2026-2027 学年高三（上）开学考试试题
数学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上
无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的
四个选项中，只有一项符合题目要求。
1.若复数 ，则 的实部为
3−i
A. B. C. D.
𝑧𝑧 =1+i 𝑧𝑧⃐
2.设全集 −1 1，集合 2 ，集合 3 ，则
∗ 2
𝑈𝑈 ={𝑥𝑥 ∈𝐍𝐍 ∣1⩽𝑥𝑥 ⩽10} 𝐴𝐴={𝑥𝑥 ∣𝑥𝑥 −9𝑥𝑥+14<0} 𝐵𝐵 ={4,5,6,7}
A. B. C. D.
(∁𝑈𝑈𝐴𝐴)∩𝐵𝐵 =
3.已知随机{变7}量 ，且{5,6} ，则{4,5,6,7} ∅
A. 2 B. C. 7 D. 8
𝑌𝑌 ∼𝑁𝑁(2,𝜎𝜎 ) 𝑃𝑃(𝑌𝑌<1)+𝑃𝑃(𝑌𝑌>3)=0.4 𝑃𝑃(𝑌𝑌 ⩽3)=
4.已知圆柱0的.3轴截面为正方形，其0外.6接球表面积是圆柱侧0.面积的 0.
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
√2 3
5.正项等比2数列 满足 ，则 √2 2 2
A. 𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑎𝑎4𝑎𝑎6 =2 B 𝑎𝑎 . 7 𝑎𝑎3 = C. D.
6.在三棱锥√2 中， 平面2 ， ， 2√2 ， ，则该三棱锥4外接球的表
面积为
𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴=𝐴𝐴𝐵𝐵 =2 𝐵𝐵𝐴𝐴 =3
A. B. C.
D.
13𝜋𝜋 14𝜋𝜋 17𝜋𝜋
7.定义平面1向8𝜋𝜋量 “反射变换”：若入射向量 ，关于直线 反射后的向量 。
设向量 ， 是 经反射变换得到
𝒎𝒎
的
=
向
(
量
𝑥𝑥0
，
,𝑦𝑦
若
0)
向量 满足
𝑦𝑦 =𝑥𝑥
，则
𝒎𝒎
的′最
=
大
(𝑦𝑦
值
0,𝑥𝑥
为
0)
A. B. C. D.
𝒂𝒂=(1,−2) 𝒃𝒃 𝒂𝒂 𝒄𝒄 |𝒄𝒄|=2 (𝒂𝒂+𝒃𝒃)⋅𝒄𝒄
8.袋中有 32 个√2外观相同的盒子，第2√个5盒子装有 1 个黑球、 个白6球。从每个盒子各取一10球，记取
出黑球的个数为 ，则
𝑘𝑘 𝑘𝑘
A. B. C. D.
𝑋𝑋 𝐸𝐸(𝑋𝑋)=
13 13 11 1
24 12 24 2
学科网（北京）股份有限公司二、多项选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分。在每小题给出的
选项中，有多项符合题目要求。全部选对得 6 分，部分选对得部分分，有选
错得 0 分。
9.统计某门店一周内每日线下到店人数： ，下列结论正确的是
A. 该组数据极差为 B. 该组数据平均数等于
22,18,25,14,20,23,16
C. 该组数据中位数为 D. 去掉最大值后，方差变小
11 20
10.已知点 在抛物线 20 上，圆 与抛物线 恰有两个
公共点，则 2 2 2 2
𝑀𝑀(2,1) 𝐴𝐴:𝑦𝑦 =2𝑝𝑝𝑥𝑥(𝑝𝑝>0) Γ:(𝑥𝑥−𝑡𝑡) +𝑦𝑦 =𝑟𝑟 (𝑟𝑟 >0) 𝐴𝐴
A. B. 若 在圆 上，则
1 2 2
C. 𝑝𝑝=4 D. 若 𝑀𝑀 在圆 Γ 上，则 𝑟𝑟 =𝑡𝑡 −4𝑡𝑡+ 5
9 √17
11.定义在𝑡𝑡上>的2 奇函数 满足： 时, 𝑀𝑀 Γ ；且 𝑡𝑡 =4,𝑟𝑟 = ， 4
均为奇函数𝐑𝐑，则下列说法𝑓𝑓(正𝑥𝑥),确𝑔𝑔(的𝑥𝑥)是 𝑥𝑥 ∈(0,1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑥𝑥 𝑓𝑓(𝑥𝑥+1)−1 𝑔𝑔(𝑥𝑥+1)+1
A.
𝑓𝑓(5)−𝑓𝑓(1) = 2
B.
9 7 63
C.𝑔𝑔(4)∙𝑔𝑔(−4)= − 16
D. 对任意 恒成立
𝑓𝑓(1)+𝑔𝑔(−1)=2
|𝑓𝑓(𝑥𝑥)|⩽|𝑔𝑔(𝑥𝑥)| 𝑥𝑥 ∈𝐑𝐑
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.现有 5 本不同的练习册全部分给甲、乙两名同学，要求每人至少分到 1 本练习册，则不同的分
配方法共有_____种。
13. 椭圆 左右焦点 ， 为椭圆上动点，延长 至 使 ， 为 中点，且
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
1则6+49 =1 𝐹𝐹_1_,𝐹𝐹_2___𝑃𝑃。 𝑃𝑃𝐹𝐹1 𝑄𝑄 |𝑃𝑃𝑄𝑄|=|𝑃𝑃𝐹𝐹2| 𝑁𝑁 𝑄𝑄𝐹𝐹2
|1𝑂𝑂4𝑁𝑁. |函=数2, |𝑃𝑃𝐹𝐹1|+3|𝑃𝑃𝐹𝐹2|=， 恰好有 2 个极值点、3 个零点，则 的取值范围为______。
𝜋𝜋
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=sin (𝜔𝜔𝑥𝑥−6) 𝑥𝑥 ∈(0,2𝜋𝜋] 𝜔𝜔
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤。
15.（13 分）
内角 对边 ，已知 。
(1) 求角 ；
△𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴,𝐵𝐵,𝐴𝐴 𝑎𝑎,𝑏𝑏,𝑐𝑐 𝑎𝑎sin 𝐴𝐴 =√3𝑐𝑐cos 𝐴𝐴
(2) 若 ， 面积最大值为 ，求 。
𝐴𝐴
𝑏𝑏+𝑐𝑐 =4 △𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 √3 𝑎𝑎
16.（15 分）
已知等差数列 公差 ，等比数列 公比 ， ， ， 。
{𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑑𝑑 >0 {𝑏𝑏𝑛𝑛} 𝑞𝑞 >1 𝑎𝑎1 =𝑏𝑏1 =1 𝑎𝑎3 =𝑏𝑏3 𝑎𝑎7 =𝑏𝑏5
学科网（北京）股份有限公司(1) 求 通项公式；
(2) 设 𝑎𝑎𝑛𝑛,𝑏𝑏𝑛𝑛 ，求 前 项和 ；
(3) 若 𝑐𝑐 对 𝑛𝑛 任 = 意 𝑎𝑎𝑛𝑛⋅𝑏𝑏𝑛𝑛 ， 𝑐𝑐𝑛𝑛 𝑛𝑛 恒成 𝑇𝑇 立 𝑛𝑛 ，求实数 最大值。
∗
𝑛𝑛 ∈𝐍𝐍 𝑇𝑇𝑛𝑛 ⩾𝑚𝑚 𝑚𝑚
17.（ 15 分）
已知函数 。
(1) 若 存在两个极值点2 ，求证： ；
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥ln 𝑥𝑥−𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑥𝑥(𝑎𝑎∈𝐑𝐑)
2
(2) 若 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ，且 恒成 𝑥𝑥1, 立 𝑥𝑥2，求整数 𝑥𝑥 的1𝑥𝑥 最2 > 小 e 值。
1
𝑎𝑎 >2 𝑓𝑓(𝑥𝑥)⩽0 𝑎𝑎
18.（17 分）
双曲线 左顶点 ， 为双曲线右支第一象限点， 关于 轴对称。
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
𝐴𝐴: 4 −12 =1 𝐴𝐴 𝑃𝑃 𝑃𝑃,𝑄𝑄 𝑥𝑥
学科网（北京）股份有限公司(1) 若 ，求 面积；
(2) 设 ，直线 交 于点 。
|𝑃𝑃𝑄𝑄|=6 △𝐴𝐴𝑃𝑃𝑄𝑄
(ⅰ) 用
𝑀𝑀(𝑠𝑠,0
表
)(
示
𝑠𝑠>
点
0)
横
,𝑁𝑁
坐
(𝑡𝑡
标
,0)
；
(𝑡𝑡 <0) 𝑀𝑀𝑄𝑄 𝐴𝐴𝑃𝑃 𝐷𝐷(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0)
(ⅱ) 证
𝑥𝑥
明
0,
：
𝑠𝑠
存在定
𝑃𝑃
点 ，使得 始终平分 。
𝑀𝑀,𝑁𝑁 𝐷𝐷𝐴𝐴 ∠𝑀𝑀𝐷𝐷𝑁𝑁
19.（17 分）
设数列 各项为正整数，对任意正整数 ，定义集合
(1) {𝑥𝑥 ， 𝑛𝑛} 数列仅 4 项且 𝑘𝑘 ，直接写出 𝐻𝐻{ 集 𝑥𝑥𝑛𝑛合 } ={𝑖𝑖 ∈ ； 𝐍𝐍 ∗ ∣𝑥𝑥𝑖𝑖+1 =𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖 +𝑘𝑘}.
(2) 𝑘𝑘 若 =2 （ 为给定正 𝑥𝑥 整 𝑖𝑖 = 数 2 ） 𝑖𝑖( ， 𝑖𝑖 = 存 1 在 ,2,3 使 ,4) 得 ，求正 𝐻𝐻 整 {𝑥𝑥 数𝑛𝑛} ；
(3) 若 𝑥𝑥 数𝑛𝑛列 = 有 𝑠𝑠𝑛𝑛 无穷 𝑠𝑠 多项，且对任意 ， 𝑖𝑖 均有 𝑖𝑖 ∈𝐻𝐻{𝑥𝑥𝑛𝑛} 。 𝑘𝑘
(ⅰ) 求证： ； 𝑖𝑖 ∈𝐍𝐍 ∗ 𝑖𝑖 ∈𝐻𝐻{𝑥𝑥𝑛𝑛}
(ⅱ) 求 前
𝑥𝑥1
项
=
和
1
。
𝑥𝑥𝑛𝑛 𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛
学科网（北京）股份有限公司参考答案与解析
一、单项选择题
1.答案：C
解析：
2
3−i (3−i)(1−i) 3−3i−i+i 2−4i
共轭复
𝑧𝑧
数
=1+i=(1+
，
i)(1
复
−i)
数
= 2
实部
=
为
2
，
=
故
1
实
−2
部
i
为 。
2.答案：A𝑧𝑧⃐ =1+2i 𝑎𝑎+𝑏𝑏i 𝑎𝑎 𝑧𝑧⃐ 2
解析：全集
解不等式 ∗ ，正整数解
𝑈𝑈 ={𝑥𝑥 ∈𝐍𝐍 ∣1⩽𝑥𝑥 ⩽10}={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
补集 2 ，
𝑥𝑥 −9𝑥𝑥+14<0⟹(𝑥𝑥−2)(𝑥𝑥−7)<0⟹2<𝑥𝑥 <7 𝐴𝐴={3,4,5,6}
交集 ∁𝑈𝑈𝐴𝐴={1,2,7,8,9 ， ,10 答 } 案 𝐵𝐵 选 = A {4 。 ,5 ,6,7}
3.答案(∁：𝑈𝑈𝐴𝐴D) ∩𝐵𝐵 ={7}
解析： ，正态曲线关于 对称，故 。
由 2 ，得 。
𝑌𝑌 ∼𝑁𝑁(2,𝜎𝜎 ) 𝑌𝑌 =2 𝑃𝑃(𝑌𝑌<1)=𝑃𝑃(𝑌𝑌 >3)
，所以，答案选D。
𝑃𝑃(𝑌𝑌 <1)+𝑃𝑃(𝑌𝑌>3)=0.4 2𝑃𝑃(𝑌𝑌>3)=0.4⟹𝑃𝑃(𝑌𝑌>3)=0.2
4𝑃𝑃.(答𝑌𝑌案⩽：3)D= 1−𝑃𝑃(𝑌𝑌 >3)=1−0.2=0.8
解析：设圆柱底面半径 ，轴截面为正方形，则高 。
外接球直径等于轴截面对角线： 。
𝑟𝑟 ℎ =2𝑟𝑟
球表面积： 2 2
球 2𝑅𝑅 =�(2𝑟𝑟) +(2𝑟𝑟) =2√2𝑟𝑟 ⟹𝑅𝑅 =√2𝑟𝑟
2 2 2
圆柱侧面积：
𝑆𝑆 =侧 4𝜋𝜋𝑅𝑅 =4𝜋𝜋⋅2𝑟𝑟 =8𝜋𝜋𝑟𝑟
2
比值 ，𝑆𝑆答案=选2𝜋𝜋 𝑟𝑟D⋅。2𝑟𝑟 =4𝜋𝜋𝑟𝑟
2
8𝜋𝜋𝑟𝑟
2
5.答案4𝜋𝜋：𝑟𝑟 B= 2
解析：正项等比数列： ，条件 。设公比 ， ，代入得：
2 2 2
𝑎𝑎4𝑎𝑎6 =𝑎𝑎5 𝑎𝑎5 =2𝑎𝑎7 𝑞𝑞 >0 𝑎𝑎7 =𝑎𝑎5𝑞𝑞
2 2，故答案选2B。
𝑎𝑎5 =2𝑎𝑎5𝑞𝑞 ⟹𝑎𝑎5 =2𝑞𝑞
𝑎𝑎5
𝑎𝑎
6
3 .答=案𝑞𝑞 2 ：=
C
2
解析： 平面 ， ，三条两两垂直线段 ，可将三棱锥补形为长方体：即以
为长宽高构造长方体，三棱锥 的外接球与长方体外接球完全相同。
𝑃𝑃𝐴𝐴⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴 𝐴𝐴𝐵𝐵 ⊥𝐵𝐵𝐴𝐴 𝑃𝑃𝐴𝐴,𝐴𝐴𝐵𝐵,𝐵𝐵𝐴𝐴
𝐴𝐴所𝐵𝐵以,𝐵𝐵，𝐴𝐴,𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐴𝐴
2 2 2 2 2 2
求得 2𝑅𝑅 = √𝑃𝑃𝐴𝐴 +𝐴𝐴𝐵𝐵 +𝐵𝐵𝐴𝐴 =√2 +2 +3 =√4+4+9=√17
√17
𝑅𝑅 = 2
所以， ，答案选 C。
2
2 √17 17
𝑆𝑆 =4𝜋𝜋𝑅𝑅 =4𝜋𝜋⋅� 2 � =4𝜋𝜋⋅ 4 =17𝜋𝜋
学科网（北京）股份有限公司7.答案：A
解析：反射变换： ， 。
数量积公式： ， 为两向量夹角。
𝒂𝒂=(1,−2)⟹𝒃𝒃=(−2,1) 𝒂𝒂+𝒃𝒃=(−1,−1)
， ， 。
(𝒂𝒂+𝒃𝒃)⋅𝒄𝒄=|𝒂𝒂+𝒃𝒃|⋅|𝒄𝒄|cos 𝜃𝜃 𝜃𝜃
| 最 𝒂𝒂 大 + 值 𝒃𝒃| ： =�(−1) 2 +(−1 ， ) 2答 = 案 √ 选 2 A |𝒄𝒄 。 | =2 cos 𝜃𝜃𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 =1
8.答案：B√ 2×2=2√2
解析：记第 个盒子中取出黑球的概率为 第 个盒子中取出白球的概率为 。
盒 1： 𝑘𝑘 ；盒 2： 𝑝𝑝 ；𝑘𝑘, 盒 𝑘𝑘 3： 。 𝑞𝑞𝑘𝑘
1 1 1 2 1 3
取值分 𝑝𝑝1 =2,𝑞𝑞 、1 =2 、 𝑝𝑝2、 =3,𝑞𝑞2 四 =3 类： 𝑝𝑝3 =4,𝑞𝑞3 =4
𝑋𝑋 𝑋𝑋 =0 𝑋𝑋 =1 𝑋𝑋 = 2 𝑋𝑋 = 3
；
1 2 3 6
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0)= × × =
2 3 4 24
1 2 3 1 1 3 1 2 1 11
𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 1)= × × + × × + × × = ;
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1 1 1 1 2 1 1 1 3 6
𝑃𝑃(𝑋𝑋 =2)= × × + × × + × × = ;
2 3 4 2 3 4 2 3 4 24
1 1 1 1
𝑃𝑃(𝑋𝑋 =3)= × × = ;
所以， 2 3 4 24 答案选B。
6 11 6 1 26 13
𝐸𝐸(𝑋𝑋) = 0×24+1×24+2×24+3×24= 24 = 12,
二、多项选择题
9.答案：ACD
解析：数据排序： ，共 7 个数据。
A：极差 ，正确；
14,16,18,20,22,23,25
B：平均数 ，错误；
25−14=11
14+16+18+20+22+23+25 138
C：7 个数中位数为第 4 项 ，正确；
𝑥𝑥 = 7 = 7 ≠20
D：最大值 偏离均值最远，去掉后数据离散程度降低，方差变小，正确。
20
10.答案：A2B5D
解析：
A： 代入抛物线得 ，A 正确；
1
B：将 代入圆方程： ，
𝑀𝑀(2,1) 1=4𝑝𝑝⇒𝑝𝑝=4
2 2 2 2
(2,1) (2−𝑡𝑡) +1=𝑟𝑟 ⟹𝑟𝑟 =𝑡𝑡 −4𝑡𝑡+5
因为 ，我们来研究上半部分，则有 ，求导，得
2 𝑥𝑥 𝑥𝑥 1
𝑦𝑦 = 2 𝑦𝑦 = �2 𝑦𝑦 = 2√2𝑥𝑥,
时,抛物线斜率为 ，
1
所𝑥𝑥 =以2，此时ℸ 斜率为4 ，
𝑀𝑀 −4
学科网（北京）股份有限公司由于 ,所以，圆心ℸ ,B和D正确；
9 9 √17
C：根据选项B的求解过程可以发现： 可以小于 ，C 错误；
𝑀𝑀(2,1) (4,0),𝑡𝑡 = 4,𝑟𝑟 = 4
11.答案：BC 𝑡𝑡 2
解析：
推导核心性质：
为 奇函数： ；
𝑓𝑓(𝑥𝑥),𝑔𝑔(𝑥𝑥) 𝐑𝐑为奇函数 𝑓𝑓(−𝑥𝑥)=−𝑓𝑓(𝑥𝑥),𝑔𝑔(−𝑥𝑥)=−；𝑔𝑔 (𝑥𝑥)
𝑓𝑓(𝑥𝑥+1)−1为奇函数⟹𝑓𝑓(1−𝑥𝑥)+𝑓𝑓(1+𝑥𝑥)=2 ；
𝑔𝑔(𝑥𝑥+1)时+1 ⟹𝑔𝑔(。1− 𝑥𝑥)+𝑔𝑔(1+𝑥𝑥)=−2
A：因为 ，
𝑥𝑥 ∈(0,1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑔𝑔(𝑥𝑥)=𝑥𝑥
所以， 𝑓𝑓(−𝑥𝑥)=−𝑓𝑓(𝑥𝑥),𝑓𝑓(1−𝑥𝑥)+𝑓𝑓(1+𝑥𝑥)=2
𝑓𝑓(𝑥𝑥+1)−𝑓𝑓,(选𝑥𝑥项−1A)错=误2 ⟹； 𝑓𝑓(3)−𝑓𝑓(1)= 2,𝑓𝑓(5)−𝑓𝑓(3) = 2
B：因为 ， ，
⟹ 𝑓𝑓(5)−𝑓𝑓(1)= 4
所以， 𝑔𝑔(1−𝑥𝑥)+𝑔𝑔(1+𝑥𝑥)= −,2 𝑓𝑓(−𝑥𝑥) = −𝑓𝑓(𝑥𝑥)
又因为𝑔𝑔(𝑥𝑥+1)时−𝑔𝑔(𝑥𝑥−1)= −2 ，故
1 1
取
𝑥𝑥
则
∈
有
(0,1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥 𝑔𝑔(4)= 4,
5 9 1 9 1 7
取
𝑥𝑥 = 4,
则有
𝑔𝑔(4)−𝑔𝑔(4)= −2⟹ 𝑔𝑔(4)= −2+𝑔𝑔(4)= −4,
3 1 7 7 1 9
所
𝑥𝑥
以
=
，
−4, 𝑔𝑔(4)−𝑔𝑔(−4选 )=
项
−
B
2
正
⟹
确
𝑔𝑔
；
(− 4)= 2+𝑔𝑔(4)= 4,
9 7 63
C：
𝑔𝑔(4)∙𝑔𝑔(−4)= −16,
𝑓𝑓(1−𝑥𝑥)+𝑓𝑓(1+𝑥𝑥)=2,𝑔𝑔(1−𝑥𝑥)+𝑔𝑔(1+𝑥𝑥)=−2⟹𝑓𝑓(1)=1,𝑔𝑔(1)=−1 ，选项C正确。
𝑓𝑓D(：−𝑥𝑥举)反=例−𝑓𝑓，(𝑥𝑥取),𝑔𝑔(−𝑥𝑥)=，−𝑔𝑔(𝑥𝑥)⟹𝑓𝑓(−1，)=不−等1式,𝑔𝑔(不−恒1)成=立1，⟹选𝑓𝑓(项1)D+错𝑔𝑔(误−1；) =2
𝑥𝑥 =2.1 |𝑓𝑓(𝑥𝑥)|>|𝑔𝑔(𝑥𝑥)|
三、填空题
12.答案：30
解析：
方法 1：排除法
每本书 2 种分配选择，总分配方式 种；
减去全给甲、全给乙 2 种不符合条件5的分法： 。
2 =32
方法 2：分类组合 。
32−2=30
1 2 3 4
C5+C5 +C5 +C5 =5+10+10+5=30
13. 答案：
解析：椭圆26 ，根据定义 。
𝑎𝑎 =4,𝑏𝑏 =3 |𝑃𝑃𝐹𝐹1|+|𝑃𝑃𝐹𝐹2|=8
学科网（北京）股份有限公司。
|𝑃𝑃 、 𝑄𝑄|= 分 | 别 𝑃𝑃𝐹𝐹 为2|⟹| 、 𝑄𝑄𝐹𝐹1|= 中 |𝑃𝑃 点 𝑄𝑄 ， |−|𝑃𝑃 是 𝐹𝐹1|=|𝑃𝑃𝐹𝐹2| 中 − 位 |𝑃𝑃 线 𝐹𝐹1： | 。
1 |𝑃𝑃𝐹𝐹2|−|𝑃𝑃𝐹𝐹1|
𝑂𝑂 所以 𝑁𝑁 ， 𝐹𝐹1𝐹𝐹2 𝑄𝑄𝐹𝐹2 𝑂𝑂 4 𝑁𝑁 △𝑄𝑄𝐹𝐹1𝐹𝐹2 。 | 𝑂𝑂𝑁𝑁|=2|𝑄𝑄𝐹𝐹1|= 2 =2
|𝑃𝑃𝐹𝐹1|=2,|𝑃𝑃𝐹𝐹2|=6⟹ |𝑃𝑃𝐹𝐹1|+3|𝑃𝑃𝐹𝐹2|=26
14. 答案：
13 4
解析：令
[12,3)
， 。
𝜋𝜋 𝜋𝜋 𝜋𝜋
恰好 2个极值点、3 个零点，结合正弦函数图像临界点列不等式：
𝑡𝑡 =𝜔𝜔𝑥𝑥−6 𝑥𝑥 ∈(0,2𝜋𝜋]⟹𝑡𝑡 ∈�−6,2𝜔𝜔𝜋𝜋−6�
𝜋𝜋 5𝜋𝜋
2化𝜋𝜋简≤：2𝜔𝜔𝜋𝜋− < 。
6 2
13 4
12≤12𝜔𝜔−1<15⟹12≤𝜔𝜔 <3
四、解答题
15.（13 分）
(1) 求
由正弦定理 ，代入条件 ：
𝐴𝐴
𝑎𝑎sin 𝐴𝐴 =𝑐𝑐sin 𝐴𝐴 𝑎𝑎sin 𝐴𝐴 =√3𝑐𝑐cos 𝐴𝐴
，约去得 ， 。
𝑐𝑐sin 𝐴𝐴=√3𝑐𝑐cos 𝐴𝐴
，故 。
𝑐𝑐 >0 sin 𝐴𝐴=√3cos 𝐴𝐴 tan 𝐴𝐴=√3
𝜋𝜋
𝐴𝐴(2∈) 求(0,𝜋𝜋 ) 𝐴𝐴 = 3
面积公𝑎𝑎式： 。
1 𝜋𝜋 √3
，均
𝑆𝑆 =
值
2
不
𝑏𝑏𝑐𝑐
等
si
式
n 3 = 4 𝑏𝑏𝑐𝑐 ⩽√3⟹𝑏𝑏𝑐𝑐 ⩽4
，等号当且仅当 。
余弦定理：
𝑏𝑏+𝑐𝑐 =4 𝑏𝑏+𝑐𝑐 ⩾2√𝑏𝑏𝑐𝑐 ⟹𝑏𝑏𝑐𝑐 ⩽4 𝑏𝑏 =𝑐𝑐 =2
2 ，2故 2 。 2
𝑎𝑎 =𝑏𝑏 +𝑐𝑐 −2𝑏𝑏𝑐𝑐cos 𝐴𝐴 =(𝑏𝑏+𝑐𝑐) −3𝑏𝑏𝑐𝑐 =16−12=4
𝑎𝑎 >0 𝑎𝑎 =2
16.（15 分）
(1) 求通项
， ，条件
2
𝑛𝑛−1 1+2𝑑𝑑 =𝑞𝑞
𝑎𝑎代 𝑛𝑛 入=得1+(𝑛𝑛−1)𝑑𝑑 𝑏𝑏𝑛𝑛 =𝑞𝑞 � ， 4 ， 。
1+6𝑑𝑑 =𝑞𝑞
2 2 1 2
1+6𝑑𝑑 =(1+2𝑑𝑑) ⟹4𝑑𝑑 −2𝑑𝑑 =0 𝑑𝑑 >0⟹𝑑𝑑 =2 𝑞𝑞 =2,𝑞𝑞 =√2
𝑛𝑛+1 𝑛𝑛−1
𝑎𝑎
(2
𝑛𝑛
)
=错位相减,𝑏𝑏𝑛𝑛 求=( √2)
2
𝑇𝑇𝑛𝑛
𝑛𝑛+1 𝑛𝑛−1
𝑐𝑐𝑛𝑛 = ⋅(√2)
2
1 0 1 𝑛𝑛−1
𝑇𝑇𝑛𝑛 = �2⋅(√2) +3⋅(√2) +⋯+(𝑛𝑛+1)(√2) �
2
1 1 𝑛𝑛−1 𝑛𝑛
√2𝑇𝑇𝑛𝑛 = �2⋅(√2) +⋯+𝑛𝑛(√2) +(𝑛𝑛+1)(√2) �
学科网（北京）股份有限公司 2两式相减：
𝑛𝑛−1
1 𝑘𝑘 𝑛𝑛
(1−√2)𝑇𝑇𝑛𝑛 = �2+�(√2) −(𝑛𝑛+1)(√2) �
等比数列求和2 𝑘𝑘=1 ，代入整理、有理化分母即可得到 显式表达式。
𝑛𝑛−1 𝑛𝑛
𝑘𝑘 (√2) −√2
(3) 恒成立求
�
最𝑘𝑘大=1值
(√ 2) = √2−1 𝑇𝑇𝑛𝑛
，故 严格单调递增，最小值 。
𝑚𝑚
𝑐𝑐𝑛𝑛 >0
对所
𝑇𝑇
有
𝑛𝑛
恒成立 ，故
𝑇𝑇1 =𝑎𝑎1𝑏𝑏1
。
= 1
𝑇𝑇𝑛𝑛 ⩾𝑚𝑚 𝑛𝑛 ⟺𝑚𝑚 ⩽1 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 =1
17.（15 分）
函数 ，定义域 。
2
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥ln 𝑥𝑥−𝑎𝑎𝑥𝑥 +𝑥𝑥 𝑥𝑥 >0
(1) 求证：若 有两个极值点 ，则
2
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 𝑥𝑥 1𝑥𝑥2 > e
′ 有两个极值点 ，等价于方程 有两个不等正根：
𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=ln 𝑥𝑥+1−2𝑎𝑎𝑥𝑥+1=ln 𝑥𝑥−2𝑎𝑎𝑥𝑥+2
′
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=0
ln 𝑥𝑥+2
l令n 𝑥𝑥−2𝑎𝑎𝑥𝑥+2=0⟹2，𝑎𝑎则= 与 图像有两个交点，横坐标为 ，不妨设 。
𝑥𝑥
ln 𝑥𝑥+2
由𝑔𝑔根(𝑥𝑥满)足=方𝑥𝑥程：(𝑥𝑥 >0) 𝑦𝑦=2𝑎𝑎 𝑔𝑔( 𝑥𝑥) 𝑥𝑥1,𝑥𝑥2 0<𝑥𝑥1 <𝑥𝑥2
ln𝑥𝑥1−2𝑎𝑎𝑥𝑥1+2 = 0
�
两式变形： ln𝑥𝑥2−2𝑎𝑎𝑥𝑥2+2 = 0
相加：
ln 𝑥𝑥1 =2𝑎𝑎𝑥𝑥1−2,ln 𝑥𝑥2 =2𝑎𝑎𝑥𝑥2−2
相减： ln 𝑥𝑥1+ln 𝑥𝑥2 =2𝑎𝑎(𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)−4⟹ln (𝑥𝑥1𝑥𝑥2)=2𝑎𝑎 (𝑥𝑥1+𝑥𝑥2)−4(1)
ln 𝑥𝑥2−ln 𝑥𝑥1
将 (2) 代ln入 𝑥𝑥2 (−1)ln： 𝑥𝑥1 =2𝑎𝑎(𝑥𝑥2−𝑥𝑥1)⟹2𝑎𝑎= 𝑥𝑥2−𝑥𝑥1 (2)
𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 𝑥𝑥2
令 ，则ln (𝑥𝑥1𝑥𝑥2)，=代 𝑥𝑥2入 −𝑥𝑥1上ln式 𝑥𝑥1：− 4
𝑥𝑥2
𝑡𝑡 =𝑥𝑥1 >1 𝑥𝑥2 =𝑡𝑡𝑥𝑥1
𝑥𝑥1+𝑡𝑡𝑥𝑥1
ln(𝑥𝑥1∙𝑡𝑡𝑥𝑥1)= ∙ln𝑡𝑡−4
𝑡𝑡𝑥𝑥1−𝑥𝑥1
𝑡𝑡+1
ln𝑡𝑡+2ln𝑥𝑥1 = ∙ln𝑡𝑡−4
目标证
𝑡𝑡−1
2 𝑡𝑡+1
即只需𝑥𝑥证1𝑥𝑥明2：>e ⟺时ln， (𝑥𝑥1𝑥𝑥2)>2⟺𝑡𝑡−1ln 𝑡𝑡−4>。2
𝑡𝑡+1 6(𝑡𝑡−1)
令 𝑡𝑡 >1 𝑡𝑡−1l，n 𝑡𝑡求>导6：⟺ln 𝑡𝑡 > 𝑡𝑡+1
2
6(𝑡𝑡−1) ′ 𝑡𝑡 −10𝑡𝑡+1
ℎ(𝑡𝑡 ， )= 分 l 母 n 𝑡𝑡 恒 − 正 𝑡𝑡 ； +1 分 ( 子 𝑡𝑡 >1) 在 ℎ (𝑡𝑡)= 𝑡𝑡(𝑡𝑡+1时) 2 为正， 为负。
2
； 时 ； 在 递减， 递增。
𝑡𝑡 >1 𝑡𝑡 −10𝑡𝑡+1 𝑡𝑡 >5+2√6 1<𝑡𝑡 <5+2√6
计算极小值 ，故 时 恒成立。
ℎ(1)=ln 1−0=0 𝑡𝑡 →+∞ ℎ(𝑡𝑡)→+∞ ℎ(𝑡𝑡) (1,5+2√6) (5+2√6,+∞)
ℎ(5+2√6)>0 𝑡𝑡 >1 ℎ(𝑡𝑡 )>0
𝑡𝑡+1 2
命题得 ln 证 𝑡𝑡 > 。 6 ⟹ln (𝑥𝑥1𝑥𝑥2)>2⟹𝑥𝑥1𝑥𝑥2 >e
𝑡𝑡−1
学科网（北京）股份有限公司(2) ， 对 恒成立，求整数 最小值
1
𝑎𝑎 > 2 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ⩽ 0 𝑥𝑥 > 0 𝑎𝑎 。
2 ln 𝑥𝑥+1
𝑓𝑓令(𝑥𝑥)⩽0,∀𝑥𝑥 >0⟺𝑥𝑥ln， 𝑥𝑥问−题𝑎𝑎𝑥𝑥转+化𝑥𝑥为⩽求0⟺𝑎𝑎 ⩾，
𝑥𝑥
大(于∀𝑥𝑥等>于0最) 大值。
ln 𝑥𝑥+1
𝜑𝜑(𝑥𝑥)= 𝑥𝑥 (𝑥𝑥 >0) 𝜑𝜑(𝑥𝑥)𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 𝑎𝑎
1
′ ⋅𝑥𝑥−(ln 𝑥𝑥+1)⋅1 1−ln 𝑥𝑥−1 −ln 𝑥𝑥
𝑥𝑥
𝜑𝜑当(𝑥𝑥)= ： 2 = ， 2 =单调递 2 增；
𝑥𝑥 𝑥𝑥 𝑥𝑥
′
当0<𝑥𝑥：<1 ln 𝑥𝑥 <0⟹𝜑𝜑 (𝑥𝑥)，>0 𝜑𝜑单(𝑥𝑥调)递减。
′
𝑥𝑥 >
时
1 ln 𝑥𝑥
取
>
极
0
大
⟹
值
𝜑𝜑
，
(
也
𝑥𝑥)
是
<
全
0
局
𝜑𝜑
最
(
大
𝑥𝑥)
值：
ln 1+1
𝑥𝑥 =1 𝜑𝜑(𝑥𝑥) ，题目约束 ，满足条件𝜑𝜑(的1)整=数 1 最小=1为 。
1
验 𝑎𝑎 ⩾ 证 𝜑𝜑 ： (𝑥𝑥 )𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 =1 𝑎𝑎 >2 𝑎𝑎 1
时， ，令 ， ，
2 ′ 1
，故 ， 时 ，满足恒成立。
𝑎𝑎 =1 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=𝑥𝑥ln 𝑥𝑥−𝑥𝑥 +𝑥𝑥 =𝑥𝑥(ln 𝑥𝑥−𝑥𝑥+1) 𝑚𝑚(𝑥𝑥)=ln 𝑥𝑥−𝑥𝑥+1 𝑚𝑚 (𝑥𝑥)=𝑥𝑥−1
𝑚𝑚(𝑥𝑥)𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥 =𝑚𝑚(1)=0 𝑚𝑚(𝑥𝑥)⩽0 𝑥𝑥 >0 𝑓𝑓(𝑥𝑥)⩽0
18.（17 分）
双曲线 ， ，左顶点 。
2 2
𝑥𝑥 𝑦𝑦
(1) 求面积
𝐴𝐴: 4 −12 =1 𝑎𝑎 =2,𝑏𝑏 =2√3 𝐴𝐴(−2,0)
， 。
|𝑃𝑃𝑄𝑄|=6
代𝑃𝑃(入𝑥𝑥0,双𝑦𝑦0曲),𝑄𝑄线(：𝑥𝑥0,−𝑦𝑦0),𝑦𝑦0 >0 |𝑃𝑃𝑄𝑄|=，2第𝑦𝑦0一=象6限⟹𝑦𝑦0 =3。
2
𝑥𝑥0 9 2
底 4 ， −1 高 2=1⟹𝑥𝑥0 =7 。 𝑥𝑥0 =√7
△𝐴𝐴𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑃𝑃𝑄𝑄 =6 𝑥𝑥0−(−2) =√7+2
1
𝑆𝑆
(2
= )(ⅰ×) 求6×横(√坐7标+2 )=3√7+6
2
直线 ；直线 。
𝑃𝑃
𝑦𝑦𝑃𝑃 −𝑦𝑦𝑃𝑃
交点
𝐴𝐴𝑃𝑃:𝑦𝑦 =𝑥𝑥
同
𝑃𝑃+
时
2(𝑥𝑥
满
+
足
2
两
)
式，约
𝑀𝑀
去
𝑄𝑄:𝑦𝑦=𝑥𝑥𝑃𝑃
：
−𝑠𝑠 (𝑥𝑥−𝑠𝑠)
𝐷𝐷(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) 𝑦𝑦𝑃𝑃 ≠0
𝑥𝑥0+2 −(𝑥𝑥0−𝑠𝑠)
交
𝑥𝑥𝑃𝑃
叉
+
相
2
=乘整
𝑥𝑥
理
𝑃𝑃−
，
𝑠𝑠
解出：
𝑥𝑥0(𝑠𝑠−2)+4𝑠𝑠
(ⅱ) 证明存在定点 使𝑥𝑥𝑃𝑃 =平2𝑥𝑥分0+2−𝑠𝑠
角平分线判定：直线 平分 等价于倒角公式：
𝑀𝑀,𝑁𝑁 𝐷𝐷𝐴𝐴 ∠𝑀𝑀𝐷𝐷𝑁𝑁
𝐷𝐷𝐴𝐴 ∠𝑀𝑀𝐷𝐷𝑁𝑁
𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷 𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷−𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷
设 = ，代入 坐标化简，令等式对任意 恒成立，多项式系数全为 0，解得定
1+𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷 1+𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷𝑘𝑘𝐷𝐷𝐷𝐷
点
𝑀𝑀(𝑚𝑚,0),𝑁𝑁(𝑛𝑛,0)
。
𝐷𝐷(𝑥𝑥0,𝑦𝑦0) 𝐷𝐷
将 代入到角公式验证，对任意第一象限点 ，交点 均满足角平分条件，故存在这
𝑀𝑀(4,0),𝑁𝑁(−1,0)
样的定点。
𝑀𝑀(4,0),𝑁𝑁(−1,0) 𝑃𝑃 𝐷𝐷
19.（17 分）
学科网（北京）股份有限公司定义： ，数列各项为正整数。
(1) 𝐻𝐻𝑥𝑥 ，𝑛𝑛 =𝑖𝑖 ∈𝐍𝐍 ，∗ ∣ 数 𝑥𝑥𝑖𝑖 列 +1 =𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖 +𝑘𝑘
𝑘𝑘：=2 𝑥𝑥𝑖𝑖，=2𝑖𝑖 𝑥𝑥1 =2,𝑥𝑥2 =，4不,𝑥𝑥3等=；6 ,𝑥𝑥4 =8
𝑖𝑖 =1：𝑥𝑥2 =4，𝑥𝑥𝑥𝑥1 +2=𝑥𝑥2+2=6 ，不等；
𝑖𝑖 =2：𝑥𝑥3 =6，𝑥𝑥𝑥𝑥2 无+定2=义𝑥𝑥；4 +2=10
𝑖𝑖 故 =3 𝑥𝑥4 = 。 8 𝑥𝑥𝑥𝑥3
(2)𝐻𝐻 𝑥𝑥𝑛𝑛 =∅ ，存在 ，求
条件
𝑥𝑥𝑛𝑛 =𝑠𝑠𝑛𝑛 𝑖𝑖 ∈𝐻𝐻 𝑘𝑘
，整理：
等式
𝑥𝑥
左
𝑖𝑖+
侧
1 =
含
𝑥𝑥
变 𝑥𝑥𝑖𝑖量
+𝑘𝑘
，
⟹
右侧
𝑠𝑠(𝑖𝑖
为
+
常
1)
数
=
，
𝑠𝑠
仅
⋅𝑠𝑠
当
𝑖𝑖+
系
𝑘𝑘
数
𝑖𝑖⋅
即
𝑠𝑠(1−𝑠𝑠
时
)=
等
𝑘𝑘
式
−
有
𝑠𝑠
解：
。
𝑖𝑖 1−𝑠𝑠 =0 𝑠𝑠 =1
0(3=) 无𝑘𝑘穷−1数⟹列，𝑘𝑘 =1 ，即 。
(ⅰ) 反证法证明 ∀𝑖𝑖 ∈𝐍𝐍 ∗ , 𝑖𝑖 ∈𝐻𝐻 ∀𝑖𝑖,𝑥𝑥𝑖𝑖+1 =𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖 +𝑘𝑘
假设 ：
𝑥𝑥1 =1
①
𝑥𝑥1 ⩾
，
2
，数列严格递增；
② 𝑖𝑖 =1 ， 𝑥𝑥2 =𝑥𝑥𝑥𝑥1 +𝑘𝑘 >𝑥𝑥𝑥𝑥 ，1 ⩾ 严 𝑥𝑥 格 2 > 递 𝑥𝑥 增 1 数 ⩾ 列 2 ，迭代后数值无限膨胀，无法满足无穷递
推自 𝑖𝑖 = 洽 𝑥𝑥 ；1 𝑥𝑥𝑥𝑥1+1 =𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥1 +𝑘𝑘 𝑥𝑥𝑥𝑥1 >𝑥𝑥2 >𝑥𝑥1
假设矛盾，故 。
(ⅱ) 求前 项和𝑥𝑥1 =1
， 时 ；
𝑛𝑛
数
𝑥𝑥1
列
=
严
1
格
𝑖𝑖
递
=
增
1
，
𝑥𝑥
唯
2 =
一
𝑥𝑥
满 𝑥𝑥1足
+
无
𝑘𝑘
穷
=
正
𝑥𝑥1
整
+
数
𝑘𝑘
递
=
推
1+
的
𝑘𝑘
通项为 （取 时 恒成
立）。 𝑥𝑥𝑛𝑛 =𝑛𝑛 𝑘𝑘 =1 𝑥𝑥𝑖𝑖+1 =𝑖𝑖+1=𝑥𝑥𝑥𝑥𝑖𝑖 +1
自然数列前 项和：
𝑛𝑛(𝑛𝑛+1)
𝑛𝑛 𝑆𝑆𝑛𝑛 = 2
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