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2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学试题
一、单选题
1．若 ，则 （ ）
A．3 B． C．6 D．
2．已知等比数列 的公比不为1，且 成等差数列，则数列 的公比为（ ）
A． B． C． D．2
3．记等差数列 的前 项和为 ，则 （ ）
A．140 B．150 C．160 D．170
4．若数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，则 的值为( )
A．0 B．3 C．4 D．5
5．已知函数 的图象如图所示（其中 是函数 的导函数），下面四个图象中 的
图象大致是（ ）
A． B． C． D．
6．设 是等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．7．已知函数 在区间 上单调递增，则a的最小值为（ ）．
A． B．e C． D．
8．已知 对任意 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．设 是等差数列， 是其前 项的和，且 ， ，则下面结论正确的是( )
A． B．
C． 与 均为 的最大值 D．满足 的 的最小值为14
10．记 为数列 的前 项和．已知 ，则（ ）
A． B．数列 为等比数列
C． D．
11．已知函数 ，对 ，使得
成立．下列结论正确的是（ ）
A． ，使得 B．函数 的最小值为0
C． 的取值范围为 D．过 作 的切线，有且只有一条
三、填空题
12．数列 满足 ，则 ___________．
13．已知函数 在 处取得极小值，则 ___________．14．已知函数 ，若对任意 ，且 ，都有
恒成立，则实数 的取值范围是________.
四、解答题
15．某影视数据平台对最近上映的电影《飞驰人生3》进行票房调研，记录了其上映后的累计票房情况．
累计票房 （单位：千万元）与上映天数 （单位：天）的数据如下表所示：
上映天数 4 7 9 10 15
累计票房 20 40 60 80 100
(1)利用表中的数据，计算相关系数 （结果精确到0.01），并推断两个变量的线性相关程度；
(2)求 关于 的经验回归方程，并预测上映40天时的累计票房（结果精确到0.01）．
参考公式：经验回归方程 ，其中 ， ，相关系数
．参考数据： ， ， ， ．
16．已知等差数列 的前 项和为 ，且 ． 是正项等比数列，且
．
(1)求数列 的通项公式；
(2)令 ，求数列 的前 项和 ．
17．已知函数
(1)求函数 的图象在点 处的切线方程；
(2)求函数 在区间 的最大值和最小值；(3)若曲线 与直线 有3个不同的交点，求实数 的取值范围．
18．已知公差不为零的等差数列 满足 ，且 成等比数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ；
(3)若数列 满足 ，证明： （e为自然对数的底）．
19．已知函数 .
(1)讨论 的单调性；
(2)若 有两个零点， 为 的导函数.
（i）求实数 的取值范围；
（ii）记 较小的一个零点为 ，证明： .题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B C C D C A ACD BC
题号 11
答案 ABD
1．B
借助导数定义计算即可得.
【详解】 .
2．A
设等比数列 的公比为 ，根据题意，列出方程，得到 ，即可求解.
【详解】设等比数列 的公比为 ，其中 且 ，
因为 成等差数列，可得 ，所以 ，
又因为 ，可得 ，解得 或 （舍去），
所以等比数列 的公比为 .
3．B
根据等差数列的性质，求得 ，得到 ，结合等差数列的求和公式，即可求解.
【详解】因为 ，可得 ，可得 ，
又因为 ，由等差数列的性质，可得 ，
所以 .
4．C
根据题意，求得数列前7项的值，得到数列是周期为6的数列，结合前六项的和为0，即可求解.
【详解】方法一：
数列 的前 项和为 ，且满足 ， ， ，可得
， ， ， ，， ， ，
所以数列 是周期为6的数列，其中 ，
所以 . 故C选项正确.
方法二：
由 可得 ，则数列前 项和 满足：
所以 .
又因为 ，即 .
所以数列 是周期为6的数列，故 . 故C选项正确.
5．C
【详解】由导数与单调性的关系判断即可．
由函数 的图象可知：
当 时， ， ，此时 单调递增；
当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递减；
当 时， ， ，此时 单调递增．
6．D
根据题意及等差数列的片段和性质，设 ，从而求出 ， ，进而即可得到答案．
【详解】由等差数列的片段和性质知 ， ， ， ，···是等差数列，由 ，不妨设 ，则 ，
所以 ， ， ， ，···，依次为 ， ， ， ，···，
所以 ，
所以 ．
7．C
根据 在 上恒成立，再根据分参求最值即可求出．
【详解】依题可知， 在 上恒成立，显然 ，所以 ，
设 ，所以 ，所以 在 上单调递增，
，故 ，即 ，即a的最小值为 ．
故选：C．
8．A
令 ，由题意可知： 对任意 恒成立，且 ，可得
，解得 ，并代入检验即可.
【详解】令 ，则 ，
由题意可知： 对任意 恒成立，且 ，
可得 ，解得 ，
若 ，令 ，
则 ，则 在 上递增，可得 ，
即 对任意 恒成立，
则 在 上递增，可得 ，
综上所述： 符合题意，即实数 的取值范围为 .
故选：A.
9．ACD
【详解】A选项：因为 ，所以A正确；
B选项：因为 ， ，所以 ，所以B错误；
C选项：因为 ， 是一个递减等差数列，当 时， ，所以当 时， ，故 与
均为 的最大值，故C选项正确；
D选项：因为 ， ，所以 ，而
，所以满足 的 的最小值为14,故D选项正确.
10．BC
令 代入可得A；利用 与 关系，结合等比数列定义可得B；求出数列 的通项公式后，代入计算
即可得C；借助作差法即可得D.
【详解】对A：当 时， ，故 ，故A错误；
对B：当 时， ，
则 ，即 ，即有 ，又 ，
故数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故B正确；
对C：由B得： ，故 ，
则 ，故C正确；
对D： ，故 ，故D错误.
11．ABD
A：通过求导利用函数的单调性来判断；
B：通过求导从而找出函数的最值；
C：通过将不等式转化为小于一个定值，在根据函数的性质进行求解；
D：通过求导得到切线方程，构建辅助函数，通过求辅助函数的零点来解答.
【详解】选项A： ，求导可得 ，
因为 在 上单调递增， 在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
当 时， ，所以 ，使得 ，即A正确；
选项B：由A可知，当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 在 处取得最小值 ，即B正确；
选项C：由B可知， ，由题意可知， ， ，使得 ，
等价于 的最小值大于或等于 的最小值，
对于函数 ，当 时， ，因此无论 取什么值，都 ，使得 ，所以 的取值范围为 ，即C错误；
选项D：设切点坐标为 ，切线斜率为 ，
切线方程为 ，
因为切线经过 ，所以代入可得 ，
化简可得 ，
设函数 ，
求导可得 ，
因为当 时， 恒成立，
所以当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
因为当 时， 取到极小值 ，
所以 只有一个零点 ，即只有 时， 成立，
因此过点 作 的切线，有且只有一条，D正确.
12．21
【详解】试题分析：由 可得， ，
以上各式相加可得 ，所以 ，所以 ．
考点：1累加法求数列通项公式；2等差数列的前 项和．
13．1
求导，令 ，求出 的值，再将 的值代回 中，再根据 的符号判断 在 处是否
取得极小值即可得到答案．
【详解】由 ，则 ，
又 在 处取得极小值，则 ，解得 或 ，
当 时， ，
则若 时， ，此时 单调递增；若 时， ，此时 单调递减，
此时 在 处取得极大值，不满足条件；
当 时， ，
则若 时， ，此时 单调递减；若 时， ，此时 单调递增，
此时 在 处取得极小值，满足条件．
综上所述， ．
14．
令 ，由题意可得函数 在 上单调递增，即 在 上恒成立，令
， 可化为 ，根据 的单调性得到 ，令 ，求出
的最小值即可求出答案.【详解】 可化为 ，
令 ，则不等式可化为 ，
所以函数 在 上单调递增，
，
所以 在 上恒成立，
令 ，则 在 上恒成立，
易知 在 上单调递增，
则 在 上恒成立，即 在 上恒成立，
令 ， ，
当 时， ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，所以函数 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值，最小值为 ，
所以 ，
所以实数 的取值范围是 .
15．(1) ，两个变量具有很强的线性相关程度
(2) ，预测上映40天时的累计票房为 千万元（1）先计算 ，代入相关系数公式计算即可；
（2）先计算 和 ，进而得经验回归方程，令 ，代入回归方程即可求解．
【详解】（1）由题意得， ， ，
， ， ，
则
，
所以两个变量具有很强的线性相关程度．
（2）由题意得， ，
，
所以经验回归方程为 ，
令 ，得 （千万元），
所以预测上映40天时的累计票房为 千万元．
16．(1) ，
(2)
（1）利用等差数列的通项公式和前 项和公式列出方程求解可得数列 的通项公式，利用等比数列通
项公式可得 ，
（2）利用等差数列和等比数列的前 项和公式求解即可.【详解】（1）设等差数列 的公差为 ，
则 ，解得 ，
所以 ；
，所以 ，又 ，所以 ．
（2）
17．(1)
(2)最大值为5，最小值为 ．
(3)
【详解】（1） ，求导可得 ，
当 时， ， ，
所以函数 的图象在点 处的切线方程为 ，即 ．
（2） ，
令 ，解得 或 ，
当 在区间 上变化时， 的变化情况如表所示：
0 2 3
-12 0 24
5 单调递减 单调递增所以当 时， 在区间 上取得最大值 ，
当 时， 在区间 上取得最小值 ．
（3）由（2）可知，当 时， ， 单调递增；
当 时， 单调递减；
当 时， 单调递增，
所以 在 处取得极大值 ，
在 处取得极小值 ，
因为当 时， ，当 时， ，
所以若曲线 与直线 有3个不同的交点，则 需介于极大值和极小值之间，
因此 的取值范围为 .
18．(1)
(2)证明见解析
(3)证明见解析
（1）由等差数列的通项公式及等比数列的性质即可求解，进而可得通项公式；
（2）设 ，求导，可得 的单调性，进而可得结论；
（3）由题意需证 ，由（2）可得 ，利用放缩法与裂项相消法
可证结论.
【详解】（1）设等差数列 公差为 成等比数列，则 ，
所以 ，解得 或 （舍去），所以 ；
（2）设 ，当 时， 单调递减，，所以 ，由（1）可知 ，
则有 ，所以不等式 恒立．
（3）因为 ，所以要证 ，
只需证： ，
根据（2）可知 ，那么 ，
，
所以 .
19．(1)答案见解析
(2)（i） ；（ii）证明见解析
【详解】（1）函数 的定义域为 ， ，
①当 时， ，函数 在 单调递减；
②当 时，令 ，解得 ，
当 时， ，函数 单调递减；当 时， ，函数 单调递增.
综上所述，当 时，函数 在 单调递减；
当 时，函数 在 上单调递减，在 单调递增.
（2）（i）若 ，由（1）知， 至多有一个零点；
若 ，由（1）知，当 时， 取得最小值，最小值为 .
因为当 时， ；
当 时， ，
所以函数 有两个零点当且仅当 .
设 ，函数 在 单调递增.
因为 ， 的解集为 .
综上所述， 的取值范围是 .
（ii）因为 ，由 ，结合（i）知 ，
要证 ，即证 ，即 ，
当 时，因为 ， ，不等式恒成立；
当 时，由 得 .
即证 .即证 .
即证 .
设 ， ，由 ，
所以 在 单调递增.所以 ，故原不等式成立.
所以 .
