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2025-2026 学年高二下学期期末模拟考试（四）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
注意事项：
1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、学号填写在答题卡上.
2. 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡
上.写在本试卷上无效.
3. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第一部分 选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 在空间直角坐标系 中，点 关于平面 对称的点的坐标是（ ）
A. B. C. D.
2. 已知随机变量 等可能取值为 ，若 ，则（ ）
A. B. C. D.
3. 根据下图的散点图，变量 和变量 的样本相关系数 的值为（ ）
A. B. C. D.
4. 某马拉松活动中，将5名志愿者分配到4个服务点参加志愿工作，每人只去1个服务
点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ）
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
第 1 页，共 6 页5. 记 为等比数列 的前 项和.若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
6. 已知 ，函数 在 内是单调递增函数，则实数 的取值范围
是（ ）
A. B. C. D.
7. 已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与 交于点 两点，
若 面积是 的2倍，则 （ ）
A. B. 或 C. D.
8. 已知 且 ， 且 ， 且 ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 下列求导运算不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 有三个相同的箱子，分别编号1，2，3，其中1号箱内装有4个绿球、1个红球，2号
箱内装有2个绿球、3个红球，3号箱内装有5个绿球，这些球除颜色外完全相同.某人等
可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件 表示“取到 号箱( )”，事
件 表示“摸到绿球”，事件 表示“摸到红球”，则（ ）
A. B.
C. D.
第 2 页，共 6 页11. 已知抛物线 的准线为 ，焦点为 ， 为抛物线 上的动点，过点 作
的一条切线， 为切点，过 作 的垂线，垂足为 ，则（ ）
A. 准线 与圆 相切
B. 过点 的直线与抛物线相交的弦长为5
C. 当点 三点共线时，
D. 满足 的点 有且仅有2个
第二部分 非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 曲线 在 处的切线方程为＿＿＿＿＿＿.
13. 的展开式中 的系数为＿＿＿＿＿＿.
14. 如图，在三棱锥 中， 平面 ，记 与面 所成的角为 ，
， ， ， .若 为平面 内一动点，满足
，则 最大值为＿＿＿＿＿＿.
第 3 页，共 6 页四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 一个不透明的盒子里有质地、大小相同的8个小球，其中2个红球、6个黑球，不放
回地从盒子里依次随机摸取一个小球，当有同一种颜色的小球全部取出时停止摸球.
（1）求停止摸球时盒子里恰好剩下4个黑球的概率；
（2）停止摸球时，记总的摸球次数为 ，求 的分布列与数学期望；
（3）若将这8个球分别放在甲乙两个袋子中，每袋都装有1个红球、3个黑球.现从甲乙
两袋中分别任取一球交换放入另一袋中，重复 次这样操作后，设甲袋子中恰有1
个红球的概率为 ，求 .
16. 已知 为数列 的前 项和，已知 .
（1）求数列 的通项公式；
（2）若 ，求数列 的前 项和 .
第 4 页，共 6 页17. 如图，在 中， ， ， ， 分别是 上的点，
满足 且 经过 的重心，将 沿 折起到 的位置，使
， 是 的中点.
（1）求证：平面 平面 ；
（2）在线段 上是否存在点 (不包含端点)，使平面 与平面 夹角余弦值为
？若存在，求出 的长度；若不存在，请说明理由.
18. 已知抛物线 上一点 到焦点的距离为2.
（1）求 的方程；
（2）直线 与 交于 两点，过 分别作 的切线 ，设 的交点为 .
（i）求证： 为直角三角形；
（ii）记 的面积为 ，求 的最小值，并指出 最小时对应的点 的坐标.
第 5 页，共 6 页19. 定义在区间 上的函数 满足：若对任意 ，且 ，都有
，则称 是 上的“好函数”.
（1）若 是 上的“好函数”，求 的取值范围；
（2）（i）证明： 是 上的“好函数”.
（ii）设 ，证明： .
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