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浙江省强基联盟 2025-2026 学年高二下学期 5 月题库
数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.数据1，2，3，4，5，6，7的中位数是( )
9
A. 3 B. 4 C. 5 D.
2
2.若z=1−i，则|z|=( )
√2
A. 1 B. 2 C. √2 D.
2
3.若抛物线 的焦点为 ，则 ( )
y2=2px(p>0) (1,0) p=
1
A. B. 1 C. 2 D. 4
2
4.已知向量⃗ ⃗ ，⃗ ⃗ ，则⃗ ⃗ ( )
m+n=(1,2) m−n=(1,4) m⋅n=
A. −3 B. −4 C. 3 D. 4
5.甲、乙、丙、丁四人排成一列，要求甲乙相邻，丙丁不相邻，则不同的排法总数为( )
A. 24 B. 12 C. 8 D. 4
6.α，β是两个平面，m，n是两条直线，且α//β，则“m//n”是“m与α所成的角和n与β所成的角相
等”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知函数 {√−x,x<0，不等式 (2 ) 对于 恒成立，则 的取值范围是( )
f (x)= f −m +f (x−2m)<0 x>0 m
−√x,x≥0 x
A. B. C. ( 2 ] D. ( 2 )
(−∞,1] (−∞,1) −∞, √2 −∞, √2
3 3
8.已知定义在 上的函数 满足 ，则函数 的最大值为( )
R f (x) 2f(x)=f(−x)−3ex y=f (x)
A. −2 B. −2√2 C. 2 D. 2√2
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
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1 19.已知 1， ， (1) e，则( )
a=ln b=log e c=
2 2 2
A. a<0 B. c<1 C. b<c D. ab>a
10.小明的书包里有语文书、数学书、英语书各一本，现从中依次无放回地取出2本，记“第一次取到语文
书”为事件E，“第二次取到数学书”为事件F，“取到语文书”为事件G，则( )
1 2
A. P(E)= B. P(E∪F)=
3 3
1
C. P(E|G)= D. E∪F与G相互独立
2
⃗ ⃗
11.如图，正方体ABCD−A
1
B
1
C
1
D
1
的棱长为1，P为BC的中点，CQ=λCC (0<λ<1) ，过点A，P，
1
Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是( )
1
A. 当0<λ< 时，S为四边形
2
1
B. 当λ= 时，S为等腰梯形
2
3
C. 当 <λ<1时，S为六边形
4
3 1
D. 当λ= 时，S与C D 的交点为R，三棱锥R−PDD 的体积为
4 1 1 1 18
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
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2 140
12.在检验喜欢某项体育运动与性别是否有关的过程中，某研究员搜集数据并计算得到χ2= ，则根据小
3
概率值α=0.01所对应的临界值6.635，分析喜欢该体育运动与性别 .(填“有关”或“无关”)
13.已知随机变量X服从二项分布X∼B(n,p)，若D(2X)=2E(X)且E(X)>0，则p= ．
sin A+sinB
14.在▵ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足a2+b2=2ab(1+cosC)，则 的最
sinC
小值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题13分)
1
▵ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c且c=− b+acosB．
4
(1)求cosA；
(2)若▵ABC的面积为3√15，c=8，求▵ABC的周长．
16.(本小题15分)
已知正项数列 是等差数列，前 项和为 ，满足 ，且 ， ， 成等比数列．
{a } n S a +a =10 a a a +4
n n 2 4 1 2 3
求数列 的通项公式；
(1) {a }
n
求数列{ 1 }的前 项和 ．
(2) n T
n+S n
n
17.(本小题15分)
如图，矩形ABCD所在平面与半圆弧CD所在的平面垂直，M是弧CD上异于C，D的点，AB=2，BC=1．
(1)证明：DM⊥平面BMC；
(2)当三棱锥M−BCD体积最大时，求二面角M−AB−C平面角的大小．
18.(本小题17分)
某奶茶店计划购买2台制冰机，每台制冰机使用三年后即被替换.制冰机中有一个易损部件——制冰格，在
购买机器时，可以额外购买这种制冰格作为备件，每个成本150元.在使用期间，若备件不足需临时采购，
则每个价格300元.现对过去100台同类制冰机在三年内的制冰格更换情况进行调查，得到柱状图分布：
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3 1以这100台机器更换制冰格的频率代替1台机器更换数量的概率.记X表示2台制冰机在三年内共需更换的制
冰格总数，n表示购买2台制冰机时同时购买的制冰格备件数．
(1)求P(X=16)；
(2)求随机变量X的分布列；
(3)以购买制冰格所需费用的期望值为决策依据，在n=17和n=18之中选其一，应选用哪一个？
19.(本小题17分)
若函数f (x)满足：∀x,y≥0，有f (x)≥0,f (y)≥0和f (x+ y)+f (0)≥f (x)+f (y)同时成立，则称f (x)为
“类直线函数”．
判断函数 是否为“类直线函数”；
(1) f (x)=x2+1
设函数
4x−(1+a)2x+a，
(2) g(x)=
2x
(ⅰ)若g(x)为“类直线函数”，求实数a的取值范围；
1
(ⅱ)若
a=0
，求证：当
x≥1
时，
g(x)−g
(1)
≥2
x−
x−1
．
x
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4 1参考答案
1.B
2.C
3.C
4.A
5.D
6.A
7.D
8.B
9.AB
10.ACD
11.ABD
12.有关
1
13. /0.5
2
14.√2
1
15.解：(1)由正弦定理得sinC=− sinB+sin AcosB，sinC=sin(A+B)，
4
1
所以，sinBcosA=− sinB，
4
1
因为sinB≠0，所以cosA=− ．
4
1
(2)由(1)cosA=− ，又A∈(0,π)
4
√15
sin A=√1−cos2A= ，
4
1
又 bcsin A=3√15，所以b=3，
2
由余弦定理 a2=b2+c2−2bccosA=9+64−2×3×8× ( − 1) =85 ，得 a=√85 ，
4
所以▵ABC周长为11+√85．
16.解：(1)设公差为d，由a +a =2a =10，得a =5，
2 4 3 3
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5 1所以a =5−2d，a =5−d，
1 2
又 ， ， 成等比数列，所以 ，
a a a +4 a2=a (a +4)
1 2 3 2 1 3
所以 ，
9(5−2d)=(5−d) 2
化简得d2+8d−20=0，解得d=2或d=−10，
因为数列 是正项数列，当 时， ，不合题意，故舍去 ，
{a } d=−10 a =−5<0 d=−10
n 4
所以d=2，a =1，故a =2n−1；
1 n
n(1+2n−1)
(2)由(1)得S = =n2，
n 2
1 1 1 1
所以 = = − ，
n+S (n+1)n n (n+1)
n
所以 ( 1) (1 1) (1 1 ) 1 ，
T = 1− + − +⋯+ − =1−
n 2 2 3 n n+1 n+1
1
综上所述：T =1− ．
n n+1
17.解：(1)由题设知，平面CMD⊥平面ABCD，交线为CD，
因为BC⊥CD，BC⊂平面ABCD，所以BC⊥平面CMD，
故 BC⊥DM ，因为 M 为 ⌢ 上异于 C ， D 的点，且 DC 为直径，所以 DM⊥CM ，
CD
又BC∩CM=C，所以，DM⊥平面BMC．
(2)由题意得：当三棱锥M−BCD体积最大时，M在弧CD的中点，
取AB中点N，过M作MO⊥CD，垂足为O，连接ON，MN，
因为三角形MDC为等腰三角形，MD=MC，
所以OM⊥DC，因为ON//AD，AD⊥AB，所以ON⊥AB，所以∠MNO即为所求．
π
在直角三角形MNO中，OM=ON，所以∠MNO= ．
4
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6 118.解：(1)每台机器更换的制冰格数为7，8，9．
记事件A 为第一台机器三年内换掉i+6(i=1,2,3)个制冰格，
i
记事件B为第二台机器三年内换掉i+6个制冰格(i=1,2,3)，
i
由题意知P(A )=P(A )=P(B )=P(B )=0.2，P(A )=P(B )=0.6;
1 3 1 3 2 2
P(X=16)=P(A B ∪A B ∪A B )=P(A B )+P(A B )+P(A B )P(A B )+P(A B )+P(A B )
1 3 3 1 2 2 1 3 3 1 2 2 1 3 3 1 2 2
=P(A )P(B )+P(A )P(B )+P(A )P(B )P(A )P(B )+P(A )P(B )+P(A )P(B )
1 3 3 1 2 2 1 3 3 1 2 2
=0.2×0.2+0.2×0.2+0.6×0.6=0.44．
(2)2台机器共需更换的制冰格数的随机变量为X，则X的取值为14，15，16，17，18．
P(X=14)=P(A )P(B )=0.2×0.2=0.04，
1 1
P(X=15)=P(A )P(B )+P(A )P(B )=0.2×0.6+0.6×0.2=0.24，
1 2 2 1
P(X=17)=P(A )P(B )+P(A )P(B )=0.6×0.2+0.2×0.6=0.24，
2 3 3 2
P(X=18)=P(A )P(B )=0.2×0.2=0.04，
3 3
X的分布列为：
(3)购买制冰格所需费用含两部分，一部分为购买机器时购买制冰格的费用，
另一部分为备件不足时额外购买的费用：
当n=17时，仅X=18时需要补购一个，费用的期望为17×150+0.04×300=2562(元)
当n=18时，费用的期望为18×150=2700(元)，
因2562<2700，则应选用n=17．
19.解： 当 ， 时， ， ，
(1) x≥0 y≥0 f(x)=x2+1≥0 f(y)= y2+1≥0
又 ，
f(x+ y)+f(0)−f(x)−f(y)=[(x+ y) 2+1]+1−(x2+1)−(y2+1)=2xy≥0
所以 是“类直线函数”．
f (x)=x2+1
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7 1当
时，由4x−(1+a)⋅2x+a
恒成立，又 ，所以
(2)(ⅰ) x≥0 ≥0⇒(2x−a)(2x−1)≥0⇒2x−a≥0 2x≥1
2x
a≤1．
由g(x+ y)+g(0)≥g(x)+g(y)，得
(2x+y−a)(2x+y−1) (2x−a)(2x−1) (2y−a)(2y−1)，
≥ +
2x+y 2x 2y
即 ，
22x+2y−(a+1)⋅2x+y+a≥2y[22x−(a+1)⋅2x+a]+2x[22y−(a+1)⋅2y+a]
整理可得 ，
(2x+y−2x−2y+1)a≥−22x+2y+22x+y+2x+2y−2x+y
即 ，
(2x−1)(2y−1)a≥−2x+y(2x−1)(2y−1)
， ，
∵x≥0,y≥0 ∴(2x−1)(2y−1)≥0,2x+y≥1
故a≥−2x+y，−2x+y≤−1，
所以a≥−1，
综上可知，a的取值范围是[−1,1]．
(ⅱ)由(ⅰ)知若 ， 为“类直线函数”，且 ，
a=0 g(x) g(x)=2x−1 g(0)=20−1=0,
1
当x≥1时，x− ≥0．
x
由“类直线函数”可知 (1 ( 1)) (1) ( 1)
g + x− +g(0)≥g +g x− ,
x x x x
即 (1) ( 1)
g(x)+g(0)≥g +g x− ,
x x
1
所以 g(x)−g (1) ≥g ( x− 1) =2 x− x−1 ，不等式得证．
x x
1
另解：当
a=0
，
g(x)=2x−1
，则
g(x)−g
(1)
=2x−2x
．
x
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8 11
要证 g(x)−g (1
x
) ≥2 x− 1 x−1 ，即证 2x−2 1 x≥2 x− 1 x−1 ，等价于 2x−2 1 x≥ 2
1
x −1= 2x−
1
2x， (∗)
2x 2x
因为 ，所以 1 ， 1 ，
x≥1 2x−2x≥0 2≥2x>1
1 1
所以
1 2x−2x 2x−2x
式得证，原不等式得证．
2x−2x= ≥ ,(∗)
1 1
2x
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9 1
