湖北省部分高中协作体2025—2026学年上学期9月联考
高三数学试题
本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟。
★祝考试顺利★
注意事项：
1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并
将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置。
2、选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂
黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿
纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4、考试结束后，请将答题卡上交。
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。
1 1
1.“0<a<b”是“a- <b− ”的( )
a b
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
1 1 1
解析：因为y=x- 在(-∞,0)和(0,+∞)上均为增函数,所以当0<a<b时,a- <b− ,充分性成立;
x a b
当a-1 1时,(a-b)( 1 )<0,不一定可以推出0<a<b,如a=-5,b=-2,(a-b)( 1 )<0,
<b− 1+ 1+
a b ab ab
1 1
但a<b<0,必要性不成立,所以“0<a<b”是“a- <b− ”的充分不必要条件。故选A。
a b
答案：A
2.若f(x)=sin( π)+1,则函数y=|f(x)|-1的零点为( )
2x+
6
π kπ π
A.kπ- (k∈Z) B. − (k∈Z)
6 2 6
π kπ π
C.kπ- (k∈Z) D. − (k∈Z)
12 2 12
解析：因为f(x)=sin( π)+1,所以y=|f(x)|-1=| ( π) |-1=0,解得sin( π)=0
2x+ sin 2x+ +1 2x+
6 6 6
或sin( π)=-2(舍去),则2x+π=kπ,k∈Z,解得x=kπ π ,k∈Z。故选D。
2x+ −
6 6 2 12
答案：D
学科网（北京）股份有限公司3.若平面α截三棱锥所得截面为平行四边形,则该三棱锥中与平面α平行的棱有( )
A.0条 B.1条
C.2条 D.1条或2条
解析：如图所示,平面α即平面EFGH,则四边形EFGH为平行四边形,则EF∥GH。
因为EF 平面BCD,GH 平面BCD,所以EF∥平面BCD。又因为EF 平面ACD,
平面BCD∩平面ACD=CD,所以EF∥CD。又EF 平面EFGH,CD 平面EFGH,
⊄ ⊂ ⊂
所以CD∥平面EFGH,同理,AB∥平面EFGH,所以与平面α(平面EFGH)平行的棱有2条。故
⊂ ⊄
选C。
答案：C
4.某小区对小区内的2 000名居民进行走访调查,各年龄段男、女居民人数如下表。已知在
小区的居民中随机抽取1人,抽到20岁~50岁女居民的概率是0.19。现用分层随机抽样的方
法在全小区抽取200名居民,则应在50岁以上的居民中抽取的女居民人数为( )
1岁~20岁 20岁~50岁 50岁以上
女居民 370 X Y
男居民 380 370 250
A.75 B.50
C.25 D.20
解析：因为在小区的居民中随机抽取 1 人,抽到 20 岁~50 岁女居民的概率是 0.19,所以
X
=0.19,解得X=380,则50岁以上的女居民的人数Y=2 000-370-380-380-370-250=250。
2 000
现用分层随机抽样的方法在全小区居民中抽取200名居民,应在50岁以上的居民中抽取的女
200
居民人数为 ×250=25。故选C。
2 000
答案：C
5.有一根蜡烛点燃6 min后,蜡烛长为17.4 cm,点燃21 min后,蜡烛长为8.4 cm。已知蜡烛长
度l(cm)与燃烧时间t(min)之间的关系可以用直线方程表示,则这根蜡烛从点燃到燃尽共耗时(
)
A.25 min B.35 min
C.40 min D.45 min
解析：由题意知,蜡烛长度l(cm)与燃烧时间t(min)之间的关系可以用直线方程表示,且直线过
学科网（北京）股份有限公司8.4−17.4 3 3
(6,17.4),(21,8.4)两点,故其斜率k= =− ,所以直线方程为l-8.4=- (t-21),所以当蜡烛
21−6 5 5
燃尽,即l=0时,有t-21=14,即t=35。故选B。
答案：B
x2 y2
6.已知点P(x,y)是椭圆 + =1上任意一点,则点P到直线l:y=x+5的最大距离为( )
9 4
5❑√2+❑√26 5❑√2−❑√26
A. B.
2 2
C.5❑√2+❑√26 D.5❑√2−❑√26
{x2 y2
解析：设直线 y=x+m 与椭圆相切,由 + =1,得 13x2+18mx+9m2-36=0,所以 Δ=(18m)2-
9 4
y=x+m,
4×13(9m2-36)=0,解得m=±❑√13,切线方程为y=x+❑√13和y=x-❑√13,与l距离较远的是y=x-❑√13,
|−❑√13−5| 5❑√2+❑√26
所以所求最大距离为d= = 。故选A。
❑√2 2
答案：A
7.在正整数数列中,由1开始依次按如下规则取该数列的项:第一次取1;第二次取2个连续的
偶数2,4;第三次取3个连续的奇数5,7,9;第四次取4个连续的偶数10,12,14,16;第五次取5个
连续的奇数17,19,21,23,25。按此规律取下去,得到一个数列1,2,4,5,7,9,10,12,14,16,17,19,…,则
这个数列中的第2 025个数是( )
A.3 980 B.3 982
C.3 984 D.3 986
解析：由题意可得,奇数次取奇数个奇数,偶数次取偶数个偶数,前n次共取了1+2+3+…+n=
n(n+1) 63×(63+1)
个数,且第n次的最后一个数为n2,当n=63时, =2 016,故到第63次取时
2 2
取了63个奇数,且前63次共取了2 016个数,即第2 016个数为632=3 969,所以n=64时,取的
数依次为 3 970,3 972,3 974,3 976,3 978,3 980,3 982,3 984,3 986,…,第 2 025 个数为 3
986。故选D。
答案：D
8.如图所示,某景观湖内有四个人工小岛,为方便游客登岛观赏美景,现计划设计三座景观桥连
通四个小岛,每座桥只能连通两个小岛,且每个小岛最多有两座桥连接,则设计方案的种数最
多是( )
学科网（北京）股份有限公司A.8 B.12
C.16 D.24
解析：四个人工小岛分别记为A,B,C,D,对A岛分有一座桥相连和两座桥相连两种情况,用
“—”表示桥。①当A只有一座桥相连时,
有 A—B—C—D,A—B—D—C,A—C—B—D,A—C—D—B,A—D—B—C,A—D—C—B,共 6 种
方法;②当A有两座桥相连时,
有 C—A—B—D,D—A—B—C,D—A—C—B,B—A—C—D,B—A—D—C,C—A—D—B,共 6 种
方法。故设计方案的种数最多是6+6=12。故选B。
答案：B
二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多
项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
1
9.在平面四边形ABCD中,|⃗AB|=|⃗BC|=|⃗CD|=⃗DA·⃗DC=1,⃗BA·⃗BC= ,则( )
2
A.|⃗AC|=1 B.|⃗CA+⃗CD|=|⃗CA−⃗CD|
2+❑√3
C.⃗AD=❑√2⃗BC D.⃗BD·⃗CD=
2
1 π
解析：因为|⃗AB|=|⃗BC|=|⃗CD|=1,⃗BA·⃗BC=|⃗BA||⃗BC|cos B= ,所以 B= ,所以
2 3
△ABC 为等边三角形,所以|⃗AC|=1,故 A 正确;因为|⃗CD|=1,所⃗CD2=1,又⃗DA·⃗DC=1,所以
· , 即 · ·( )= · =0, 所 以 AC⊥ CD, 所 以 |
⃗CD2=⃗DA ⃗DC ⃗DC2−⃗DA ⃗DC=⃗DC ⃗DC−⃗DA ⃗DC ⃗AC
⃗CA+⃗CD|=|⃗CA−⃗CD|,故B正确;易知BC与AD不平行,故C错误;建立如图所示的平面直
角坐标系,则B( 1 ),C(1 ),D(1+❑√3 1),所以 (2+❑√3 1), (❑√3 1),所
− ,0 ,0 , ⃗BD= , ⃗CD= ,
2 2 2 2 2 2 2 2
2+❑√3
以⃗BD·⃗CD= ,故D正确。故选ABD。
2
学科网（北京）股份有限公司答案：ABD
10.函数y=f(x)的导函数f'(x)的图象如图所示,则以下命题错误的是( )
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的最小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.y=f(x)在x=0处切线的斜率小于零
解析：根据导函数的图象可知当x∈(-∞,-3)时,f'(x)<0,当x∈(-3,+∞)时,f'(x)≥0,所以函数y=f(x)在
(-∞,-3)上单调递减,在(-3,+∞)上单调递增,C正确。所以-3是函数y=f(x)的极小值点,A正确。
因为函数y=f(x)在(-3,+∞)上单调递增,所以-1不是函数y=f(x)的最小值点,B错误。因为函数
y=f(x)在x=0处的导数大于0,所以y=f(x)在x=0处切线的斜率大于零,D错误。故选BD。
答案：BD
11.自然环境中,大气压强受到各种因素的影响。如温度、湿度、风速和海拔等方面的改变,
都将导致大气压强发生相应的变化,其中以海拔的影响最为显著,如图是根据一组观测数据得
到的海拔6 km~15 km的大气压强散点图,根据一元线性回归模型得到经验回归方程为^y
1
=-4.0x+68.5,决定系数 =0.99;根据非线性回归模型得到非线性经验回归方程为
R2 ^y
1 2
=132.9e-0.163x,决定系数 =0.99,则下列说法正确的是( )
R2
2
A.由散点图可知,大气压强与海拔负相关
B.由方程^y =-4.0x+68.5可知,海拔每升高1 km,大气压强必定降低4.0 kPa
1
C.由方程^y =-4.0x+68.5可知,样本点(11,22.6)的残差为-1.9
1
D.对比两个回归模型,结合实际情况,方程^y =132.9e-0.163x的预报效果更好
2
解析：观察题中散点图,可知大气压强与海拔负相关,即 A 正确;通过经验回归方程^y
1
=-4.0x+68.5,可知海拔每升高1 km,大气压强大约降低4.0 kPa,即B错误;当x=11时,代入方程
^y =-4.0x+68.5计算可得预测值^y =24.5,则残差为22.6-24.5=-1.9,即C正确;随着海拔的增加,
1 1
大气压强越来越小,但不可能为负数,因此,方程^y =132.9e-0.163x的预报效果更好,即D正确。故
2
学科网（北京）股份有限公司选ACD。
答案：ACD
三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分
12.设2x=8y+1,9y=3x-9,则x+y的值为 27 。
解析：因为2x=8y+1=23(y+1),所以x=3y+3 ①。因为9y=3x-9=32y,所以x-9=2y ②。
由①②解得x=21,y=6,所以x+y=27。
答案：27
a+i
13.已知复数z= ,a∈R。若z为纯虚数,则a= 1 。
1−i
解析：z=a+i (a+i)(1+i) 1[(a-1)+(1+a)i]为纯虚数,所以{a+1≠0,所以a=1。
= =
1−i 1−i2 2 a−1=0,
答案：1
6
14.名参加交流会,在已选出的2名中有1名是男生的条件下,另1名是女生的概率为 。
7
解析：记事件A表示“2名中至少有1名男生”,事件B表示“2名中有1名女生”,则“2名
中有1名是男生的条件下,另1名是女生”的概率为
P(B|A)= P(AB),而P(AB)= C1 2 C1 3= 3,P(A)=1- C 3 2 = 7 ,所以P(B|A)=6。
P(A) C2 5 C2 10 7
5 5
6
答案：
7
四、解答题：本题共5小题，共77分
15.（本小题满分15分）
a+b sin C+sin B
ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,设 = 。
c−b sin A
△
(1)求C;
(2)若(❑√3+1)a+2b=❑√6c,求A。
a+b sin C+sin B a+b b+c
解：(1)因为 = ,所以由正弦定理得 = ,化简得a2+b2-c2=-ab,
c−b sin A c−b a
a2+b2−c2 −ab 1 2π
所以cos C= = =− 。因为C∈(0,π),所以C= 。
2ab 2ab 2 3
(2)因为(❑√3+1)a+2b=❑√6c,所以由正弦定理,得(❑√3+1)sin A+2sin B=❑√6sin C,
又C=2π,A+B+C=π,所以( +1)sin A+2sin(π ) 3❑√2,即sin( π) ❑√3。
❑√3 −A = A+ =
3 3 2 4 2
学科网（北京）股份有限公司π π π 7π π π π π π
因为0<A< ,所以 <A+ < ,所以A+ = ,即A= − = 。
3 4 4 12 4 3 3 4 12
16.（本小题满分15分）
已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,向量m=(sin A,sin B),n=(cos B,cos A),m·n=sin
2C。
(1)求角C的大小;
(2)若sin A,sin C,sin B成等差数列,且⃗CA·(⃗AB−⃗AC)=18,求c。
解:(1)m·n=sin Acos B+sin Bcos A=sin(A+B),在△ABC中,A+B=π-C,0<C<π,
1
所以sin(A+B)=sin C,所以m·n=sin C。又m·n=sin 2C,所以sin 2C=sin C,得cos C= 。
2
π
又因为C∈(0,π),故C= 。
3
(2)由sin A,sin C,sin B成等差数列,可得2sin C=sin A+sin B,由正弦定理,得2c=a+b。
因为 ·( )=18,所以 · =18,即abcos C=18,所以ab=36。
⃗CA ⃗AB−⃗AC ⃗CA ⃗CB
由余弦定理,得c2=a2+b2-2abcos C=(a+b)2-3ab,所以c2=4c2-3×36,所以c2=36,所以c=6。
17.（本小题满分15分）
已知点P(1,2),圆C:x2+y2-6y=0。
(1)若直线l过点P且在两坐标轴上截距之和等于0,求直线l的方程;
(2)设A是圆C上的动点,求⃗OA·⃗OP(O为坐标原点)的取值范围。
解：(1)当截距均为0,即直线过原点时,设直线l的方程为y=kx,代入P(1,2),解得k=2,故直线l
x y
的方程为2x-y=0;当截距均不为0时,设直线l的方程为 + =1,代入P(1,2),解得a=-1,故直
a −a
线l的方程为x-y+1=0。综上所述,所求直线l的方程为2x-y=0或x-y+1=0。
(2)设A(x,y),满足x2+y2-6y=0,设s= · =x+2y。由{x2+ y2−6 y=0,
⃗OA ⃗OP
s=x+2y,
得5y2-2(2s+3)y+s2=0,Δ=4(2s+3)2-20s2≥0,即s2-12s-9≤0,
解得6-3❑√5≤s≤6+3❑√5。所以⃗OA·⃗OP的取值范围为[6-3❑√5,6+3❑√5]。
18.（本小题满分16分）
a
已知函数f(x)=x+ +b(x≠0),其中a,b∈R。
x
(1)讨论函数f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)在(1,2)上为单调函数,求实数a的取值范围。
学科网（北京）股份有限公司解 (1)f'(x)=1- a x2−a。当a≤0时,显然f'(x)>0(x≠0),这时f(x)在(-∞,0),(0,+∞)上是增函数;当
=
x2 x2
a>0时,f'(x)=(x+❑√a)(x−❑√a),令f'(x)=0,解得x=± ,当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:
❑√a
x2
(-∞, (-❑√a, (0, (❑√a,
x -❑√a ❑√a
-❑√a) 0) ❑√a) +∞)
f'(x) + 0 - - 0 +
单调 单调 单调 单调
f(x) b-2❑√a 2❑√a+b
递增 递减 递减 递增
所以f(x)在(-∞,-❑√a)和(❑√a,+∞)上单调递增,在(-❑√a,0)和(0,❑√a)上单调递减。
(2)因为函数f(x)在(1,2)上为单调函数,故若f(x)在(1,2)上单调递增,则f'(x)≥0在x∈(1,2)时恒成
立,所以x2-a≥0,即a≤x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≤1。若f(x)在(1,2)上单调递减,则f'(x)≤0在
x∈(1,2)时恒成立,所以x2-a≤0,即a≥x2在x∈(1,2)时恒成立,所以a≥4。综上所述,实数a的取值
范围为(-∞,1]∪[4,+∞)。
19.（本小题满分16分）
中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱。茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学
建模小组为了获得茶水温度y(单位:℃)关于时间x(单位:min)的回归方程模型,通过实验收集
在25 ℃室温,用同一温度的水冲泡的条件下,茶水温度随时间变化的数据,并对数据做初步处
理得到如图所示的散点图以及如表所示的数据。
❑ 7 ❑ 7
y w ∑❑(x-x)(y-y) ∑❑(x-x)(w-w)
i i i i
i=1 i=1
73.5 3.85 -95 -2.24
1 ❑ 7
表中:w=ln(y-25),w= ∑❑w。
i i 7 i
i=1
(1)根据散点图判断:①y=a+bx与②y=dcx+25哪一个更适宜作为该茶水温度y关于时间x的
经验回归方程类型?(给出判断即可,不必说明理由)
(2)根据(1)的判断结果及表中数据,建立该茶水温度y关于时间x的经验回归方程;
(3)已知该茶水温度降至60 ℃口感最佳,根据(2)中的经验回归方程,求在相同条件下,刚泡好的
学科网（北京）股份有限公司茶水大约需要放置多长时间才能达到最佳饮用口感。
附:①对于一组数据(u,v),(u,v),…,(u,v),其经验回归直线v^=α^+^βu的斜率和截距的
1 1 2 2 n n
❑ n
∑❑(u −u)(v −v)
i i
最小二乘估计分别为 , ;
^β= i=1 α^=v−^βu
❑ n
∑❑(u −u) 2
i
i=1
②参考数据:e-0.08≈0.92,e4.09≈60,ln 7≈1.9,ln 3≈1.1,ln 2≈0.7。
解 (1)更适宜的回归方程类型为②y=dcx+25。
(2)由y=dcx+25,可得y-25=dcx,对等式两边取自然对数,得ln(y-25)=ln d+xln c,令w=ln(y-25),
1 ❑ 7 ❑ 7
则w=ln d+xln c,计算,得x= ∑❑x=3,∑❑(x −x) 2 =28,结合题表中数据,
7 i i
i=1 i=1
❑ 7
∑❑(x −x)(w −w)
i i
可得ln c=
i=1 =
−2.24=-0.08,结合参考数据可得c=e-0.08≈0.92,
❑ 7 28
∑❑(x −x) 2
i
i=1
由ln d=w−x·ln c,得ln d=4.09,结合参考数据可得d=e4.09≈60,所以该茶水温度y关于时间x
的经验回归方程为^y=60×0.92x+25。
(3)因为在25 ℃室温下,茶水温度降至60 ℃口感最佳,所以由60=60×0.92x+25,
60−25 7 7
得0.92x= = ,对等式两边取自然对数,得x·ln 0.92=ln =ln 7-2ln 2-ln 3≈-0.6,
60 12 12
−0.6 −0.6
则x≈ = =7.5,所以在相同条件下,刚泡好的茶水大约需要放置7.5 min才能达
ln e−0.08 −0.08
到最佳饮用口感。
学科网（北京）股份有限公司
