2027版高三《上学期8月适应性考试》（福州高级中学）数学答案_2027版《高三上学期开学摸底模拟卷》全国多省（数学）

福州高级中学 2026―2027 学年高三 8 月适应性考试
数学参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
B D D B A C C B AD ABD ABD 45 y = x−1 4052
π
15．【答案】（1）C = ；（2）b=3，c= 7或b=6，c=2 7
3
【详解】（1）在△ABC中，A+B+C =π，故cosC =−cos ( A+B )，将已知等式变形：
sinC =− 3 ( cosAcosB−sinAsinB )，又− 3 ( cosAcosB−sinAsinB )=− 3cos ( A+B )，代入得：
sinC = 3cosC，因为C∈( 0,π )，cosC ≠0，
π
故tanC = 3，得C = ；
3
1 1 3 3 21
（2）由三角形面积相等得 absinC = c⋅h，代入a=2，sinC = ，h= ，
2 2 2 7
3 7 1
化简得：b= c，又cosC =
7 2
9c2 6 7c
再代入余弦定理c2 =a2 +b2 −2abcosC，得c2 =4+ − ，
7 7
3 7
整理得c2 −3 7c+14=0，解得c= 7或c=2 7，对应代入b= c，得b=3或b=6，
7
故b=3，c= 7或b=6，c=2 7．
16．【详解】（1）证明：取CB 中点P，连接NP，MP，
1
1
由N 是BC 的中点，故NP//CC ，且NP= CC ，
1 1 1 2 1
1 1
由M 是DD 的中点，故DM = DD = CC ，且DM//CC ，
1 1 2 1 2 1 1 1
则有DM//NP、DM = NP，
1 1
故四边形DMPN 是平行四边形，故DN//MP，
1 1
又MP⊂平面CBM ，DN⊄平面CBM ，
1 1 1
故DN//平面CBM ；
1 1
（2）解：以A为原点建立如图所示空间直角坐标系，
学科网（北京）股份有限公司有A ( 0,0,0 )、B ( 2,0,0 )、B ( 2,0,2 )、M ( 0,1,1 )、C ( 1,1,0 )、C ( 1,1,2 )，
1 1
C C C
则有CB =( 1,−1,2 )、CM =(−1,0,1 )、BB =( 0,0,2 )，
1 1
C
设平面CBM 的法向量为m=( x ,y ,z )
1 1 1 1
C
C
 m⋅CB = x − y +2z =0
则有
C
1C 1 1 1 ，
 m⋅CM =−x +z =0
1 1
C
取x =1，则有y =3、z =1，即m=( 1,3,1 )，
1 1 1
C
C
C BB ⋅m
由BB =( 0,0,2 )，则有 1 C = 2 = 2 11 ，即点B到平面CBM 的距离为 2 11 ．
1 m 1+9+1 11 1 11
x2
17．【答案】（1） + y2 =1；（2） 6
3
【详解】（1）由题意得2c=2 2 ，所以c= 2，
c 6 x2
又e= = ，所以a= 3，所以b2 =a2 −c2 =1，所以椭圆M 的标准方程为 + y2 =1；
a 3 3
（2）设直线AB的方程为y = x+m，
 y = x+m

由x2 消去y可得4x2 +6mx+3m2 −3=0，

+ y2 =1
 3
( )
则Δ=36m2 −4×4 3m2 −3 =48−12m2 >0，即m2 <4，
3m 3m2 −3
设A ( x ,y )，B ( x ,y )，则x +x =− ，x x = ，
1 1 2 2 1 2 2 1 2 4
6× 4−m2
则 AB = 1+k2 x −x = 1+k2 ⋅ (x +x )2 −4x x = ，
1 2 1 2 1 2 2
易得当m2 =0时，| AB| = 6 ，故 AB 的最大值为 6
max
学科网（北京）股份有限公司2 1
18．【详解】（1）（i）因为甲每局获胜的概率为 ，所以乙每局获胜的概率为 ，
3 3
若乙以3∶2获胜，则第5局乙赢，前4局乙赢2局输2局．
2 2
2 1 1 8
所以乙3∶2获胜的概率为C2×
 
×
 
×
 
=
4 3 3 3 81
（ii）设事件A为甲获胜，事件B为乙至少获胜一局，
若甲获胜，则甲获胜，则甲对乙可以以3∶0、3∶1、3∶2获胜，
若甲以3∶0获胜，则前3局全是甲赢；
若甲以3∶1获胜，则第4局甲赢，前3局甲赢2局输1局；
若甲以3∶2获胜，则第5局甲赢，前4局甲赢2局输2局．
3 3 3 2
2 2 1 2 1 64
所以P ( A )= p3 +C2( 1− p ) p3 +C2(1− p)2 p3 =   +3    +6    = ．
3 4 3 3 3 3 3 81
事件AB（甲获胜且乙至少获胜一局）等价于“甲以3∶1或3∶2获胜”，
3 3 2
2 1 2 1 40
P ( AB )=C2( 1− p ) p3+C2(1− p)2 p3 =3    +6    = ，
3 4
3 3 3 3 81
40
( )
P AB 81 40 5
所以在甲获胜的条件下，乙至少获胜一局的概率为P(B| A)= = = = ．
P ( A ) 64 64 8
81
（2）设Y 表示前m局中同学甲赢得的局数，记q =1− p，
m
则 p = P ( Y ≥n+1 )= P ( Y ≥n+1 )+P ( Y =n ) p．
n 2n+1 2n 2n
p2
对于q ，设双方n∶n平之后甲获胜的概率为k，则k = p2 +2pqk ，所以k = ，
n 1−2pq
p2
则q = P ( Y ≥n+1 )+P ( Y =n )⋅ ．
n 2n 2n 1−2pq
 p2 
因此 p −q = P ( Y =n )  p− ．
n n 2n  1−2pq
因为Y ∼B ( m,p )，可得P ( Y =n )=Cn pnqn >0，
m 2n 2n
p2 p2 p ( 2p−1 )( p−1 )
又 p− = p− = ，
1−2pq 2p2 −2p+1 p2 +q2
( 2p−1 )( p−1 )
所以 p −q =Cn pn+1qn ．
n n 2n p2 +q2
学科网（北京）股份有限公司1
当 < p<1时，可得q − p >0，即 p <q ；
2 n n n n
1 1
当0< p< 时， p >q ；当 p= 时， p =q ．
2 n n 2 n n
19．【答案】（1）h ( x )是y =2x2 +2与y =−x2 +4x在区间(−∞,+∞)上的“分割函数”；h ( x )不是
1 2
y =2x2 +2与 y =−x2 +4x在区间(−∞,+∞)上的“分割函数”（2）
h ( x )=ax2 +( 4−2a ) x+a(0<a<2)（3）2 3
3
【详解】（1）因为2x2 +2−4x=2(x−1)2 ≥0恒成立，且4x− ( −x2 +4x ) = x2 ≥0恒成立，
所以当x∈(−∞,+∞)时，2x2 +2≥4x≥−x2 +4x恒成立，
故h ( x )是y =2x2 +2与 y =−x2 +4x在区间(−∞,+∞)上的“分割函数”；
1
( )
又因为x+1− −x2 +4x = x2 −3x+1，当x=0与1时，其值分别为1和−1，
所以h ( x )≥−x2 +4x与h ( x )≤−x2 +4x在(−∞,+∞)上都不恒成立，
2 2
故h ( x )不是y =2x2 +2与y =−x2 +4x在区间(−∞,+∞)上的“分割函数”．
2
（2）设h ( x )=ax2 +cx+d ( a ≠0 )是 y =2x2 +2与y =4x在区间(−∞,+∞)上的“分割函数”，则
3
2x2 +2≥ax2 +cx+d ≥4x对一切实数x恒成立，
( )′
因为 2x2 +2 =4x，当x=1时，它的值为4，可知y =2x2 +2的图象在x=1处的切线为直线
y =4x，
它也是h ( x )=ax2 +cx+d的图象在x=1处的切线，如图：
3
 2a+c=4 c=4−2a
所以 ，可得 所以2x2 +2≥ax2 +( 4−2a ) x+a≥4x对一切实数x恒成立，可
a+c+d =4  d =a
得2−a≥0且a>0，即0<a≤2，又因为a=2时，h ( x )=ax2 +( 4−2a ) x+a与 y =2x2 +2为相同
3
函数，不合题意，故所求的函数为h ( x )=ax2 +( 4−2a ) x+a(0<a<2)．
3
学科网（北京）股份有限公司（3）关于函数y = x4 −4x2，令y′=4x3−8x=0，可得x=0，± 2，
( ) ( ) ( ) ( )
当x∈ −∞,− 2 与x∈ 0, 2 时，y′<0，当x∈ − 2,0 与x∈ 2,+∞ 时，y′>0，
可知± 2是函数y = x4 −4x2的极小值点，0是极大值点，该函数与y =4x2 −16的图象如图所示：
若函数h ( x )=kx+b是y = x4 −4x2与y =4x2 −16在区间[ m,n ]上的“分割函数”，
4
故存在b 使得b≤b 且直线h ( x )=kx+b与y = x4 −4x2的图象相切，
0 0 4
并且切点横坐标t∈−2,− 2 2,2，
   
( )
此时切线方程为y = 4t3 −8t x+4t2 −3t4，即k =4t3 −8t，b =4t2 −3t4，
0
设直线h ( x )=kx+b与y =4x2 −16的图象交于点( x ,y )，( x ,y )，
4 1 1 2 2
 y =kx+b
则由 ，可得4x2 −kx−16−b=0，
y =4x2 −16
所以
k2 k2
x −x = (x +x )2 −4x x = +16+b ≤ +16+b = (t3−2t)2 +16+4t2 −3t4
1 2 1 2 1 2 16 16 0
( )
= t6 −7t4 +8t2 +16 = s3 −7s2 +8s+16 s =t2∈[2,4]
令k ( s )=s3−7s2 +8s+16 ( s∈[ 2,4 ]) ，k′( s )=3s2 −14s+8=( 3s−2 )( s−4 )≤0，（当且仅当s =4
时，k′(
s
)=0），
所以k ( s )严格减，故k ( s )的最大值为k ( 2 )=12，
可知 x −x 的最大值为 12 =2 3，所以n−m的最大值为2 3．
1 2
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