文档内容
唐山市 2024－2025 学年度高三年级摸底演练
数学参考答案
一．选择题（单选）：
1~4．DCCB 5~8．ABDD
二．选择题（多选）：
9．AD 10．ACD 11．ABC
三．填空题：
3－1 1 3
12．2x－y－2＝0 13． 14． ， （第一空3分，第二空2分）
2 5 7
四．解答题：
15．解：
（1） 3sin2A＋cos2A＝2sin
(
2A＋
π )
＝2，
6
所以sin
(
2A＋
π )
＝1， …2分
6
π π π
又A∈(0，π)，所以2A＋ ＝ ，即A＝ ． …3分
6 2 6
2
由b＝ 2a及正弦定理得sinB＝ 2sinA，所以sinB＝ ， …5分
2
π 3π
可得B＝ 或 ． …6分
4 4
π 7π
（2）因为角B为锐角，所以由（1）知B＝ ，从而可得C＝ ， …7分
4 12
6＋ 2 2－ 6
则sinC＝ ，cosC＝ ． …9分
4 4
设AC边上的高为h，h＝ 2＋ 6，
h h
可得a＝ ＝4，c＝ ＝2 2＋2 6， …11分
sinC sinA
又b＝ 2a＝4 2， …12分
所以△ABC的周长为4＋6 2＋2 6． …13分
16．解：
z
（1）由题意，以AC，AB，AA 所在直线分别为 C 1 A 1
1 G
x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， B
1
则C(3，0，0)，B(0，3，0)，A (0，0，3)，
1
P ( 3 ， 3 ， 3 ) ，G(1，1，3) …2分 P
2 2 2
x
所以
→
PG＝
(
－ 2
1
，－
1
2 ，
3
2
)
，
→
A 1 C＝(3，0，－3)， C
A
Q
Q为AB的中点，
→
A 1 Q＝
(
0， 2
3
，－3
)
， …4分 y B
高三数学答案 第1页（共4页）
{#{QQABLYSQggiIAJAAARhCQw06CkOQkAEACSgGRBAEoAAAARNABAA=}#}设平面A CQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，则
1
n·
→
A C＝0，
1 取n＝(1，2，1)． …6分
→
n·A Q＝0，
1
→ 1 1 3 →
所以PG·n＝－ ×1－ ×2＋ ×1＝0，即PG⊥n，
2 2 2
故PG∥平面A CQ． …8分
1
（2）依题意，设AQ＝a，0＜a＜3，则Q(0，a，0)，
n·
→
A C＝0，
1 取n＝(a，3，a)． …10分
→
n·A Q＝0，
1
设直线PG与平面A CQ所成的角为θ，
1
→ 2
|
a－
3 |
→ |n·PG| 2
则sinθ＝|cosPG，n|＝ ＝ ， …13分
→ 11 2a2＋9
|n||PG|
2
|
a－
3 |
2 33 3
由题意， ＝ ，解得a＝ 或3（舍）． …15分
11 2a2＋9 33 5
17．解：
（1）将P(2，2 2)代入抛物线方程，可得p＝2 ，即C的方程为y2＝4x． …2分
所以F(1，0)． …4分
因此，直线l的方程为2 2x－y－2 2＝0． …6分
y －y 4
1 2
（2）设A(x ，y )，B(x ，y )，则k ＝ ＝ ． …8分
1 1 2 2 AB x －x y ＋y
1 2 1 2
直线PA：y－2 2＝k(x－2)，则直线PB：y－2 2＝－k(x－2)， …9分
4 8 2
将PA方程代入y2＝4x，得y2－ y＋ －8＝0，
k k
4 4
所以y ＋2 2＝ ，即y ＝ －2 2，
1 k 1 k
4
同理，y ＝－ －2 2，故y ＋y ＝－4 2． …11分
2 k 1 2
1 4
又PA⊥AB，所以k ＝－ ＝ ，解得k＝ 2． …13分
AB k －4 2
因此A(0，0)，B(8，－4 2)，
从而可得|PA|＝2 3，|AB|＝4 6，
1
于是，S ＝ ×|PA|×|AB|＝12 2． …15分
△PAB 2
18．解：
（1）证明：由已知a －5a ＋6a ＝0，
n＋2 n＋1 n
得a －2a ＝3a －6a 及a －3a ＝2a －6a …2分
n＋2 n＋1 n＋1 n n＋2 n＋1 n＋1 n
故a －2a ＝3(a －2a )及a －3a ＝2(a －3a ) …4分
n＋2 n＋1 n＋1 n n＋2 n＋1 n＋1 n
高三数学答案 第2页（共4页）
{#{QQABLYSQggiIAJAAARhCQw06CkOQkAEACSgGRBAEoAAAARNABAA=}#}a －2a ＝－1，a －3a ＝－2， …6分
2 1 2 1
{a －2a }是以－1为首项，3为公比的等比数列；
n＋1 n
{a －3a }是以－2为首项，2为公比的等比数列． …7分
n＋1 n
（2）由（1）知：
{a －2a }是以－1为首项，3为公比的等比数列，于是a －2a ＝－3n－1；
n＋1 n n＋1 n
…9分
{a －3a }是以－2为首项，2为公比的等比数列，于是a －3a ＝－2n．
n＋1 n n＋1 n
…11分
a －2a ＝－3n－1，
联立 n＋1 n 解得a ＝2n－3n－1． …12分
a
n＋1
－3a
n
＝－2n， n
（3）S ＝a ＋a ＋a ＋…＋a
n 1 2 3 n
＝(21＋22＋23…＋2n)－(30＋31＋32…＋3n－1) …14分
21－2n×2 30－3n－1×3
＝ － …16分
1－2 1－3
2n＋2－3n－3
＝ ． …17分
2
19．解：
（1）函数f(x)定义域为{x|x≠1}，
(2x2－3x)ex
f(x)＝ ． …2分
(x－1)2
3 3
当x＜0或x＞ 时，f(x)＞0；当0＜x＜ 且x≠1时，f(x)＜0， …4分
2 2
所以f(x)在(－∞，0)，
( 3
，＋∞
)
上单调递增，
2
在(0，1)，
(
1，
3 )
上单调递减． …6分
2
（2）f
( 3 )
＝4e
3
2 ，f(0)＝1，f(－1)＝
3
，
2 2e
由（1）得，x＞1时，f(x)≥f
( 3 )
＝4e 2
3
＞2． …8分
2
所以，满足题设的x ＝0，即f(－1)≤a＜f(0)，
0
3
故 ≤a＜1． …10分
2e
e
（3）存在，且m＝ ． …11分
2
m(5x2－4x＋1) (2x－1)ex m(5x2－4x＋1)
证明：由f(x)＞ 得： ＞ ，
x－1 x－1 x－1
又5x2－4x＋1＞0，
(2x－1)ex
所以，当x＜1时，m＞ ；
5x2－4x＋1
高三数学答案 第3页（共4页）
{#{QQABLYSQggiIAJAAARhCQw06CkOQkAEACSgGRBAEoAAAARNABAA=}#}(2x－1)ex
当x＞1时，m＜ ． …12分
5x2－4x＋1
(2x－1)ex (x－1)2(10x－3)ex
令g(x)＝ ，所以g(x)＝ ， …13分
5x2－4x＋1 (5x2－4x＋1)2
3
所以，当x＜ 时，g(x)＜0，g(x)单调递减，
10
3
当x＞ 时，g(x)≥0，g(x)单调递增， …15分
10
1 e
又x＜ 时，g(x)＜0，g(1)＝ ，
2 2
因此，当x＜1时，m≥g(1)；当x＞1时，m≤g(1)，
e
所以m＝g(1)＝ ． …17分
2
高三数学答案 第4页（共4页）
{#{QQABLYSQggiIAJAAARhCQw06CkOQkAEACSgGRBAEoAAAARNABAA=}#}
