文档内容
湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1 1
1.“00(x≠0),这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当
=
x2 x2
a>0时,f'(x)=(x+❑√a)(x−❑√a),令f'(x)=0,解得x=± ,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
❑√a
x2
(-∞, (-❑√a, (0, (❑√a,
x -❑√a ❑√a
-❑√a) 0) ❑√a) +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
单调 单调 单调 单调
f(x) b-2❑√a 2❑√a+b
递增 递减 递减 递增
所以f(x)在(-∞,-❑√a)和(❑√a,+∞)上单调递增,在(-❑√a,0)和(0,❑√a)上单调递减。
(2)因为函数f(x)在(1,2)上为单调函数,故若f(x)在(1,2)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,2)时恒成
立,所以x2-a≥0,即a≤x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≤1。若f(x)在(1,2)上单调递减,则f'(x)≤0在
x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≤0,即a≥x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≥4。综上所述,实数a的取值
范围为(-∞,1]∪[4,+∞)。
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学
建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集
在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处
理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。
❑ 7 ❑ 7
y w ∑❑(x-x)(y-y) ∑❑(x-x)(w-w)
i i i i
i=1 i=1
73.5 3.85 -95 -2.24
1 ❑ 7
表中:w=ln(y-25),w= ∑❑w。
i i 7 i
i=1
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的
经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程;
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的
学科网（北京）股份有限公司茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。
附:①对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其经验回归直线v^=α^+^βu的斜率和截距的
1 1 2 2 n n
❑ n
∑❑(u −u)(v −v)
i i
最小二乘估计分别为 , ;
^β= i=1 α^=v−^βu
❑ n
∑❑(u −u) 2
i
i=1
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。
解 (1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),
1 ❑ 7 ❑ 7
则w=ln d+xln c,计算,得x= ∑❑x=3,∑❑(x −x) 2 =28,结合题表中数据,
7 i i
i=1 i=1
❑ 7
∑❑(x −x)(w −w)
i i
可得ln c=
i=1 =
−2.24=-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,
❑ 7 28
∑❑(x −x) 2
i
i=1
由ln d=w−x·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x
的经验回归方程为^y=60×0.92x+25。
(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,
60−25 7 7
得0.92x= = ,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln =ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,
60 12 12
−0.6 −0.6
则x≈ = =7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达
ln e−0.08 −0.08
到最佳饮用口感。
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