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襄阳四中 2025 级高一上学期质量检测四
数学试题
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.每小题给出的四个选项中，只有一个
选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 已知函数 则 （ ）
A. B. e C. D. 2
2. 已知命题 ： ， ，则 为（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. 已知幂函数 在 上单调递减，设 ，
则 大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
4. 下列结论正确的是（ ）
A. 若角 ，则角 是第一象限角
B. 若角 ，则角 与角 的终边相同
C. 若角 为锐角，则角 为钝角
D. 若角 的终边上有一点 ，则的
5. 已知函数 （ ） 图象过函数 图象的定点，则
的最小值为（ ）
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
6. 已知函数 ，曲线 和 恰有一个交点，则
（ ）
.
A 1 B. -1 C. D. 0
7. 已知函数 ，若仅存在一个整数 ，使得方程 有4个不同的实
根，则实数 的取值范围是（ ）
.
A B. C. D.
8. 已知实数 是函数 的两个零点，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的是（ ）
的
A. 命题“ ， ” 否定是“ ， ”
B. 若 是第二象限角，则 在第二象限
C. 已知扇形的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为D. 若角 的终边过点 ，则
10. 设函数 的定义域为 ，且满足 为奇函数， 为偶函数，当 时，
，则（ ）
A. B. 在 上单调递减
C. 为奇函数 D. 方程 仅有10个不同实数解
11. 已知 ，下列说法正确的是（ ）
A. 的解集为
B. 存在实数 ，使函数 有三个零点
C. 对任意 ，存在实数 ，使方程 恒有两解 且 为定值
.
D 若 ，则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 计算： _____．
13. 设方程 的根为 ，方程 的根为 ，则 的值为
_________．
14. 已知函数 ，若关于x的方程 有2个不同的实根，则实数a的取值范围
为________；若关于x的方程 有4个不同的实根，则实数a的取值范围为________．
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. （1）求值： ；
（2）已知角 终边上的一点 ，求 的值.
16. 已知函数
（1）求函数 在区间 上的最大值；
（2）当 时，不等式 恒成立，求实数 的取值范围．
17. 为积极响应上级号召，坚定“四个自信”中的文化自信，某市电视台于2021年年初开通了“优秀传统文
化”视频号，并组织专业团队运营，由于内容丰富多彩，该视频号受到广大群众的喜爱，关注度也逐年增
加，以2021年作为第1年，运营团队在每年年底利用数据监测系统对该视频号本年度的观看人次统计如下
表：
第 年 1 2 3 4
观看人次（十
35 40 58 67
万）
为了描述年数 与第 年该视频号观看人次 （单位：十万）的关系，现有以下三种模型供选择：①
；② ；③ .
（1）由于视频号初创，监测系统对2021年的数据统计不准确，导致该组数据不宜使用，请从①②③中选
出一个合适的模型，并求相应的函数解析式，并根据这个模型预测2028年的观看人次能否超过80（单位：
十万）；
（2）为更好的运营视频号，吸引更多的观看者，2025年年初，运营团队加大投入，引进了最新数据监测
系统，经该系统分析，2021年的观看人次修正为28（单位：十万），2024年的观看人次修正为85（单位：
十万）
（i）根据修正后的数据，请从①②③中选择合适的模型，并求相应的函数解析式；
（ii）按上级规定，“优秀传统文化”类视频号当年观看人次超过200（单位：十万），其运营团队可被评为“优秀文化传播集体”荣誉称号，根据（i）中所求函数模型，试估计该视频号运营团队最快到哪一年就能被
评为“优秀文化传播集体”？（参考数据： ， ， .）
18. 已知 .
（1）证明： ；
（2）若函数 ，当定义域为 时，值域为
，求实数 的取值范围.
19. 对于定义域为 的函数 ，如果同时满足以下三个条件：①任意的 ，总有 ；
② ；③若 ， ， ，总有 成立,则称函数
为理想函数.
（1）证明：若函数 为理想函数，则 ；
（2）证明：函数 ， 是理想函数；
（3）证明：若函数 为理想函数，假定存在 ，使得 且 ，则
.
