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2025-2026学年高二下学期5月期中学情调研数学试题
一、单选题
1．5天内某校当天新增感冒人数y与每日温差x（单位：℃）的数据如下表：
x 5 7 8 9 11
y 9 m 15 17 20
由于保存不善，有1个数据模糊不清，用m代替，已知y关于x的经验回归方程为 ，则
（ ）
A．13 B．14 C．15 D．12
2．已知 为等差数列 的前n项和， ，则 （ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
3．已知数列 满足 ，则 的通项公式为（ ）
A． B．
C． D．
4．汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别
为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着 个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移
动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多
少次？记至少移动次数为 ，例如： ， ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为等差数列C． 为等比数列 D．
5．已知曲线 在点 处的切线与直线 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
6．定义：若函数 在 上可导，即 存在，且导函数 在 上也可导，则称 在 上存在
二阶导函数.记 ，人们在研究学习过程中，发现：三次整式函数 都有对称中心，其对
称中心为 （其中 ）.已知函数 .若 关于点
对称，则 （ ）
A．4 B．3 C． D．1
7．已知函数 ，数列 满足 ，且数列 是单调递增数列，
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数 ，若关于x的方程 有四个不同的根 （
），则 的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．下列命题为真命题的是（ ）
A．若样本数据 的方差为2，则数据 的方差为
17B．一组数据8，9，10，11，12的第80百分位数是11.5
C．用决定系数 比较两个模型的拟合效果时，若 越大，则相应模型的拟合效果越好
D．以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，求得线性回归方程为
，则c，k的值分别是 和2
10．关于等差数列和等比数列，下列说法不正确的是（ ）
A．若数列 为等比数列，且其前 项的和 ，则
B．若数列 为等比数列，且 ，则
C．若数列 为等比数列， 为前 项和，则 ， ， ，…成等比数列
D．若数列 为等差数列， ，则 最小
11．已知函数 ，则（）
A． 在 上单调递增 B． 是函数 的极大值点
C． 既无最大值，也无最小值 D．当 时， 有三个零点
三、填空题
12．设 为数列 的前 项积，若 ，且 ，当 取得最大值时，
________．
13．已知函数 ，则 ______．
14． 对芯片的性能要求很高，传统的硅基芯片在逐渐接近 工艺之后面临的技术限制很多，某企业使
用新技术对某款芯片制造工艺进行改进，试产期每天都需要同步进行产品检测，检测方式包括智能检测和
人工检测，选择检测方式的规则如下：第一天选择智能检测，随后每天由计算机随机等可能生成数字“
”或“ ”，连续生成 次，把 次的数字相加，若和小于 ，则该天检测方式和前一天相同，否则选择另
一种检测方式．设 表示事件第 天该企业产品检测选择的是智能检测，则 _________四、解答题
15．已知数列 的前 项和为 ，且 ；等差数列 满足 ; ；
(1)求 和 的通项公式；
(2)求数列 的前 项和 ．
16．为了解居民体育锻炼情况，某地区对辖区内居民体育锻炼进行抽样调查.统计其中200名居民体育锻炼
的次数与年龄，得到如下的频数分布表.
年龄次数
每周0∼2次 33 22 22 23
每周3∼4次 12 17 25 22
每周5次及以
3 3 12 6
上
(1)若把年龄在 的锻炼者称为青年，年龄在 的锻炼者称为中年，每周体育锻炼不超过2次的
称为体育锻炼频率低，
不低于3次的称为体育锻炼频率高，根据小概率值 的独立性检验判断体育锻炼频率的高低与年龄
是否有关联；
(2)从每周体育锻炼5次及以上的锻炼者中，按照表中年龄段采用按比例分配的分层随机抽样，抽取8人，
再从这8人中随机抽取3人，记这3人中年龄在 与 的人数分别为 ，求ξ的分
布列与期望；
参考公式：
附：
α 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
17．已知函数 ，且(1)求 值;
(2)求平行于直线 且与函数曲线相切的直线方程；
(3)若 ，求函数 的单调区间．
18．已知 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和， 为数列 的前 项和； ；
，且 ； ；
(1)求 的通项公式；
(2)若 ，求 的最大值；
(3)证明：
19．已知函数 ， ．
(1)当 时，求证： ；
(2)若 在 上有两个零点，求实数 的取值范围；
(3)若函数 有两个极值点 ，证明： ．1．B
用中心点坐标代入计算.
【详解】由 ， ，
所以 ，解得 .
故选：B.
2．B
根据等差数列的性质和前n项和公式运算.
【详解】因为数列 为等差数列，所以 ，
所以 ，所以 ．
故选：B.
3．B
由题中等式，可得 ，再结合 时 ，可得 .
【详解】当 时，有 ，所以 ，
当 时，由 ， ，
两式相减得 ，
此时， ， 也满足，
所以 的通项公式为 .
故选：B.
4．C
由题意可得 ，判断A；归纳得到 ，结合等差数列以及等比数列的概念可判断B，C；
求出 ，判断D.
【详解】由题意知若有1个圆盘，则需移动一次：若有2个圆盘，则移动情况为： ，需移动3次；
若有3个圆盘，则移动情况如下：
，共7次，故 ，A错误；
由此可知若有n个圆盘，设至少移动 次，则 ,
所以 ，而 ，故 为等比数列，
故 即 ，该式不是n的一次函数，
则 不为等差数列，B错误；
又 ，则 ， ，则 为等比数列，C正确，
，D错误，
故选：C
5．C
【详解】因为 ， ，
设切线斜率为 ，则 ，
又因为切线与直线 垂直，
所以 ，即 ，解得 .
6．A
先对 求二阶导数 ，令其为 求出对称中心横坐标 ，确定对称中
心为 ，利用三次函数中心对称性质，结合 与 的数值和等于两倍中心纵坐标，推出 , 关于
对称，进而算出 .
【详解】已知 ，导函数 ，再求出二阶导函数 ，令 ，解得 ，
代入得 ，对称中心为 ，
由函数图像中心对称性质可知 ，
由题意可知 关于点 对称，
可知 的中点为 ，故 .
7．A
由数列 是单调递增数列可知当 时， 单调递增，当 时， 单调递增，且 ，
列出不等式，解不等式即可.
【详解】数列 是单调递增数列，
可知当 ， 时， 单调递增，即 或 ，解
得 ；
当 时， 单调递增恒成立，
且 ，即 ；
解得 ，
所以若数列 是单调递增数列，则 ，
故选：A.
8．A
数形结合，把四个不同的根 用 表示，借助导数讨论函数的最值解决问题.
【详解】图，由图可知当且仅当 时，方程 有四个不同的根，
且 ，由题： ， ，
设 则
，令 ，
故 在 递增，在 递减， .
故选：A.
9．BCD
根据方差的性质即可判断A；根据百分位数计算公式即可判断B；根据决定系数的概念即可判断C；根据
非线性回归方程的求法并结合对数运算性质即可判断D.
【详解】对A：若样本数据 的方差为2，则数据 的方差
为 ，故A错误；
对B： ，则其第80百分位数是 ，故B正确；
对C，根据决定系数的含义知 越大，则相应模型的拟合效果越好，故C正确；
对D，以模型 去拟合一组数据时，为了求出经验回归方程，设 ，
则 ，由题线性回归方程为 ，则 ，故 的值分别是和2，故D正确.
故选：BCD.
10．CD
求出 的值判断A；利用等比数列的性质计算判断B；举例说明判断C；求出 与公差 的关系判断D.
【详解】对于A，由 ，得 ，数列 为等比数列，
则 ，解得 ，经验证符合题意，A正确；
对于B，等比数列 中，由 ，得 ，则 ，B正确；
对于C，等比数列 的公比 ， 为偶数时， ， ， ， ，…不成等比数列，C
错误；
对于D，设等差数列 的公差为 ，由 ，得 ，
整理得 ，当 时， 没有最小值，D错误.
故选： CD
11．BD
先将 用分段函数表示出来，再根据各个选项，利用导数研究其单调性、极值点、最值及零点即可.
【详解】由题意得 ，
所以 ，
对于A，当 时， ，
所以 在 上单调递减，故A错误;
对于B，当 时， ，当 时， ，当 时， ,所以 在 单调递增，在 单调递减，在 单调递增，
所以 是函数 的极大值点，故B正确;
对于C，当 时， ，当 时， ,
又 ,
的大致图象如图所示，
的值域为 ,
所以 有最小值，无最大值，故C错误;
对于D，当 时， 在 上单调递增,
因为 ,
所以 ,
所以 在 上有一个零点;
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减,
又 ，当 时， .
结合 的大致图象（如上图），
在 有一个零点，在 上有一个零点，
综上，当 时， 有三个零点，故D正确.
故选：BD.12．8
先求出等比数列的通项公式 ，然后求出积 ，整理后，结合指数函数性质、二次函数性质分析得出结论.
【详解】由题易知， ，∵ ，∴ ，
故 是公比为 的等比数列，
∵ ，∴ ，
故 .∴ ，
∴ ，
要使 取得最大值，则 为偶数，且 取最小值，
由二次函数知识知，当 或9时， 取最小值，只有 ，使得 为偶数符合要求，
故 .
13．12
将原函数看成两部分相乘，再运用导数的运算法则求解即可.
【详解】由题意， ，所以
．
故答案为：12
14．
先由题意得 次数字的和 服从二项分布 ，进而得 ，再由全概率公式得 ，进而再构造等比数列可得.
【详解】因为连续生成 次数字“ ”或“ ”，每次生成“ ”或“ ”的概率均为 ,
所以 次数字的和 服从二项分布 ,
所以 ,
,
所以第 天为智能检测的条件下第 天为智能检测的概率： ，
第 天为人工检测的条件下第 天为智能检测的概率： ，
由全概率公式得
,
所以 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
则 ，所以
15．(1) ， ；
(2)
（1） ， ，两式相减即可得 是等比数列，进而求 的通项公式，再结合
条件 ; 及 是等差数列求解即可；
（2）分组后采用错位相减法求和即可.
【详解】（1）由已知，当 时， ，即 ， ．当 时， ， ，
两式相减，得 ，即 ， ，
∴由等比数列的定义知，数列 是首项 ，公比 的等比数列，
∴数列 的通项公式为 ．
； ； ，
设等差数列 的公差为 ，则 ,
所以 ；
（2）由第（1）问， ，
∴设 ，①
① ，得， ，②
∴①-②，得 ，
，
另一部分的前n项和为所以 .
16．(1)认为体育锻炼频率的高低与年龄有关；
(2)分布列为：
0 1 2
P
【详解】（1）零假设 ：体育锻炼频率的高低与年龄无关.
由题得 列联表如下：
青年 中年 合计
体育锻炼频率低 55 45 100
体育锻炼频率高 35 65 100
合计 90 110 200
，
根据小概率值 的独立性检验推断 不成立，
即认为体育锻炼频率的高低与年龄有关，此推断犯错误的概率不大于0.01．
（2）由表知，利用分层抽样的方法抽取的8人中，年龄在 ， 内的人数分别为1，2，
依题意， 的所有可能取值分别为为0，1，2，
所以 ，
，
，所以 的分布列：
0 1 2
P
所以 的数学期望为 .
17．(1)
(2) ，
(3)单调递增区间为 和 ；单调递减区间
（1）求导，令 ，得到 ，再结合 即可求解；
（2）设切点 ，由导数的几何意义求得切点坐标，即可求解；
（3）求导，由 ， 即可求解.
【详解】（1）当 时， ， ，
对 求导： ；
令 ，得 ；
整理得： ；
故 ；
又 ，
代入 中， ，
得 ；
（2）由（1） ；求导 ；
直线 的斜率 ；
设切点 ，因为平行直线，
所以 ； ，或
当 时切点 ，切线
当 时切点 ，切线
故切线方程为： 和 ；
（3） ；
；
令 则 ， ；
当 或 时 ， 单调递增
当 时 ； 单调递减
单调递增区间为 和 ；单调递减区间 .
18．(1) ；
(2)5；
(3)证明见解析.
（1）由递推公式可知， 数列 为等差数列，再根据题中的条件求解即可；
（2）分别计算 和 ，再验证即可；（3）裂项相消法计算 ，再用放缩法即可证明.
【详解】（1） ，得 ，所以数列 为等差数列，
则 ，所以 ，又 ，所以 ，
设 的公差为 ，则 解得 ，
所以 的通项公式是 .
（2）由（1）知 ，所以 ，
，
，
令 ，得 ，
设 ，则数列 是递增数列，
又 ， ，
所以 的最大值为5．
（3） ，
所以
，所以 .19．(1)证明见解析
(2) ．
(3)证明见解析
【详解】（1）由 ，得 ．要证 ，只需证 ．
令 ，则 ．
当 时， ，则 单调递减；当 时， ，则 单调递增.
所以函数 在 取得极小值也是最小值，因此 ，
所以 ，即 ，因此 ．
（2）若 ， 在 上单调递增，因为 在 上有两个零点，所以 .
由 得 ，令 ，则 ，
所以 ， ，时， ； 时， ，
所以 在 上单调递增，在 上单调递减，
有极大值，也就是最大值为 ，
又 ， 无限趋近 时， 无限趋近于0，
所以 在 上有两个零点时， ，解得 ，
故 的取值范围是 ．
（3）因为 有两个极值点 ，所以 ，有两个实数根 ，
所以 ， ，可得 ，
设 ，将 代入，得 ，
所以 ，
所以要证 ，只需证 ， ，即 ．
设 ，则 ．
令 ，则 ，
所以 在 上为增函数．
又 ，所以 时， ， 在 上为增函数．
所以 ，即 成立，
所以 成立．
