2025-2026 学年高二下学期期末模拟考试（三）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
答案速查表
1 2 3 4 5
D B A B C
6 7 8 9 10
B C D AD AD
11 12 13 14 15
（1）a =2n
n
3 ( 6 ) （2）
ABD 6.2 0,
20 e3 4n+1 1 7
T = − +
2n 15 2n+2 30
16 17 18 19
1 （1）①分布列见解析；
（1）认为 （1） （2） （1）是，对
2 5 17
有关 E(X)= ② （2）① 乘系数为 0
分布列见解 3 81
63 （2）证明见
（2） 187 析；E(X)= 3 E(Y)=300x p ② (1 ,1 ) 解析
2 5 2
第一部分 选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合 A={x|x<8},B={x|x=2k,k∈N}，则 A∩B=（ ）
A. {0,2,4,6,8} B. {2,4,6,8} C. {2,4,6} D. {0,2,4,6}
【答案】D
【解析】∵集合 B 表示非负偶数集，即 B={0,2,4,6,8,⋯}，
又 A={x|x<8}，
∴A∩B={0,2,4,6}．
【点拨】本题考查集合的交集运算以及描述法的理解，注意集合 B 中的元素为非负偶数是解题关
键.
第 1 页，共 16 页2. 已知某批零件的直径 X（单位：毫米）服从正态分布 N(10,σ2 )．若
P(9≤X≤11)=0.7，则从这批零件中任意抽取 1 个零件，该零件的直径大于 11 毫米的概
率为（ ）
A. 0.35 B. 0.15 C. 0.3 D. 0.175
【答案】B
【解析】由题意可知，正态分布的均值 μ=10，
∵P(9≤X≤11)=0.7，且正态曲线关于直线 x=10 对称，
1−P(9≤X≤11) 1−0.7
∴P(X>11)= = =0.15．
2 2
【点拨】本题考查正态分布曲线的对称性，利用对称性求出目标区间的概率是常用方法.
3. 已知等比数列 12,6,3,⋯，则该等比数列的第 6 项是（ ）
3 1 3 1
A. B. C. D.
8 16 16 32
【答案】A
【解析】已知等比数列的首项 a =12，第 2 项 a =6，
1 2
a 6 1
∴公比 q= 2= = ，
a 12 2
1
则该等比数列的第 6 项 a =a q5=12×
(1) 5
=12×
1
=
3
．
6 1 2 32 8
【点拨】本题考查等比数列的通项公式，先求出公比，再代入公式计算即可.
4. (2a+3b) 6 的展开式的第 4 项的系数是（ ）
A. C4×22×34 B. C3×23×33 C. C3 D. C4×24×32
6 6 6 6
【答案】B
【解析】二项式 (2a+3b) 6 展开式的通项公式为 T =Cr (2a) 6−r (3b) r=Cr26−r3ra6−rbr，
r+1 6 6
令 r=3，可得展开式的第 4 项为 T =C32333a3b3，
4 6
∴第 4 项的系数是 C3×23×33．
6
【点拨】本题考查二项式定理的通项公式，注意第 4 项对应的是 r=3，不要混淆.
5. 某旅行社设计了 4 条不同的旅游路线，小夏要从中任选 2 条路线，分别在假期 7 月
和 8 月出游，则不同的出游方法有（ ）
A. 24 种 B. 16 种 C. 12 种 D. 6 种
【答案】C
【解析】从 4 条不同的旅游路线中任选 2 条，分别在 7 月和 8 月出游，
这是一个排列问题，不同的出游方法有 A2=4×3=12 种．
4
第 2 页，共 16 页【点拨】本题考查排列组合的基础应用，由于 7 月和 8 月是两个不同的时间，选出的路线有顺序
区别，故用排列数计算.
6. A，B 两种品牌的某种型号钢笔的市场占有率如图所示，且 A，B 两种品牌的钢笔的
次品率分别为 4% 和 a%．若市场上这种型号钢笔的次品率为 2.5%，则 a=（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】设从市场上任取一支该型号钢笔，它是次品为事件 C，它是 A 品牌为事件 A，它是 B
品牌为事件 B，
由扇形图可知，P(A)=25%，P(B)=75%，
已知 P(C|A)=4%，P(C|B)=a%，
由全概率公式可得，市场上这种型号钢笔的次品率 P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|B)，
即 2.5%=25%×4%+75%×a%，
解得 a=2．
【点拨】本题考查全概率公式的实际应用，能够从扇形图中提取先验概率，并结合条件概率列出
方程是解题关键.
7. 函数 f(x)=x2−3lnx 图象上的点到直线 x+ y+4=0 的距离的最小值为（ ）
A. √2 B. 2√2 C. 3√2 D. 4√2
【答案】C
【解析】设函数 f(x)=x2−3lnx 图象上与直线 x+ y+4=0 平行的切线的切点为 (x ,y )，
0 0
3
由 f(x)=x2−3lnx，得 f' (x)=2x− ，
x
3
令 f' (x )=2x − =−1，即 2x2+x −3=0，
0 0 x 0 0
0
3
解得 x =1 或 x =− （∵x>0，故舍去），
0 0 2
当 x =1 时，y =12−3ln1=1，即切点为 (1,1)，
0 0
此时该切点到直线 x+ y+4=0 的距离即为所求的最小值，
|1+1+4| 6
最小值为
d= = =3√2．
√12+12 √2
第 3 页，共 16 页【点拨】本题考查导数的几何意义及点到直线的距离.曲线上点到直线距离的最小值，通常转化为
求与已知直线平行的切线切点到该直线的距离.
ax
8. 若不等式 ≤1 对任意 x∈R 恒成立，则实数 a 的取值范围是（ ）
ex−a
A. [0,1] B. [0,+∞) C. (−∞,0] D. (−∞,1]
【答案】D
ax
【解析】不等式 ≤1 恒成立，即 axea−x≤1 恒成立．
ex−a
令 h(x)=axea−x，则 h' (x)=a(1−x)ea−x．
若 a>0，当 x<1 时，h' (x)>0，h(x) 单调递增；当 x>1 时，h' (x)<0，h(x) 单调递减．
∴h(x) =h（1）=aea−1．
max
要使 h(x)≤1 恒成立，只需 aea−1≤1．
设 φ(a)=aea−1，则 φ' (a)=(a+1)ea−1，
当 a>0 时，φ' (a)>0，φ(a) 单调递增，又 φ（1）=1，∴当 0<a≤1 时，aea−1≤1，即
h(x)≤1 恒成立．
若 a=0，h(x)=0≤1 恒成立．
若 a<0，当 x<0 时，ax>0，ea−x>0，当 x→−∞ 时，h(x)→+∞，不可能恒小于等于 1．
综上，a 的取值范围是 [0,1]．
【点拨】本题考查利用导数研究不等式恒成立问题.将不等式转化为函数的最值问题，分类讨论参
数 a 的符号，结合极限思想分析函数的值域是解题的关键.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 若 (2x+1) 18=a +a (x+1)+a (x+1) 2+⋯+a (x+1) 18，则（ ）
0 1 2 18
A. a =1
0
B. a +a +⋯+a =0
1 2 18
318−1
C. a +a +a +⋯+a =
0 2 4 18 2
D. a =218
18
【答案】AD
【解析】已知 (2x+1) 18=a +a (x+1)+a (x+1) 2+⋯+a (x+1) 18，
0 1 2 18
令 x=−1，则 (−2+1) 18=a ，即 a =1，故 A 正确；
0 0
令 x=0，则 118=a +a +a +⋯+a =1，
0 1 2 18
∴a +a +⋯+a =1−a =0，故 B 错误；
1 2 18 0
令 x=−2，则 (−3) 18=a −a +a −a +⋯+a =318，
0 1 2 3 18
第 4 页，共 16 页将 x=0 和 x=−2 代入得到的两式相加，得 2(a +a +a +⋯+a )=1+318，
0 2 4 18
318+1
∴a +a +a +⋯+a = ，故 C 错误；
0 2 4 18 2
将原式左边变形为 (2(x+1)−1) 18，展开后最高次项为 (2(x+1)) 18=218 (x+1) 18，∴a =218，故
18
D 正确．
【点拨】本题考查二项式定理中的赋值法.通过巧妙地对变量 x 赋特殊值（如 −1,0,−2），可以
求出展开式各项系数的和或部分系数的和.
10. 已知随机变量 X 的分布列如下表：
X 1 2 3 4 5
1 1 3
P p p
16 1 4 2 16
1 1
其中 ,p , 成等比数列，则下列结论正确的是（ ）
16 1 4
1 1
A. p , ,p 成等差数列 B. p =±
1 4 2 1 8
15 7
C. P(2<X<5)= D. E(X)=
16 2
【答案】AD
【解析】由分布列的性质可知，所有概率之和为 1，
1 1 3 1
即 +p + +p + =1，解得 p +p = ．
16 1 4 2 16 1 2 2
1 1 1 1 1
又∵ ,p , 成等比数列，∴p2= × = ，
16 1 4 1 16 4 64
1
∵概率 p ≥0，∴p = ，故 B 错误；
1 1 8
1 1 3
将 p = 代入 p +p = ，得 p = ．
1 8 1 2 2 2 8
1 3 1 1 1 1 1
对于 A，p +p = + = ，而 2× = ，∴p +p =2× ，即 p , ,p 成等差数列，故 A 正
1 2 8 8 2 4 2 1 2 4 1 4 2
确；
1 3 5
对于 C，P(2<X<5)=P(X=3)+P(X=4)= + = ，故 C 错误；
4 8 8
1 1 1 3 3 1+4+12+24+15 56 7
对于 D，E(X)=1× +2× +3× +4× +5× = = = ，故 D 正确．
16 8 4 8 16 16 16 2
【点拨】本题考查离散型随机变量的分布列性质及数学期望的计算，结合了等差、等比数列的定
义.注意概率值必须非负.
11. 已知函数 f(x) 的定义域为 R，若 f(x−y)=f(x)f(y)+f(1+x)f(1+ y)，且
f（0）≠f（2），则下列选项正确的是（ ）
A. f（0）=1 B. f（1）=0
第 5 页，共 16 页100
C. 函数 f(x) 为奇函数 D. ∑f(n)=0
n=1
【答案】ABD
【解析】已知 f(x−y)=f(x)f(y)+f(1+x)f(1+ y)，
令 x= y=0，得 f（0）=[f（0）] 2+[f（1）] 2；
令 x= y=1，得 f（0）=[f（1）] 2+[f（2）] 2，
两式相减可得 [f（0）] 2=[f（2）] 2，
又∵f（0）≠f（2），∴f（0）=−f（2）．
对于 B，令 x=1,y=0，得 f（1）=f（1）f（0）+f（2）f（1），
即 f（1）=f（1）[f（0）+f（2）]，∵f（0）+f（2）=0，∴f（1）=0，故 B
正确；
对于 A，由 f（0）=[f（0）] 2+[f（1）] 2 且 f（1）=0，得 f（0）=[f（0）] 2，
解得 f（0）=0 或 f（0）=1．
若 f（0）=0，则 f（2）=−f（0）=0，这与 f（0）≠f（2） 矛盾，
∴f（0）=1，故 A 正确；
对于 C，令 x=0，得 f(−y)=f（0）f(y)+f（1）f(1+ y)，
∵f（0）=1,f（1）=0，∴f(−y)=f(y)，即函数 f(x) 是偶函数，故 C 错误；
对于 D，∵f(x) 是偶函数，∴f(−1)=f（1）=0，f(−2)=f（2）=−f（0）=−1．
令 x=1，得 f(1−y)=f（1）f(y)+f（2）f(1+ y)，
即 f(1−y)=−f(1+ y)，
∵f(x) 是偶函数，∴f(1−y)=f(y−1)，
∴f(1+ y)=−f(y−1)，即 f(y+2)=−f(y)，
进而 f(y+4)=−f(y+2)=f(y)，
说明函数 f(x) 是以 4 为周期的周期函数．
在一个周期内，
f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=f（1）+f（2）+f(−1)+f（0）=0+(−1)+0+．1=0
100
∴∑f(n)=25×[f（1）+f（2）+f（3）+f（4）]=0，故 D 正确．
n=1
【点拨】本题考查抽象函数的性质（奇偶性、周期性、求值）.利用赋值法，通过巧妙选取 x,y
的值，逐步推导出函数的基本性质是解决此类问题的核心策略.
第 6 页，共 16 页第二部分 非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 某工厂为研究某种产品的产量 x（吨）与所需某种原材料的重量 y（吨）的相关性，
在生产过程中收集了 6 组对应数据 (x,y)，如下表所示．根据表中数据，得出 y 关于 x
的经验回归方程为 ^y=x−0.8，则 m= ＿＿＿＿＿＿．
x 2 3 4 5 6 7
y 1.5 2 3 4 5.5 m
【答案】6.2
【解析】由表中数据可计算得样本平均数：
2+3+4+5+6+7
x´ = =4.5，
6
1.5+2+3+4+5.5+m 16+m
´y= = ．
6 6
∵经验回归直线 ^y=x−0.8 必过样本中心点 (x´ ,´y)，
16+m
∴ =4.5−0.8=3.7，
6
解得 16+m=22.2，即 m=6.2．
【点拨】本题考查线性回归方程的性质。经验回归直线一定经过样本中心点 (x´ ,´y)，这是求解此
类参数问题的最直接方法。
13. 有 6 张卡片，分别标有数字 1,2,3,4,5,6．现从这 6 张卡片中随机抽出 3 张，则抽出
的 3 张卡片上的数字之和比剩余的 3 张卡片上的数字之和小 3 的概率为 ＿＿＿＿＿＿．
3
【答案】
20
【解析】6 张卡片上的数字总和为 1+2+3+4+5+6=21．
设抽出的 3 张卡片上的数字之和为 x，则剩余的 3 张卡片上的数字之和为 21−x．
由题意得 x=(21−x)−3，解得 x=9．
从 6 张卡片中随机抽出 3 张，共有 C3=20 种抽法．
6
要使抽出的 3 张卡片上的数字之和为 9，可能的组合有：(1,2,6)，(1,3,5)，(2,3,4)，共 3 种
情况．
3
∴所求概率 P= ．
20
【点拨】本题考查古典概型的概率计算.先利用整体和与部分和的关系求出目标和，再用列举法找
出符合条件的组合数，最后套用古典概型公式即可.
14. 已知函数 f(x)=10− 10 ．若方程 f ( a ) +f(3−x2 )=10 有 3 个实数根，则 a 的取
ex+1 ex
值范围为 ＿＿＿＿＿＿．
第 7 页，共 16 页( 6 )
【答案】 0,
e3
10 10ex
【解析】已知 f(x)=10− = ，
ex+1 ex+1
10e−x 10
则 f(−x)= = ，
e−x+1 ex+1
10ex 10
∴f(x)+f(−x)= + =10．
ex+1 ex+1
10 10
∵f(x)=10− ，随着 x 的增大，ex+1 增大， 减小，∴f(x) 在 R 上单调递增．
ex+1 ex+1
方程 f ( a ) +f(3−x2 )=10 可化为 f ( a ) =10−f(3−x2 )=f(x2−3)．
ex ex
a
∵f(x) 在 R 上单调递增，∴
=x2−3，
ex
即 a=(x2−3)ex．
方程有 3 个实数根，即函数 g(x)=(x2−3)ex 的图象与直线 y=a 有 3 个交点．
求导得 g' (x)=2xex+(x2−3)ex=(x+3)(x−1)ex．
令 g' (x)=0，得 x=−3 或 x=1．
当 x<−3 时，g' (x)>0，g(x) 单调递增；当 −3<x<1 时，g' (x)<0，g(x) 单调递减；当
x>1 时，g' (x)>0，g(x) 单调递增．
6
∴g(x) 的极大值为 g(−3)=(9−3)e−3= ，极小值为 g（1）=(1−3)e1=−2e．
e3
又当 x→−∞ 时，g(x)→0．
6
画出 g(x) 的大致图象可知，要使直线 y=a 与 g(x) 的图象有 3 个交点，必须满足 0<a< ．
e3
( 6 )
∴a 的取值范围为 0, ．
e3
【点拨】本题考查利用导数研究方程根的个数.通过分析函数的奇偶性（或对称性）与单调性，将
抽象函数方程转化为具体函数方程，再分离参数构造新函数，利用导数求极值并结合极限思想画
出草图是解决此类问题的标准流程.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知 S 为等差数列 {a } 的前 n 项和，满足 a +a =12，S =20．
n n 2 4 4
（1） 求数列 {a } 的通项公式；
n
{ 2a n, n为奇数
（2） 若 b = 8 ，求数列 {b } 的前 2n 项和 T ．
n , n为偶数 n 2n
a a
n n+2
第 8 页，共 16 页4n+1 1 7
【答案】（1） a =2n （2） T = − +
n 2n 15 2n+2 30
【解析】解：（1）设等差数列 {a } 的首项为 a ，公差为 d，
n 1
由 a +a =12，得 2a +4d=12，即 a +2d=6 ………………………… 2 分
2 4 1 1
4×3
由 S =20，得 4a + d=20，即 2a +3d=10 ………………………… 4 分
4 1 2 1
联立解得 a =2,d=2 ………………………… 5 分
1
a =a +(n−1)d=2+(n−1)×2=2n ………………………… 6 分
n 1
∴ { 22n, n为奇数
（2）由（1）得 b = 8
n , n为偶数
2n⋅2(n+2)
{ 4n, n为奇数
即 b = 2 ………………………… 8 分
n , n为偶数
n(n+2)
2 1 1
当 n 为偶数时，b = = − ………………………… 9 分
n n(n+2) n n+2
数列 {b } 的前 2n 项和 T =(b +b +⋯+b )+(b +b +⋯+b ) ………………… 10 分
n 2n 1 3 2n−1 2 4 2n
其中奇数项之和为：
4(1−16n ) 4(16n−1) 42n+1−4
b +b +⋯+b =41+43+⋯+42n−1= = = ………………… 12 分
1 3 2n−1 1−16 15 15
偶数项之和为：
(1 1) (1 1) ( 1 1 ) 1 1
b +b +⋯+b = − + − +⋯+ − = − ………………………… 14 分
2 4 2n 2 4 4 6 2n 2n+2 2 2n+2
42n+1−4 1 1 42n+1 1 7
T = + − = − + ………………………… 15 分
2n 15 2 2n+2 15 2n+2 30
∴
【点拨】本题考查等差数列的通项公式及分组求和法.对于分段定义的数列求和，通常采用分组求
和法，将奇数项和偶数项分别求和，其中偶数项求和用到了裂项相消法，奇数项求和用到了等比
数列求和公式.
16. 甲、乙两人进行赛马，比赛规则如下：甲、乙各挑选 3 匹马（马匹各不相同），每
场比赛甲、乙均从各自挑选的马匹中挑选一匹本次比赛未上场的马进行比赛，三场比赛结
束即为本次比赛结束，三场比赛依次进行，胜利场数多的一方获得本次比赛的胜利，每场
比赛均只有胜负，且胜利与否互不影响．在所有马匹中，有一匹快马，记为 K 马．经统
计，在所有比赛中，参赛者的胜负情况和选择 K 马与否的情况如下表所示．
单位：场
选择 K 马与否 参赛者的胜负情况（胜） 参赛者的胜负情况（负） 合计
选择 48 12 60
未选择 22 18 40
第 9 页，共 16 页选择 K 马与否 参赛者的胜负情况（胜） 参赛者的胜负情况（负） 合计
合计 70 30 100
（1） 完成 2×2 列联表，并依据 α=0.01 的独立性检验，能否认为参赛者的胜负和选择
K 马与否有关联？
（2） 由于马匹的不同，K 马参加比赛的场次会进行调整．根据以往的数据统计，参赛
者选择 K 马参与比赛时，安排 K 马参加第一场、第二场、第三场比赛的概率分别为
1 2 8 3 5 2
, , ，相应参赛者获得本次比赛胜利的概率分别为 , , ．当参赛者选择 K 马参加
3 7 21 4 6 3
比赛时，在参赛者获得本次比赛胜利的条件下，求参赛者安排 K 马参加的是第一场比赛
的概率．
n(ad−bc) 2
附：χ2= ，n=a+b+c+d．
(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
α
63
【答案】(1) 列联表见解析，认为参赛者的胜负和选择 K 马与否有关 (2)
187
【解析】解：(1)补充完整的 2×2 列联表如下：
选择 K 马与否 参赛者的胜负情况（胜） 参赛者的胜负情况（负） 合计
选择 48 12 60
未选择 22 18 40
合计 70 30 100
………………………… 3 分
零假设为 H ：参赛者的胜负和选择 K 马与否无关．
0
100×(48×18−22×12) 2 50
由表中的数据得 χ2= = ≈7.143 ………………………… 6 分
60×40×70×30 7
∵7.143>6.635，
则依据 α=0.01 的独立性检验，可以推断假设不成立，即认为参赛者的胜负和选择 K 马与否有
关． ………………………… 8 分
(2)设事件 A =“参赛者安排 K 马参加第一场比赛”，事件 A =“参赛者安排 K 马参加第二场
1 2
比赛”，事件 A =“参赛者安排 K 马参加第三场比赛”，事件 B=“参赛者获得本次比赛的胜
3
利”．
1 2 8
由题意知，P(A )= ,P(A )= ,P(A )= ，
1 3 2 7 3 21
3 5 2
P(B|A )= ,P(B|A )= ,P(B|A )= ………………………… 10 分
1 4 2 6 3 3
当参赛者选择 K 马参加比赛时，参赛者获得本次比赛胜利的概率为：
P(B)=P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )+P(A )P(B|A )
1 1 2 2 3 3
1 3 2 5 8 2
= × + × + × ………………………… 12 分
3 4 7 6 21 3
第 10 页，共 16 页1 5 16 63+60+64 187
= + + = = ………………………… 13 分
4 21 63 252 252
当参赛者选择 K 马参加比赛时，在参赛者获得比赛胜利的条件下，参赛者安排 K 马参加的是
第一场比赛的概率为：
P(A B) P(A )P(B|A )
P(A |B)= 1 = 1 1 ………………………… 14 分
1 P(B) P(B)
1
4 63
= = ………………………… 15 分
187 187
252
【点拨】本题考查独立性检验以及全概率公式与条件概率（贝叶斯公式）的应用。第二问中，明
确“原因”事件（安排在第几场）和“结果”事件（获得胜利），理清条件概率的关系是解题关
键。
17. 现有 8 款不同的高难度智力扣，每名学生随机抽取 3 款进行破解．已知甲学生只能
破解其中的 4 款，设甲学生抽到能破解的智力扣的数量为 X．
（1） 求 P(X≥2)；
（2） 求 X 的分布列与数学期望．
1 3
【答案】（1） （2） 分布列见解析，E(X)=
2 2
【解析】解：（1）由题意可知，甲学生能破解的智力扣有 4 款，不能破解的也有 4 款．
从 8 款中随机抽取 3 款，抽到能破解的数量 X 服从超几何分布．
P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3) ………………………… 2 分
C2C1
6×4 3
P(X=2)= 4 4 = = ………………………… 4 分
C3 56 7
8
C3C0
4 1
P(X=3)= 4 4 = = ………………………… 6 分
C3 56 14
8
3 1 7 1
P(X≥2)= + = = ………………………… 7 分
7 14 14 2
∴（2）X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3．
C0C3
4 1
P(X=0)= 4 4 = = ………………………… 9 分
C3 56 14
8
C1C2
4×6 3
P(X=1)= 4 4 = = ………………………… 11 分
C3 56 7
8
∴X 的分布列为：
X 0 1 2 3
1 3 3 1
P
14 7 7 14
………………………… 13 分
第 11 页，共 16 页1 3 3 1 3 6 3 21 3
数学期望 E(X)=0× +1× +2× +3× = + + = = ………………………… 15
14 7 7 14 7 7 14 14 2
分
【点拨】本题考查超几何分布的概率计算、分布列及数学期望。识别出模型为超几何分布是解题
的基础，计算时注意组合数的准确性。
18. 某产品生产共有 2n−1(n∈N ) 道工序，每道工序优秀的概率均为 p(0<p<1)，各
+
道工序之间相互独立．当该产品有不少于 n 道工序优秀时，该产品为优品．记产品为优
品的概率为 p ．
n
1
（1） 设 p= ,n=3．
3
①求该产品优秀工序的道数 X 的分布列和数学期望；
②求 p ．
3
（2） 若该产品现共有 7 道工序，每件优品的利润为 90 元．因市场上产品更新换代的速
度很快，工厂决定优化该产品，每件产品增加 2 道工序，增加工序后，单位时间内的产
量是原来产量的 2 倍，并将优品分为一级优品和二级优品，二级优品产量占优品总产量
1
的 ，且每件二级优品的利润是 90 元，每件一级优品的利润是 180 元．
3
①设该产品增加工序前单位时间内的产量为 x 件，记该产品增加工序后单位时间内生产
的优品利润之和为 Y 元，试用 x,p 表示 E(Y)；
5
②若该产品增加 2 道工序后产品为优品的概率变大，求 p 的取值范围．
5 17 (1 )
【答案】（1）①分布列见解析，E(X)= ②p = （2）①E(Y)=300x p ② ,1
3 3 81 5 2
【解析】解：（1）①当 n=3 时，工序总数为 2×3−1=5 道．
1 ( 1)
∵每道工序优秀的概率均为 p= ，且相互独立，∴X∼B 5, ………………………… 1 分
3 3
X 的所有可能取值为 0, 1, 2, 3, 4, 5．
P(X=k)=Ck(1) k (2) 5−k
(k=0,1,2,3,4,5)
5 3 3
32 80 80 40 10 1
P(X=0)= ,P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= ,P(X=5)=
243 243 243 243 243 243
………………………… 3 分
X 的分布列为：
X 0 1 2 3 4 5
32 80 80 40 10 1
P
243 243 243 243 243 243
第 12 页，共 16 页………………………… 4 分
1 5
数学期望 E(X)=5× = ………………………… 5 分
3 3
②由题意，有不少于 3 道工序优秀时为优品，
40 10 1 17
p =P(X≥3)=P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)= + + = ………………………… 7
3 243 243 243 81
∴分
(2) 增加工序前产量为 x，增加后产量为 2x．
增加 2 道工序后，产品总工序数为 9，优品概率为 p （因为 2n−1=9⇒n=5）．
① 5
单位时间内生产的优品数量的期望为 2x⋅p ………………………… 9 分
5
2 1
其中一级优品占 ，二级优品占 ，
3 3
( 2 1)
∴利润之和的期望 E(Y)=2x⋅p × 180× +90× ………………………… 11 分
5 3 3
=2x p ×(120+30)=300x p ………………………… 12 分
5 5
②增加 2 道工序前，工序数为 7（即 n=4），优品概率为 p ；增加后工序数为 9，优品概率为
4
p ．
5
由题意知 p >p ．
5 4
p 表示 7 道工序中至少有 4 道优秀的概率．
4
增加 2 道工序后，要成为优品（至少 5 道优秀），可以分为以下情况：
前 7 道中至少有 5 道优秀（概率为 P(X ≥5)），此时新增的 2 道无论怎样都满足条件；
7
前 7 道中恰有 4 道优秀（概率为 C4p4 (1−p) 3），此时新增的 2 道中至少有 1 道优秀（概率为
7
1−(1−p) 2）；
前 7 道中恰有 3 道优秀（概率为 C3p3 (1−p) 4），此时新增的 2 道必须全部优秀（概率为 p2）．
7
p =P(X ≥5)+C4p4 (1−p) 3 [1−(1−p) 2 ]+C3p3 (1−p) 4p2 ………………………… 14 分
5 7 7 7
∴又∵p =P(X ≥5)+C4p4 (1−p) 3，
4 7 7
∴p −p =C4p4 (1−p) 3 [1−(1−p) 2−1]+C3p5 (1−p) 4
5 4 7 7
=−C4p4 (1−p) 3 (1−p) 2+C3p5 (1−p) 4
7 7
=−C4p4 (1−p) 5+C3p5 (1−p) 4 ………………………… 15 分
7 7
∵C4=C3，提取公因式得：
7 7
p −p =C3p4 (1−p) 4 [p−(1−p)]=C3p4 (1−p) 4 (2p−1) ………………………… 16 分
5 4 7 7
要使 p >p ，即 p −p >0，
5 4 5 4
∵0<p<1，∴C3p4 (1−p) 4>0，
7
1
∴只需 2p−1>0，解得 p> ．
2
第 13 页，共 16 页(1 )
∴p 的取值范围是 ,1 ………………………… 17 分
2
【点拨】本题考查二项分布的概率计算及期望，以及概率递推关系的推导。第二问中，利用全概
率公式思想，将增加工序后的优品概率与增加前的概率建立联系，通过作差法比较大小是解决此
类问题的经典技巧。
19. 若函数 f(x) 满足定义域为 N ，∀x∈N ,lnf(x)≤1，且
+ +
x
∃t∈R,∀x∈N ,∑lnf(i)=(x+t)ln(x+1)−ln(x!)，则称 f(x) 为“对乘函数”，t
+
i=1
为 f(x) 的“对乘系数”．
( 1) x
（1） 试判断函数 f(x)= 1+ ,x∈N 是否为“对乘函数”．若是，求出 f(x) 的
x +
“对乘系数”；若不是，请说明理由．
（2） 已知 f(x) 是“对乘系数”为 m 的“对乘函数”，证明：2m+1≤e．
【答案】（1） 是，对乘系数为 0 （2） 证明见解析
( 1) x
【解析】解：（1）对于 f(x)= 1+ ,x∈N ，
x +
( 1)
lnf(x)=xln 1+ ．
x
( 1)
设 g(x)=xln 1+ =x[ln(x+1)−lnx]，
x
1
令 h(x)=ln(x+1)−lnx− ，则
x+1
1 1 1 x(x+1)−(x+1) 2+x −1
h' (x)= − + = = <0，
x+1 x (x+1) 2 x(x+1) 2 x(x+1) 2
∴h(x) 在 (0,+∞) 上单调递减，当 x→+∞ 时，h(x)→0，
( 1) 1
∴h(x)>0，即 ln 1+ > ．
x x+1
( 1) 1
同理可证 ln 1+ < ．
x x
( 1) 1
∴lnf(x)=xln 1+ <x⋅ =1，满足第一个条件． ………………………… 2 分
x x
x x
又 ∑lnf(i)=∑i[ln(i+1)−lni]
i=1 i=1
=1⋅(ln2−ln1)+2⋅(ln3−ln2)+⋯+x[ln(x+1)−lnx]
=−ln1−ln2−ln3−⋯−lnx+xln(x+1)
=xln(x+1)−ln(x!) ………………………… 4 分
第 14 页，共 16 页x
对比定义式 ∑lnf(i)=(x+t)ln(x+1)−ln(x!)，可知存在实数 t=0 满足条件．
i=1
∴f(x) 是“对乘函数”，且“对乘系数”为 0． ………………………… 6 分
（2）证明：已知 f(x) 是“对乘系数”为 m 的“对乘函数”，
x
则 ∑lnf(i)=(x+m)ln(x+1)−ln(x!)．
i=1
x x−1
当 x≥2 时，lnf(x)=∑lnf(i)−∑lnf(i)
i=1 i=1
=[(x+m)ln(x+1)−ln(x!)]−[(x−1+m)lnx−ln((x−1)!)] ……………………… 8 分
=(x+m)ln(x+1)−(x+m−1)lnx−[ln(x!)−ln((x−1)!)]
=(x+m)ln(x+1)−(x+m−1)lnx−lnx
( 1)
=(x+m)ln(x+1)−(x+m)lnx=(x+m)ln 1+ ………………………… 10 分
x
当 x=1 时，lnf（1）=(1+m)ln2−ln1=(1+m)ln2，上式也成立．
( 1)
∴lnf(x)=(x+m)ln 1+ ． ………………………… 12 分
x
由“对乘函数”的定义知，∀x∈N ,lnf(x)≤1，
+
( 1)
∴(x+m)ln 1+ ≤1 对 ∀x∈N 恒成立．
x +
1 1
x+m≤ m≤ −x
即 ( 1)，∴ ( 1) 恒成立． ………………………… 14 分
ln 1+ ln 1+
x x
1
φ(x)= −x
设 ( 1) ，
ln 1+
x
∵m≤φ(x) 对所有正整数 x 成立，必然对 x=1 成立，
1
∴m≤φ（1）= −1． ………………………… 16 分
ln2
1
即 m+1≤ ，
ln2
∴(m+1)ln2≤1，即 ln2m+1≤1，
∴2m+1≤e．证明完毕． ………………………… 17 分
【点拨】本题考查新定义背景下的数列求和与不等式证明.通过作差法求出 lnf(x) 的表达式是解
题的突破口，随后利用恒成立条件，取特殊值 x=1 即可巧妙证得目标不等式.
第 15 页，共 16 页双向细目表
目标难度系
题号 题型 分值 知识模块 具体考点要求 备注
数
集合与逻 基础送
1 单选 5 集合的交集或并集运算 0.90
辑 分
基础送
2 单选 5 概率统计 正态分布的对称性与概率计算 0.85
分
基础送
3 单选 5 数列 等差或等比数列的基本运算 0.85
分
4 单选 5 计数原理 二项式定理特定项系数求值 0.75 常规题
限制条件的排列组合（分组分配或相 情境建
5 单选 5 计数原理 0.65
邻不相邻） 模
情境建
6 单选 5 概率统计 全概率公式或条件概率的实际应用 0.60
模
7 单选 5 导数 导数的几何意义（切线问题） 0.55 较难
小题压
8 单选 5 导数 导数与函数零点或不等式恒成立综合 0.35
轴
9 多选 6 计数原理 二项式展开式的性质与赋值法 0.65 常规题
离散型随机变量分布列与期望方差性
10 多选 6 概率统计 0.60 常规题
质
导数与抽象函数性质（奇偶、周期、 小题压
11 多选 6 导数 0.35
对称）综合 轴
线性回归方程过样本中心点或相关系 基础送
12 填空 5 概率统计 0.85
数判断 分
13 填空 5 计数原理 排列组合的综合计算 0.65 常规题
小题压
14 填空 5 导数 导数极值点或零点求参数范围 0.35
轴
（1）求等差/等比数列通项(A)； 常规解
15 解答 13 数列 0.65
（2）错位相减或分组求和(B) 答
（1）独立性检验(B)；（2）条件概率 情境建
16 解答 15 概率统计 0.65
或全概率公式(B) 模
（1）古典概型或超几何分布(B)；
情境建
17 解答 15 概率统计 （2）离散型随机变量分布列与期望 0.60
模
(B)
（1）复杂情境下的概率推导(B)；
探究压
18 解答 17 概率统计 （2）期望的最值或马尔可夫链初步 0.40
轴
(C)
（1）切线或单调区间(B)；（2）新定 探究压
19 解答 17 导数 0.20
义结合不等式证明或极值点偏移(C) 轴
第 16 页，共 16 页
