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广东广州市 2027 届高三开学考预测卷数学试题
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知 ， ，则 （ ）
2
A． 𝐴𝐴 ={0,1 ,2,3,4,5B}．𝐵𝐵 ={𝑥𝑥|2 𝑥𝑥 −5𝑥𝑥 >C0． } 𝐴𝐴∩ (∁R𝐵𝐵)= D．
{0,3,4,5} {0,1,2,3} {0,1,2} {1,2}
2．已知复数 ，则 的虚部为（ ）
2
(1+2i)
3
A． 𝑧𝑧 = 2+i B．𝑧𝑧 C． D．
3．在 −1 中，点 满足 1 ，点 为i 的中点，则 （ − ）i
A．△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐷𝐷 B．2�𝐷𝐷����𝐵𝐵�⃗+𝐷𝐷����𝐴𝐴�⃗ = �0⃗ 𝐸𝐸 C．𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐴𝐴����𝐸𝐸�⃗ = D．
1 5 1 1 1 5 1 1
4．已知3等
𝐴𝐴����𝐵𝐵�
比
⃗−
数6列
𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗
前 项3和
𝐴𝐴����𝐵𝐵�
为
⃗+6， 𝐴𝐴����𝐴𝐴� ⃗
若
6𝐴𝐴��
，
��𝐵𝐵�⃗−6𝐴𝐴����𝐴𝐴�⃗ ，则6𝐴𝐴����𝐵𝐵�⃗+
（3
𝐴𝐴� � �� 𝐴𝐴�⃗
）
2 2
A．128 {𝑎𝑎𝑛𝑛} B𝑛𝑛．255 𝑆𝑆𝑛𝑛 2𝑎𝑎2 =C𝑎𝑎．1𝑎𝑎2456 𝑆𝑆2𝑛𝑛 =𝑆𝑆𝑛𝑛 +2𝑆𝑆𝑛𝑛D．5𝑆𝑆181 =
5．已知定义在 上的奇函数 满足 ，当 时， ，则 在区间
内的所有𝑅𝑅 零点之和为𝑓𝑓（(𝑥𝑥 ) ） 𝑓𝑓(𝑥𝑥+e)=𝑓𝑓(𝑥𝑥−e) 𝑥𝑥 ∈(0,e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=ln𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
(−eA,2．e) B． C． D．0
3e−1 2e 2e−1
6．已知双曲线 的右焦点为 ，左､右顶点分顶顶 为 上一点，且
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
轴，点 在线段𝐴𝐴:𝑎𝑎 2 −上𝑏𝑏， 2 直=线1(𝑎𝑎>0,𝑏𝑏 >分0别) 交 轴于 𝐹𝐹两点， 为坐标原点𝐴𝐴1 ，,𝐴𝐴若 2,𝑀𝑀 𝐴𝐴 ，则𝑀𝑀𝐹𝐹的⊥离𝑥𝑥
心率为𝑁𝑁（ ） 𝑀𝑀𝐹𝐹 𝐴𝐴1𝑁𝑁,𝐴𝐴2𝑁𝑁 𝑦𝑦 𝐻𝐻,𝐺𝐺 𝑂𝑂 |𝑂𝑂𝐺𝐺|=3|𝑂𝑂𝐻𝐻| 𝐴𝐴
A．2 B．3 C． D．
7．函数 所有零点的和为（√ 2 ） √3
2
A． 𝑦𝑦 =4sinπ𝑥𝑥+√B5．𝑥𝑥−𝑥𝑥 C． D．
8．在三5棱锥 中，底10面 是等边三角形15， ⊥ ，二面角 20 的大小为 .若三棱锥
5π
外接 𝑃𝑃 球 − 的 𝐴𝐴 表 𝐵𝐵𝐴𝐴 面积为 △ ， 𝐴𝐴𝐵𝐵 则 𝐴𝐴 该三棱锥 𝐴𝐴 体 𝑃𝑃 积 𝑃𝑃 的 𝐴𝐴 最大值为 𝑃𝑃 （ − 𝐴𝐴 ） 𝐴𝐴 −𝐵𝐵 6
𝑃𝑃−A𝐴𝐴．𝐵𝐵𝐴𝐴6 B．1121 2π C𝑃𝑃．−1𝐴𝐴2𝐵𝐵𝐴𝐴 D．24
√3
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全
部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
试卷第1页，共4页
学科网（北京）股份有限公司9．函数 的部分图象如图所示，则（ ）
π
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝐴𝐴sin(𝜔𝜔𝑥𝑥+𝜑𝜑)�𝐴𝐴 >0,𝜔𝜔 >0,|𝜑𝜑|< 2�
A．
B．点𝜔𝜔 =3 为 图象的一个对称中心
5π
�4 ,0� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
C． 时， 的值域为
π 7π
𝑥𝑥 ∈�3,12� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) (−√2,0)
D．若 ，则
6 7
10．已知抛
𝑓𝑓(
物
𝛼𝛼)
线
=5 sin6𝛼𝛼 =−25的焦点为
，准线为 ， 是 上一点，且在第一象限， 在 上的射影
2
为 ，线段 与𝐴𝐴:的𝑦𝑦 交=点2𝑝𝑝为𝑥𝑥(𝑝𝑝，>0在) 上的射影𝐹𝐹为 ，且 𝑙𝑙 𝑃𝑃 𝐴𝐴 ，过点 作 的切𝑃𝑃线与𝑙𝑙 轴交于
𝜋𝜋
𝑀𝑀 𝐹𝐹𝑀𝑀 𝐴𝐴 𝑄𝑄 𝑄𝑄 𝑙𝑙 𝑁𝑁 ∠𝑁𝑁𝑄𝑄𝐹𝐹 =∠𝑀𝑀𝑃𝑃𝐹𝐹+6 𝑃𝑃 𝐴𝐴 𝑥𝑥
点 ，则（ ）
𝑇𝑇A． 为线段 的中点 B．
C．𝑄𝑄 𝐹𝐹 𝑀𝑀 D．∠𝑀𝑀𝐹𝐹𝑃𝑃是=等2∠边𝑀𝑀三𝐹𝐹𝑁𝑁角形
11．我们𝑃𝑃知𝑇𝑇道⊥圆𝑀𝑀𝐹𝐹锥曲线的名称源于用平面截圆锥面△所𝑃𝑃得𝑇𝑇𝐹𝐹的截线.已知圆锥的底面半径为1，轴截面为等边
三角形，过底面的一条直径作一个与底面夹角为 的平面，在圆锥侧面上形成的截线记为 .则下列说法
正确的是（ ） 𝜃𝜃 Γ
A．当 时， 为双曲线的一部分
B．当𝜃𝜃 =90°时，存Γ 在一种建系方式，使得 符合方程
2
C．当𝜃𝜃 =60°时， 与底面直径围成的图形面Γ积小于 𝑦𝑦 =𝑥𝑥
π
𝜃𝜃 =45° Γ 2
D．当 时， 的离心率大于
1
𝜃𝜃 =30° Γ 2
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12．设 ，则 ____________.
6 6
13．曲(线𝑥𝑥−1) =𝑎𝑎0+𝑎𝑎1(（𝑥𝑥−为2)自+然⋯对+数𝑎𝑎的6(𝑥𝑥底−数2）) 在 𝑎𝑎2+处𝑎𝑎的3切+⋯线+与𝑎𝑎圆6 = 相交于点M，
𝑥𝑥 2 2
N，则 𝑓𝑓(𝑥𝑥)_=__e___+．s in𝑥𝑥 e 𝑥𝑥 =0 (𝑥𝑥−2) +𝑦𝑦 =9
|𝑀𝑀𝑁𝑁|= 试卷第2页，共4页14．若数列 不是等比数列，且 使得 ，那么称数列 为“局部等比数列”．若
∗ 2
从集合 {𝑎𝑎𝑛𝑛} 中抽取 个数构∃成𝑘𝑘 ∈一𝑁𝑁个数列𝑎𝑎𝑘𝑘⋅𝑎𝑎，𝑘𝑘则+2数=列𝑎𝑎𝑘𝑘+1为“局部等比数{𝑎𝑎列𝑛𝑛}”的概率为__________．
{2,4,8,16,32} 4 {𝑥𝑥𝑛𝑛} {𝑥𝑥𝑛𝑛}
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本题13分）已知 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ，，且
. △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝐴𝐴 𝑎𝑎 𝑏𝑏 𝑐𝑐 (𝑎𝑎+2𝑏𝑏):(𝑏𝑏+2𝑐𝑐):(𝑐𝑐+2𝑎𝑎)=
(81:)1求1:8 ；
(2)若cos𝐴𝐴 ，求 的值.
𝑎𝑎cos𝐴𝐴+𝑐𝑐cos𝐴𝐴=𝑘𝑘𝑏𝑏sin𝐴𝐴 𝑘𝑘
16．（本题15分）矩形 中， ，为线段 的中点，将 沿 折起，使得平面
平面 ．在新构造𝐴𝐴的𝐵𝐵𝐴𝐴四𝐷𝐷棱锥𝐴𝐴𝐵𝐵 =2𝐴𝐴𝐷𝐷中=，4解𝑃𝑃以下问题𝐷𝐷𝐴𝐴： △𝐴𝐴𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑃𝑃 ⊥
𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐷𝐷−𝑃𝑃𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴
(1)证明： 面 ；
(2)在 上𝐵𝐵是𝑃𝑃否⊥存𝐴𝐴在𝐷𝐷点𝑃𝑃 使得 平面 ？若存在，求出点 的位置；若不存在，请说明理由．
𝐷𝐷𝐴𝐴 𝐸𝐸 𝐴𝐴𝐷𝐷// 𝑃𝑃𝐵𝐵𝐸𝐸 𝐸𝐸
17．（本题15分）某商场店庆抽奖规则：不透明容器内有6个颜色、大小均相同的小球，分别标有“五”
“折”各1个，“钜”“惠”共4个．每位观众仅抽1次，一次性抽取2个球：若抽到“五”和“折”，
获5折券；若抽到“钜”和“惠”，获7折券．已知获7折券的概率是获5折券概率的3倍．
(1)求标有“惠”的小球个数；
(2)若某观众已抽到1个“五”球，求其获得5折券的概率；
(3)现有三位观众独立参加抽奖，求获得7折券的人数X的分布列与数学期望．
试卷第3页，共4页
学科网（北京）股份有限公司18．（本题17分）已知函数 .
(1)证明： 存在唯一的极𝑓𝑓值(𝑥𝑥点)和=唯𝑥𝑥(一1−的l零n𝑥𝑥点) ；
(2)设 的𝑓𝑓(极𝑥𝑥)值点和零点所对应的点分别为 ， ，求证：当 时， 的图象总在直线 的上
方； 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝐴𝐴 𝐵𝐵 𝑥𝑥 ∈(1,e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝐴𝐴𝐵𝐵
(3)若关于 的方程 （a为实数）有两个不相等的实数根 ， ，且 ，求证： .
𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑎𝑎 𝑥𝑥1 𝑥𝑥2 𝑥𝑥1 <𝑥𝑥2 𝑥𝑥2−𝑥𝑥1 >e(1−𝑎𝑎)
19．（本题17分）已知 为坐标原点，椭圆 ： （ ）的右顶点为 ，离心率 ，动点
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦 √3
2 2
， ，𝑂𝑂过 的动直线 交椭圆𝐴𝐴 𝑎𝑎于+，𝑏𝑏 =两1点𝑎𝑎 . >𝑏𝑏 >0 𝐴𝐴(2,0) 𝑒𝑒 = 2
𝐵𝐵(1()𝑡𝑡求,0)的方0<程𝑡𝑡；< 2 𝐵𝐵 𝑙𝑙 𝐴𝐴 𝑃𝑃 𝑄𝑄
(2)若𝐴𝐴 ，求四边形 面积的最大值；
(3)设𝑃𝑃����𝐵𝐵�⃗ =2的 �𝐵𝐵���𝑄𝑄� 面 ⃗ 积为 𝑂𝑂，𝑃𝑃若𝐴𝐴𝑄𝑄 ，且 斜率不为 ，试讨论：是否存在定值 ，
2 1
使 △𝑂𝑂𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 ，若存 |𝑃𝑃在𝑄𝑄| ，+求2出𝑂𝑂����𝑃𝑃�⃗ 的⋅𝑂𝑂� 值 ����𝑄𝑄�⃗ ，=若5不存在𝑃𝑃𝑄𝑄，说明理由± . 2 𝜆𝜆
2 2
|𝑂𝑂𝑃𝑃| +|𝑂𝑂𝑄𝑄| =𝜆𝜆𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂𝑂 𝜆𝜆
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