排列；
综上可得这4人的名次排列有 种.
故答案为：
13．
【详解】 ，由题意 在 上有解，
即 在 上有解，
根据对勾函数的性质可知， 在 上单调递增，所以在 时取最大值，
故 ，故实数 的取值范围是 .
故答案为：
14．【详解】函数 ，求导 ，
令 ，求导 ，
函数 在 上单调递增，当 时， ；当 时， ，
则函数 在 上单调递减，在 上单调递增，
则 ，因此函数 在 上单调递增，
当 时， ，即 ，
函数 ，求导得 ，
当 时， ，当 时， ，
函数 在 上单调递减，此时 ，即 ；
在 上单调递增，此时 ，即 ，
由对任意的 ，存在唯一的 使得 ，
得 是 的子集，
即 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
故答案为： ．
15．(1)极小值为 ，无极大值.
(2) .【详解】（1）由题意得： 定义域为 ， ；
令 ，解得： ，
则当 时， ；当 时， ；
∴ 在 上单调递减，在 上单调递增，
∴ 的极小值为 ，无极大值.
（2）由（1）知： 的极小值即为 的最小值，即 ；
若 无零点，则 ，即 ，∴ ，解得： ，
则 的取值范围为 .
16．(1) ；
(2) .
【详解】（1）函数 的图象在点 处的切线方程为 ，
又 ，则 ，即 ，
又 ，即切点为 ，于是 ，解得 ，
所以函数 的解析式为 ．
（2）由（1）知， 在 上是减函数，
则 对 恒成立，即 对 恒成立，
又 在 上为减函数，则 在 上为减函数，当 时， 取得最小值 ，因此 ，解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．
17．(1)9900
(2)6
(3)120
【详解】（1）从100个两两互质的数中取出2个数，分别作为商的分子和分母，其商共有
（个）．
（2）因为组成的没有重复数字的四位数能被5整除，所以这个四位数的个位数字一定是“0”，
故确定此四位数，只需确定千位数字、百位数字、十位数字即可，共有 （个）．
（3）可以理解为从5家单位中选出4家单位，
分别把4名大学生安排到4家单位，共有 （个）分配方案．
18．(1)答案见解析；
(2)证明见解析.
【详解】（1） 的定义域为 ， ．
若 ，则 ， 在 上单调递减：
若 ，则由 得 ，当 时， ；当 时， ；
故 在 上单调递减，在 上单调递增；
故当 时， 在 上单调递减：
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增；
（2）方法1，当 时，由（1）知，当 时， 取得最小值．
所以 ，从而 ．
设 ，则 ．当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
故当 时， ，
故当 时， ，即 ；
方法2：当 时，由（1）知，当 时， 取得最小值，
所以 ，
从而 ，
令 ， ，
当 时， ；当 时， ；
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
故 ，当 等号成立；
所以，当 时， ，
即 .
19．（1）2；（2）当 时，函数 无零点；当 或 时，函数 有且仅有一个零点；当
时，函数 有两个零点；（3） .
【详解】试题分析：（1）当m=e时， ＞0，由此利用导数性质能求出f（x）的极小值；（2）
由 ，得 ，令 ，x＞0，m∈R，则h（1）= ，
h′（x）=1-x2=（1+x）（1-x），由此利用导数性质能求出函数g（x）=f′（x）- 零点的个数；（3）（理）当b＞a＞0时，f′（x）＜1在（0，+∞）上恒成立，由此能求出m的取值范围
试题解析：（1）由题设，当 时，
易得函数 的定义域为
当 时， ，此时 在 上单调递减；
当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时， 取得极小值
的极小值为2
（2） 函数
令 ，得
设
当 时， ，此时 在 上单调递增；
当 时， ，此时 在 上单调递减；
所以 是 的唯一极值点，且是极大值点，因此x=1也是 的最大值点，
的最大值为
又 ，结合y= 的图像（如图），可知①当 时，函数 无零点；
②当 时，函数 有且仅有一个零点；
③当 时，函数 有两个零点；
④ 时，函数 有且只有一个零点；
综上所述，当 时，函数 无零点；当 或 时，函数 有且仅有一个零点；当
时，函数 有两个零点.
（3）对任意 恒成立，等价于 恒成立
设 ， 在 上单调递减
在 恒成立
恒成立
（对 ， 仅在 时成立）， 的取值范围是
