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湖北省随州市2025-2026学年高三上学期1月期末质量检测数学试题
一、单选题
1．已知全集 ，集合 ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．函数 的极大值点为（ ）
A．0 B． C． D．
3．在梯形 中， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．一个装有水的圆柱形玻璃杯，测得其内部半径为 ，将一个半径为 的玻璃球完全浸入水中，水
没有溢出，则杯中水面上升了（ ）
A． B． C． D．
5．已知圆 与抛物线 交于A，B两点，若 为正三角形，则 （ ）
A． B． C． D．
6．已知函数 是定义在 上的偶函数，对任意不相等的两个正实数 ， ，
恒成立，且 ，则不等式 的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．某操场的正前方有两根高度均为 、相距6m的旗杆 ， （两根旗杆都与地面垂直）．有一条
10m长的绳子，两端系在两根旗杆的顶部B，D处，中间某处系在地面的点 ，并按如图所示的方式绷紧，使得绳子和两根旗杆处在同一个平面内，假定这条绳子的长度没有改变，则 （ ）
A． B． C． D．1m
8．在正项数列 中， ， ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．若复数 ， ，则（ ）
A． 的实部为1 B． 的虚部为 C． 为纯虚数 D．
10．在等差数列 和等比数列 中， ， ，数列 的前 项和为 ，则（ ）
A． 的公差为3 B． 的公比为2 C． D．
11．平面中有 个不同的点，且任意3点均不共线．从某点开始与其他点连线（连线均为线
段），笔不能离开纸面，也不能与任何一条线段重合（可以重复经过线段上的一个点），最后到达某个点
结束，这个图形为一个“通路”．在“通路”中，若起点和终点重合了，则这个图形为一个“回路”．对
于下列三个图形，结论正确的有（ ）
A．在图1中，可以绘制7个不同的“通路”
B．在图2中，可以绘制18个仅由3条线段组成的不同的“通路”C．在图2中，可以绘制7个不同的“回路”
D．在图3中，可以绘制37个至多由5条线段组成的不同的“回路”
三、填空题
12．假设某超市今年上半年每个月的销售额 （单位：万元）与广告支出 （单位：万元）的经验回归方
程为 ．若该超市计划明年5月份的销售额为10万元，则估计该超市明年5月份的广告支出为
万元．
13．若 ，且 ，则 ， ．
14．如图，单位圆 的圆心为坐标原点，将 轴右侧半圆上所有点的横坐标变为原来的 ，纵坐标不变，
得到曲线 ．若水平直线 与曲线 交于点 ，则 的最大值为 ．
四、解答题
15．已知 的内角 、 、 的对边分别为 、 、 ，且 ．
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 的最小值．
16．如图1，在 中， ， ，D，E，F分别是 ， ， 的中点．将
沿着线段 翻折至 的位置，连接 ， ，得到四棱锥 ，如图2所示，连接 ．(1)证明： ．
(2)若 ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
17．如图，甲、乙准备玩跳格子游戏，规则如下：每一轮游戏先进行成语接龙，获胜的人等可能地前进1
格或2格，失败的人原地不动，一轮游戏结束．在成语接龙中，甲获胜的概率为 ，没有平局，且每轮比
赛的结果都相互独立．
(1)求第1轮游戏结束，甲前进2格的概率；
(2)求第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率；
(3)若第3轮游戏结束，甲前进的格数与乙前进的格数之和为 ，求 的分布列与数学期望．
18．已知函数 ， ．
(1)讨论 的单调性；
(2)若曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，求 ；
(3)若函数 有且只有两个零点，求 的取值范围．19．已知 是双曲线 的右焦点，且 经过点 ．
(1)求 的标准方程．
(2)已知斜率为 的直线 与 的右支相交于A，B两点，直线 ， 的一个方向向量分别为
， ， ，且 ．
（ⅰ）求 ．
（ⅱ）判断 是否过定点．若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由．参考答案
1．B
【详解】根据补集的概念可知， .
故选：B.
2．A
【详解】由题意得 ，
当 或 时， ， 单调递增；
当 时， ， 单调递减，
所以 的极大值点为0．
故选：A.
3．D
【详解】在梯形 中， ， ，
所以 ．
故选：D.
4．B
【详解】因为玻璃球的半径为 ，可得玻璃球的体积为 ，
设圆柱形玻璃杯水面上升了 ，可得 ，解得 ，
所以杯中水面上升了 ．
故选：B.
5．C【详解】如图，设直线 与 轴交于点 ，
因为 为正三角形，所以 ，则 ， ，则 ，
由 ，得 ．
故选：C
6．D
【详解】 对任意不相等的两个正实数 ， ， 恒成立，
不妨设 ， ， ， ，
， 在 上单调递增，
是定义在 上的偶函数， 在 上单调递减，
， 的解集为 ．
故选：D.
7．A
【详解】因为 ，
所以 的轨迹是焦点为B，D，长轴长为10，短轴长为 的椭圆．
如图，以直线 为 轴， 的中垂线为 轴，建立平面直角坐标系．
易得该椭圆的方程为 ．
当 时， ，得 ，所以 ．故选：A.
8．C
【详解】由 ，得 ，得 ，
则 是首项为 ，公比为 的等比数列，
所以 ，即 ．
当 为奇数时， 为递增数列，
所以 ，即 ．
当 为偶数时， 为递减数列，
所以 ，所以 ．
又 ，所以 ，所以 .
故选：C
9．AC
【详解】对于A，因为 ，所以 的实部为1，故A正确；
对于BC， ，所以 的虚部为2， 为纯虚数，故B错误，C正确；对于D，因为 ， ，所以 ，故D错误.
故选：AC.
10．ACD
【详解】设 的公差为 ．由 ，得 ，A正确；
设 的公比为 ．由 ，得 ，B错误；
因为 ，
或 ，
所以 ，C正确；
因为 ，
所以 ，D正确．
故选：ACD
11．ACD
【详解】在图1中，一共可以组成 条线段，仅由1条线段组成的“通路”有 个，
仅由2条线段组成的“通路”有 个，由3条线段组成的“通路”有1个，
所以可以绘制 个不同的“通路”，A正确．
在图2中，4个点两两连接，最多有 条线段，
仅由3条线段组成的图形有 个，
但三条线段共一个端点的图形不能组成“通路”，
所以仅由3条线段组成的不同的“通路”有 个，B错误．
在图2中，任意三点首尾相连可以组成 个“回路”；由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有如下3种，其他情况不能组成“回路”，
所以可以绘制 个不同的“回路”，C正确．
在图3中，任意三点首尾相连（3条线段）可以组成 个“回路”；
由4个端点4条线段组成的不同的“回路”有 种（由C选项可知）；
如图4，任选一个点，该点最多在四条线段上，在这4条线段中任选两条线段，有 种不同的选法，
如图5，在每一种选法上，将在线段上的点A，B与不在线段上的点C，D，2个为一组分别连接起来，
有 种不同的选法，最后连接 ，
如图6、图7所示，由5个端点5条线段组成的“回路”有 个．
故可以绘制 个至多由5条线段组成的不同的“回路”，D正确．
故选：ACD.
12．2.5/
【详解】由 ，得 ，
则估计该超市明年5月份的广告支出为2.5万元.
故答案为： .
13． 2 3
【详解】由 ，得 ， ，
则 ．由 得 ．
因为 ，
所以 ，得 ，解得 （ 舍去）．
故答案为：2；3.
14． /
【详解】由题意可得 与曲线 交于点 时，可使 最大，
设直线 与 轴右侧半圆交于点 ，连接 ．
设 ，则 ，从而 ， ，
则 ．
因为 ，所以 ，
从而仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 ．
故答案为： .15．(1)
(2)2．
【详解】（1）由已知及正弦定理得 ，
由 ，得 ，得 ，
由 ，得 ，得 ，得 ，
得 ，得 ；
（2）由 ，得 ，
由余弦定理得 ，
因为 ，
当且仅当 时，等号成立，
所以 ，得 ．故 的最小值为2．
16．(1)证明见解析
(2)
【详解】（1）如图1，连接 ，交 于点 ．
因为 ，F是 的中点．所以 ．
因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ，所以 ．
如图2，连接 ， ，
因为 ， ， ， 平面 ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
（2）由（1）知 即 ，又 ，所以 ，
故 ，则 ，
因为 ，所以 ．以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，
建立如图2所示的空间直角坐标系.
， ， ， ，
，
设平面 的一个法向量为 ，则 ，
取 ，则 ， ，得 ，
易得平面 的一个法向量为 ，
设平面 与平面 夹角为 ，则 ，
故平面 与平面 夹角的余弦值为 ．
17．(1)
(2)
(3)分布列见解析，
【详解】（1）第1轮游戏结束，甲前进2格的概率为 ．
（2）当乙前进0格时，即2轮中甲均获胜，
①每轮均前进2格的概率为 ；
②仅有1轮前进2格的概率为 ；③每轮均前进1格的概率为 ；
当乙前进1格时，即2轮中甲、乙各获胜1轮，
甲获胜前进2格，乙获胜前进1格的概率为 ；
综上，第2轮游戏结束，甲前进的格数比乙前进的格数大的概率为 ．
（3）在一轮游戏中，甲获胜前进1格、2格的概率均为 ，乙获胜前进1格、2格的概率均为 ，
所以每轮游戏甲前进的格数与乙前进的格数之和为1的概率为 ，为2的概率为 ．
的取值可能为3，4，5，6．
，
，
，
，
的分布列为
3 4 5 6
故 ．
18．(1)答案见解析
(2)0
(3)
【详解】（1）由题意得 的定义域为 ， ．
当 时， ， 单调递增．
当 时，令 ，得 ．当 时， ， 单调递增，
当 时， ， 单调递减．
综上，当 时， 在 上单调递增；
当 时， 在 上单调递增，在 上单调递减．
（2）由题意得 ，则 ， ．
设曲线 的切点为 ，由（1）可得 ．
因为曲线 在点 处的切线也是曲线 的切线，
所以 ，得
（3）令 ，得 ．
因为 有且只有两个零点，
所以直线 与 的图象有且只有两个公共点．
设函数 ，则 ．当 时， ， 单调递减，
当 0时， ， 单调递增，则 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立．
因为 在 上单调递增， ， ，所以存在 ，使得 ．
，
当且仅当 时，等号成立.
当 时， ，当 时， ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
19．(1)
(2)（ⅰ） ；（ⅱ） 过定点 ．
【详解】（1）由题意得 ，得 ，
所以 的标准方程为 ．
（2）（ⅰ）因为 ，所以 是直线 的一个方向向量，
因为直线 的一个方向向量分别为 ， 且 ，所以
，
则 ，整理得 ．
因为 ，所以 ．
（ⅱ） 过定点 ．
理由如下：设 ， ， ，由 ，得 ，
则 ，
， ，
由（ⅰ）知 ，
得 ，
即 ，整理得 ，
所以 或 ．
又 ，
故当 时， ，不符合题意．
当 时， ，符合题意．
综上， ，所以 过定点 ．
