2025-2026 学年高二下学期期末模拟考试（二）
数 学
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
答案速查表
1 2 3 4 5
D A B D A
6 7 8 9 10
A C B ABD BD
11 12 13 14 15
（1）a =n+1
n
4 1 1 （2）
ACD √7 30 、 (1− )
9 2 3n n
T =
n 2n+4
16 17 18 19
（1）证明见 （1）分布列见解析， x2
（1） + y2=1 （1）(0,1]
解析 （2） 3 4
E(X)= （2）符合商 （2）证明见
√2 5 （2）证明见解
解析
4 场要求 析
第一部分 选择题（共 58 分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的.
1. 已知集合A={x|−4<x≤1}，B={x|−1<x<3}，则A∩B=（ ）
A. {x|−4<x<3} B. {x|−1<x<1}
C. {0,1,2} D. {x|−1<x≤1}
【答案】D
【解析】集合A={x|−4<x≤1}，B={x|−1<x<3}，所以A∩B={x|−1<x≤1}.
【点拨】本题考查集合的交集运算，注意不等式端点值的取舍.
2
2. 复数 的共轭复数是（ ）
1−i
A. 1−i B. 1+i C. −1−i D. −1+i
【答案】A
第 1 页，共 13 页2 2(1+i) 2
【解析】因为 = =1+i，因此复数 的共轭复数是1−i.
1−i (1−i)(1+i) 1−i
【点拨】本题考查复数的除法运算及共轭复数的概念，分子分母同乘分母的共轭复数是解题关键.
3. 在△ABC中，D在BC上且DC=3BD，设⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，则⃗AD=（ ）
1 3 3 1
A. ⃗a+ ⃗b B. ⃗a+ ⃗b
4 4 4 4
2 1 1 2
C. ⃗a+ ⃗b D. ⃗a+ ⃗b
3 3 3 3
【答案】B
1
【解析】如图，在△ABD中，D在BC上且DC=3BD，所以⃗BD= ⃗BC. 则
4
1 1 3 1
⃗AD=⃗AB+⃗BD=⃗AB+ ⃗BC=⃗AB+ (⃗AC−⃗AB)= ⃗AB+ ⃗AC. 又因为⃗AB=⃗a，⃗AC=⃗b，所以
4 4 4 4
3 1
⃗AD= ⃗a+ ⃗b.
4 4
【点拨】本题考查平面向量的线性运算，利用三角形法则将未知向量转化为已知向量的线性组合.
4. (x2+1) 4的展开式中x4的系数是（ ）
A. 1 B. 2 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】二项展开式的通项为T =Ck ⋅(x2 ) 4−k ⋅1k=Ck ⋅x8−2k (0≤k≤4,k∈Z)，令8−2k=4，
k+1 4 4
解得k=2，所以x4的系数是C2=6.
4
【点拨】本题考查二项式定理，写出通项公式并令未知数的指数等于目标指数是通法.
5. 为维护市场秩序，保护消费者权益，在“五一”假期来临之际，我市物价部门对某商
品在5家商场的售价x（元）及其一天的销售量y（件）进行调查，得到五对数据
(x ,y )(i=1,2,3,4,5)，经过分析、计算，得x´ =10，´y=8，y关于x的经验回归方程为
i i
^y=−3x+a^，则相应于点(9,10)的残差为（ ）
A. −1 B. 1 C. −3 D. 3
【答案】A
【解析】因为回归直线过样本点中心(x´ ,´y)即(10,8)，将其代入^y=−3x+a^，可得8=−3×10+a^，
解得a^=38，当x=9时，^y=−3×9+38=11，所以残差为10−11=−1.
【点拨】本题考查经验回归方程及残差的计算，牢记回归直线必过样本中心点.
第 2 页，共 13 页lnx
6. 已知函数f(x)= ，曲线y=f(x)在点(1,f（1）)处的切线与直线2x−y=0平行，
x+a
则实数a的值为（ ）
1 1 1
A. − B. − C. D. 1
2 4 2
【答案】A
1 a
lnx (x+a)−lnx 1+ −lnx 1+a 1
【解析】由f(x)= x+a 可得 f' (x)= x = x ，则k=f' （1）= (1+a) 2 = 1+a ，
(x+a) 2 (x+a) 2
因为曲线y=f(x)在点(1,f（1）)处的切线与直线2x−y=0平行，且直线2x−y=0的斜率为2，
1 1
即 =2，解得a=− .
1+a 2
【点拨】本题考查导数的几何意义，切线斜率即为函数在该点处的导数值.
1 2
7. 设甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 与 ，两人约定如下投篮：每次由一人投篮，
3 3
若投进，下一次由另一人投篮；若没有投进，则继续投篮，甲、乙两人首次投篮的可能性
相同，则前4次中甲恰好投篮3次的概率为（ ）
4 8 10 20
A. B. C. D.
27 27 27 27
【答案】C
1 2
【解析】甲、乙两人每次投进篮球的概率分别为 ， ，则甲、乙两人每次未投进篮球的概率分别
3 3
2 1
为 ， ，根据题意，前4次中甲恰好投篮3次的情况为
3 3
1 2 2 2 4
第一次乙投进第二、三次甲均未投进第四次甲投篮，其概率为 × × × = ；
2 3 3 3 27
1 1 2 2 2
第一次甲投进第二次乙投进第三次甲未投进第四次甲投篮，其概率为 × × × = ；
2 3 3 3 27
1 2 1 2 2
第一次甲未投进第二次甲投进第三次乙投进第四次甲投篮，其概率为 × × × = ；
2 3 3 3 27
1 2 2 1 2
第一、二次甲未投进第三次甲投进第四次乙投篮，其概率为 × × × = .
2 3 3 3 27
4 2 2 2 10
则前4次中甲恰好投篮3次的概率为 + + + = .
27 27 27 27 27
【点拨】本题考查相互独立事件的概率乘法公式与互斥事件的概率加法公式，利用分类讨论思想
列出所有可能情况是关键.
b
8. 设函数f(x)=(ax−1)(b−lnx)，若f(x)≤0恒成立，则 的最小值为（ ）
a
第 3 页，共 13 页1 1
A. −1 B. − C. D. 1
e e
【答案】B
1 1 b
【解析】令f(x)=0，可得x= 或eb，由题意可知， =eb ，得b=−lna，将b=−lna代入 ，可得
a a a
b −lna −lna −1+lna
= ，令g(a)= ，求导得g' (a)= ，令g' (a)=0，解得a=e，
a a a a2
−lne 1
g(e)= =− . 当a<e时，g' (a)<0，g(a)单调递减，当a>e时，g' (a)>0，g(a)单调递增，
e e
b 1
因此，a=e时，g(a)取得极小值，即 的最小值为− .
a e
【点拨】本题考查利用导数研究函数的最值，将恒成立问题转化为两零点相等是破题的核心.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项
是符合题目要求的.全部选对得满分，部分选对得部分分，有选错得0分.
9. 设随机变量X∼N(μ ,σ2 )，随机变量Y∼N(μ ,σ2 )，其正态密度曲线如图所示，则（
1 1 2 2
）
A. μ <μ B. P(X≥μ )>P(X≥μ )
1 2 1 2
C. σ >σ D. P(Y≥σ )>P(Y≥σ )
1 2 1 2
【答案】ABD
【解析】X∼N(μ ,σ2 )，Y∼N(μ ,σ2 )，∴两曲线分别关于直线x=μ ,x=μ 对称，由图可知
1 1 2 2 1 2
μ <μ ，故A正确；又μ <μ ，所以P(X≥μ )>P(X≥μ )，故B正确；又X的正态密度曲线比Y
1 2 1 2 1 2
的正态密度曲线更“高瘦”，所以σ <σ ，故C错误；又σ <σ ，所以P(Y≥σ )>P(Y≥σ )，故
1 2 1 2 1 2
D正确.
【点拨】本题考查正态分布密度曲线的性质，位置决定均值，形态（高瘦或矮胖）决定方差.
n−2
10. 已知数列{a }的前n项和为S ，a = (n∈N∗)，则（ ）
n n n 2n−15
A. 数列{a }是递减数列
n
B. 当且仅当n=7时，a 取得最小值
n
C. 数列{S }是递减数列
n
D. 当且仅当n=7时，S 取得最小值
n
第 4 页，共 13 页【答案】BD
4
【解析】对于A选项，因为a =− ，a =−5，a =6，则a >a <a ，故数列{a }不单调，A错；
6 3 7 8 6 7 8 n
1 11
(2n−15)+ 1
对于B选项， n−2 2 2 1 11 ，当n≤7且n∈N∗时，a < 且数
a = = = + n 2
n 2n−15 2n−15 2 2(2n−15)
1
列{a }单调递减，当n≥8且n∈N∗时，a > 且数列{a }单调递减，故当且仅当n=7时，a 取得最
n n 2 n n
n−2
小值，B对；对于C选项，由a = >0可得n=1或n≥8，故当n≥8时，S −S =a >0，故
n 2n−15 n n−1 n
n−2 15
数列{S }(n≥8)单调递增，C错；对于D选项，由a = <0可得2<n< ，故当3≤n≤7时，
n n 2n−15 2
a <0；当n≥8时，a >0，所以，当且仅当n=7时，S 取得最小值，D对.
n n n
【点拨】本题考查数列的单调性与前n项和的最值，利用分离常数法分析数列的单调性是解题关键.
11. 已知x=−1是函数f(x)=(x2+a)e2x的极大值点，则（ ）
A. 函数f(x)的极小值为0
B. 若−1<x<0，则f(x3 )>f(x)
1
C. 若0<m< ，则y=f(x)−m有3个相异的零点
e2
D. 若f(x )=f(x )（其中x >x >−1），则x +x <0
1 2 2 1 1 2
【答案】ACD
【解析】对于A中，由函数f(x)=(x2+a)e2x，可得f' (x)=2(x2+x+a)e2x，因为x=−1是f(x)的
极大值点，所以f' (−1)=0，解得a=0，所以f(x)=x2e2x，可得f' (x)=2x(x+1)e2x，当x<−1时，
f' (x)>0，f(x)单调递增；当−1<x<0时，f' (x)<0，f(x)单调递减；当x>0时，f' (x)>0，f(x)
单调递增，所以函数f(x)的极大值点为−1，极小值点为0，所以A正确；对于B中，当−1<x<0
时，x−x3=x(1−x2 )<0，则−1<x<x3<0，因为f(x)在区间(−1,0)上单调递减，所以
f(x3 )<f(x)，所以B错误；对于C中，由f(x)≥0，且当x→−∞时，f(x)→0，当x→+∞时，
f(x)→+∞，可得f(x)的图象，如图所示，
第 5 页，共 13 页1
当0<m< 时，y=f(x)−m有3个相异零点，所以C正确；对于D中，因为−1<x <0<x ，要证
e2 1 2
x +x <0，只需证明x <−x ，由f(x)在(0,+∞)上单调递增，需证明f(x )<f(−x )，即当
1 2 2 1 2 1
−1<x <0时，证明f(x )<f(−x )，构造函数g(x)=f(x)−f(−x)（其中−1<x<0），则
1 1 1
g' (x)=f' (x)+f' (−x)=(2x2+2x)e2x+(2x2−2x)e−2x=2x(e2x−e−2x )+2x2 (e2x+e−2x )，当
−1<x<0时，g' (x)>0，则g(x)在(−1,0)上单调递增，所以g(x)=f(x)−f(−x)<g（0）=0，
即当−1<x <0时，f(x )<f(−x )，所以f(x )<f(−x )，所以x <−x ，x +x <0，所以D正确.
1 1 1 2 1 2 1 1 2
【点拨】本题考查利用导数研究函数的极值、零点及极值点偏移问题，构造极值点偏移的辅助函
数g(x)=f(x)−f(−x)是难点.
第二部分 非选择题（共 92 分）
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c，若b=2，c=1，A=120∘，则a=＿＿
＿＿＿＿.
【答案】√7
【解析】由余弦定理得a2=b2+c2−2bccosA，代入数据得
1
a2=22+12−2×2×1×cos120∘=4+1−4×(− )=7，所以a=√7.
2
【点拨】本题考查余弦定理的应用，直接代入公式即可求解.
13. 为弘扬志愿者精神，某校举行“乐于助人”服务活动，现安排甲，乙等4人到三个不
同地方参加活动，每个地方至少1人，若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有
＿＿＿＿＿＿种.
【答案】30
【解析】安排甲，乙等4人到三个不同地方参加活动，每个地方至少1人，则将4人按2,1,1分组，
C2C1C1
若不考虑限制条件，则此时不同的安排方式有
4 2 1 ⋅A3=36种，当甲和乙去同一个地方时，
A2 3
2
有A3=6种不同的安排方式，所以若甲和乙不能去同一个地方，则不同的安排方式有36−6=30种.
3
【点拨】本题考查排列组合的分组分配问题，采用“正难则反”的间接法（总数减去甲乙同地的
情况）更为简便.
14. 在棱长为1个单位的正方体ABCD−A B C D 中，一个质点在随机外力的作用下从顶
1 1 1 1
点A 出发，每隔1秒等可能地沿着棱移动1个单位，移动的方向是随机的.设第n秒（n∈N∗
1
）后，质点位于平面ABCD的概率为p ，则p =＿＿＿＿＿＿，p =＿＿＿＿＿＿.
n 2 n
4 1 1
【答案】 ； (1− )
9 2 3n
第 6 页，共 13 页【解析】正方体ABCD−A B C D 的8个顶点分居在两层：上底面A B C D 和下底面ABCD内，
1 1 1 1 1 1 1 1
1
每个顶点有3条棱连接到相邻顶点，移动方向等可能，概率为 ，因此质点在同层内移动到另一顶
3
2 1
点的概率为 ，质点移动到另一层顶点的概率为 ，第n秒后，质点位于平面ABCD的概率为p ，
3 3 n
1 1 2 2 1 4
位于平面A B C D 的概率为1−p ，p =0，p = ，p = × + × = ；则
1 1 1 1 n 0 1 3 2 3 3 3 3 9
2 1 1 1 1 1 1 1 1
p = p + (1−p )= p + ，即p − = (p − )，而p − =− ，于是数列
n 3 n−1 3 n−1 3 n−1 3 n 2 3 n−1 2 1 2 6
1 1 1 1 1 1 1 1 1
{p − }是以− 为首项， 为公比的等比数列，p − =− ⋅( ) n ，即p = − ⋅( ) n .
n 2 6 3 n 2 2 3 n 2 2 3
【点拨】本题考查马尔可夫链与递推数列的综合，根据状态转移建立递推关系式
2 1
p = p + (1−p )是解题的核心.
n 3 n−1 3 n−1
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.
S 为数列{a }的前n项和，已知a >0,a2+a =2S +2.
n n n n n n
（1）求{a }的通项公式；
n
1
（2）设b = ，求数列{b }的前n项和T .
n a a n n
n n+1
n
【答案】（1）a =n+1 （2）T =
n n 2n+4
【解析】解：（1）由a2+a =2S +2，①
n n n
可得a2 +a =2S +2. ………………………… 2 分
n+1 n+1 n+1
由②-①得a2 −a2+a −②a =2a .
n+1 n n+1 n n+1
即a2 −a2=a +a . ………………………… 4 分
n+1 n n+1 n
∵a >0，∴a −a =1.
n n+1 n
又当n=1时，得a2+a =2S +2. ………………………… 5 分
1 1 1
解得a =2,a =−1（舍去）
1 1
可得数列{a }是首项为2，公差为1的等差数列 ………………………… 6 分
n
即a =n+1,n∈N∗. ………………………… 7 分
n
1
（2）由（1）知b = ， ………………………… 8 分
n (n+1)(n+2)
1 1
可得b = − . ………………………… 10 分
n n+1 n+2
第 7 页，共 13 页1 1 1 1 1 1 1 1
因此T = − + − +⋯+ − = − ；………………………… 12 分
n 2 3 3 4 n+1 n+2 2 n+2
n
可得T = . ………………………… 13 分
n 2n+4
【点拨】本题考查由S 与a 的关系求通项以及裂项相消法求和，利用a2 −a2=a +a 并结合
n n n+1 n n+1 n
a >0得出公差是关键.
n
16.
如图，在长方体ABCD−A B C D 中，AB=3，AD=A A =√3，⃗D C =3⃗D E.
1 1 1 1 1 1 1 1
（1）求证：AE⟂B D ；
1 1
（2）求直线B D 与平面ABE所成角的正弦值.
1 1
√2
【答案】（1）证明见解析 （2）
4
【解析】解：（1）以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD 为z轴，建立空间直角坐标系，
1
由题意得A(√3,0,0)，E(0,1,√3)，B (√3,3,√3)，D (0,0,√3)，………………………… 3 分
1 1
∴⃗AE=(−√3,1,√3)，⃗B D =(−√3,−3,0)，………………………… 5 分
1 1
∴⃗AE⋅⃗B D =3−3+0=0，………………………… 6 分
1 1
∴AE⟂B D . ………………………… 7 分
1 1
（2）设平面ABE的法向量为⃗n=(x,y,z)，
A(√3,0,0)，E(0,1,√3)，B(√3,3,0)，
又⃗AB=(0,3,0)，⃗BE=(−√3,−2,√3)，………………………… 9 分
{ ⃗n⋅⃗AB=3 y=0
则 ，
⃗n⋅⃗BE=−√3x−2y+√3z=0
∴y=0，取x=1，则z=1，
∴平面ABE的一个法向量为⃗n=(1,0,1)，………………………… 12 分
又⃗B D =(−√3,−3,0)，
1 1
设直线B D 与平面ABE所成角为θ，
1 1
|⃗B D ⋅⃗n| √3 √3 √2
∴sinθ=|cos⟨⃗B D ,⃗n⟩|= 1 1 = = = ，
1 1 |⃗B D ||⃗n| √3+9×√1+1 2√3×√2 4
1 1
………………………… 14 分
第 8 页，共 13 页√2
即直线B D 与平面ABE所成角的正弦值为 . ………………………… 15 分
1 1 4
【点拨】本题考查空间向量在立体几何中的应用，建系求出平面法向量是求线面角的通用方法.
17.
某商场举行抽奖活动，抽奖箱中有大小相同的10个小球，其中有3个红球，7个白球.顾客
从中依次摸出2个球，记摸到红球的个数为X.
（1）若采用不放回摸球，求X的分布列与期望；
（2）若采用有放回摸球，摸到一个红球可得积分200分，摸到白球得0分.设顾客获得的积
分为Y，若商场希望顾客获得积分的期望不超过250分，这种有放回的摸球规则是否符合
商场要求？
3
【答案】（1）分布列见解析，E(X)= （2）符合商场要求
5
【解析】解：（1）依题意，X的所有可能取值为0,1,2， ………………………… 1 分
C2
21 7
P(X=0)= 7 = = ， ………………………… 3 分
C2 45 15
10
C1C1
21 7
P(X=1)= 3 7= = ， ………………………… 4 分
C2 45 15
10
C2
3 1
P(X=2)= 3 = = ， ………………………… 5 分
C2 45 15
10
所以X的分布列为：
X 0 1 2
7 7 1
P
15 15 15
………………………… 7 分
7 7 1 9 3
E(X)=0× +1× +2× = = . ………………………… 9 分
15 15 15 15 5
3
（2）若采用有放回摸球，每次摸到红球的概率为p= ，摸2次，
10
3
设摸到红球的个数为Z，则Z∼B(2, )， ………………………… 11 分
10
3 3
所以E(Z)=2× = . ………………………… 12 分
10 5
由题意知，顾客获得的积分Y =200Z， ………………………… 13 分
3
所以E(Y)=200E(Z)=200× =120分. ………………………… 14 分
5
因为120<250，所以这种有放回的摸球规则符合商场要求. ………………………… 15 分
第 9 页，共 13 页【点拨】本题考查超几何分布与二项分布的期望计算，注意区分有放回与不放回抽样的概率模型
差异.
18.
x2 y2 √3
已知椭圆C: + =1(a>b>0)的短轴长为2，离心率为 .
a2 b2 2
（1）求C的方程；
（2）若A ，A 分别是C的左、右顶点，不与x轴垂直的动直线l与C交于P，Q两点（不同
1 2
于A ，A ），且直线A P的斜率等于直线A Q的斜率的2倍，求证：直线l经过定点.
1 2 1 2
x2
【答案】（1） + y2=1 （2）证明见解析
4
【解析】解：（1）由题意得：2b=2⇒b=1⇒a2−c2=1，………………………… 2 分
c √3 3
= ⇒c2= a2，所以解得a2=4,c2=3，………………………… 4 分
a 2 4
x2
即椭圆方程C: + y2=1；………………………… 5 分
4
x2
（2）设直线l方程为y=kx+m，与椭圆 + y2=1联立，消y得：
4
(4k2+1)x2+8kmx+4m2−4=0，………………………… 7 分
其中Δ=16(4k2+1−m2 )>0⇒4k2+1>m2，
−8km 4m2−4
设P(x ,y ),Q(x ,y )，则x +x = ,x x = ，………………………… 9 分
1 1 2 2 1 2 4k2+1 1 2 4k2+1
y 2y y y 2y2 (kx +m)(kx +m) 4−x2
由已知得： 1 = 2 ⇒ 1 2 = 2 ⇒ 1 2 = 2 ，
x +2 x −2 x +2 x −2 x +2 2(x −2)
1 2 1 2 1 2
………………………… 11 分
再化简得：(2k2+1)x x +(2km+2)(x +x )+2m2+4=0，
1 2 1 2
4m2−4 −8km
代入得：(2k2+1) +(2km+2) +2m2+4=0，………………………… 13 分
4k2+1 4k2+1
整理得：(2k−3m)(2k−m)=0，
因为直线l不经过点A (−2,0)，所以2k−m≠0，
1
2
即2k−3m=0⇒m= k，………………………… 15 分
3
2 2
所以直线l的方程为y=kx+ k=k(x+ )，
3 3
2
因此直线l经过定点(− ,0). ………………………… 17 分
3
第 10 页，共 13 页【点拨】本题考查直线与椭圆的综合问题，利用韦达定理和斜率关系化简得到参数之间的关系是
解决定点问题的通法.
19.
x
已知函数f(x)=aex−a−ln
.
a
（1）若f(x)是增函数，求a的取值范围；
1
（2）证明：当a>1时，f(x)> .
a
【答案】（1）(0,1] （2）证明见解析
1
【解析】解：（1）函数的定义域为(0,+∞)，求导得f' (x)=aex−a−
， …………………………
x
2 分
1
因为f(x)是增函数，所以f' (x)=aex−a− ≥0在(0,+∞)上恒成立，
x
1 1
即aex−a≥ ，即ex−a≥ ，两边取对数得x−a≥−ln(ax)，
x ax
即x+lnx≥a−lna， ………………………… 5 分
令g(x)=x+lnx，则g(x)在(0,+∞)上单调递增，
1 1
又g(x)≥g( )恒成立，所以a≤ ，解得−1≤a≤1， ………………………… 6 分
a a
x
又因为真数 >0，x>0，所以a>0，
a
所以a的取值范围为(0,1]. ………………………… 8 分
1 1
（2）证明：要证f(x)> ，即证aex−a−lnx+lna> ，
a a
1 1
即证aex−a+lna>lnx+ ，即证ex−a+lna+x−a+lna>elnx+lnx+ −x+a，
a a
令h(t)=et+t，则h(t)在R上单调递增， ………………………… 11 分
1
原不等式等价于h(x−a+lna)>h(lnx)+ −x+a，
a
即证x−a+lna>lnx，即证x−lnx>a−lna， ………………………… 13 分
1 x−1
令φ(x)=x−lnx，则φ' (x)=1− = ，
x x
当x∈(0,1)时，φ' (x)<0，φ(x)单调递减；当x∈(1,+∞)时，φ' (x)>0，φ(x)单调递增，
所以φ(x)≥φ（1）=1，
又因为a>1，所以φ(a)=a−lna>φ（1）=1，
第 11 页，共 13 页所以x−lnx≥1，而a−lna>1无法直接传递， ………………………… 14 分
1
回到f' (x)=aex−a− ，当a>1时，f' （1）=ae1−a−1，
x
令u(a)=ae1−a−1(a>1)，u' (a)=(1−a)e1−a<0，所以u(a)<u（1）=0，即f' （1）<0，
1 1
又f' (a)=1− >0，所以存在x ∈(1,a)，使得f' (x )=aex 0 −a− =0，
a 0 0 x
0
1
即aex 0 −a= ，两边取对数得lna+x −a=−lnx ，即a−lna=x +lnx ， …………………………
x 0 0 0 0
0
15 分
当x∈(0,x )时，f' (x)<0，f(x)单调递减；当x∈(x ,+∞)时，f' (x)>0，f(x)单调递增，
0 0
1
所以f(x) =f(x )=aex 0 −a−lnx +lna= +a−x ， ………………………… 16 分
min 0 0 x 0
0
1 1 1
因为x ∈(1,a)，所以 +a−x > +a−a= ，
0 x 0 a a
0
1
所以f(x)> 得证. ………………………… 17 分
a
【点拨】本题考查导数的综合应用，第二问利用隐零点代换求函数的最值是解决复杂超越不等式
证明的有效手段.
第 12 页，共 13 页双向细目表
知识模 目标难度系
题号 题型 分值 具体考点要求 备注
块 数
基础送
1 单选 5 集合 集合的交集与不等式解法 0.90
分
基础送
2 单选 5 复数 复数的除法与共轭复数 0.88
分
平面向 基础送
3 单选 5 向量线性运算与模长 0.85
量 分
计数原 基础送
4 单选 5 二项式定理特定项系数 0.80
理 分
概率统 情境建
5 单选 5 线性回归直线过样本中心 0.70
计 模
6 单选 5 导数 导数几何意义求切线 0.65 中档题
概率统 情境建
7 单选 5 独立重复试验概率计算 0.55
计 模
小题压
8 单选 5 导数 导数与函数零点问题 0.35
轴
概率统 基础送
9 多选 6 正态分布密度曲线比较 0.75
计 分
10 多选 6 数列 数列单调性与最值综合 0.55 中档题
小题压
11 多选 6 导数 导数极值与零点综合判断 0.30
轴
三角函 基础送
12 填空 5 正余弦定理求边 0.85
数 分
计数原 情境建
13 填空 5 排列组合分组分配问题 0.65
理 模
概率统 探究压
14 填空 5 随机游走与递推数列概率 0.30
计 轴
（1）等差数列通项公式(0.85)；（2） 基础大
15 解答 13 数列 0.70
裂项相消法求和(0.70) 题
立体几 （1）空间向量证明线面垂直(0.75)； 中档大
16 解答 15 0.65
何 （2）空间向量求线面角(0.55) 题
概率统 （1）超几何分布列与期望(0.80)； 情境大
17 解答 15 0.60
计 （2）二项分布期望与决策(0.60) 题
解析几 （1）椭圆标准方程求解(0.75)；（2） 探究压
18 解答 17 0.35
何 直线与椭圆相交定点问题(0.35) 轴
（1）导数单调性讨论(0.55)；（2）导 探究压
19 解答 17 导数 0.25
数不等式恒成立证明(0.25) 轴
第 13 页，共 13 页
