广东广州市2027届高三开学考预测卷数学参考答案
1．C
【详解】 ， ，
2 5 5
𝐵𝐵 ={𝑥𝑥|2𝑥𝑥， −5𝑥𝑥 >0 }=(−∞,0)∪�2,+∞� ∁R𝐵𝐵 =�0,2�
∵𝐴𝐴 ={0,1,2,3,4,5}
故∴𝐴𝐴选∩：(C∁R 𝐵𝐵)={0,1,2}
2．B
【详解】解：由题得 ，
2 2
(1+2i) 1+4i+4i −3+4i (−3+4i)(2+i) −10+5i
3 2
则 的虚部为1. 𝑧𝑧 = 2+i = 2+i ⋅i = 2−i = (2−i)(2+i) = 5 =−2+i
3．𝑧𝑧A
【详解】由 ，可得点 为边 上靠近点 的三等分点，
2�𝐷𝐷����𝐵𝐵�⃗+�𝐷𝐷���𝐷𝐷�⃗ =0�⃗ 𝐷𝐷 𝐵𝐵𝐷𝐷 𝐵𝐵
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
1 1 1 1
𝐷𝐷𝐶𝐶 = 𝐷𝐷𝐴𝐴+ 𝐷𝐷𝐷𝐷 =− 𝐴𝐴𝐷𝐷− 𝐵𝐵𝐷𝐷
2 2 2 3 .
⃗ ⃗ ⃗ ⃗ ⃗
1 1 1 5
=−2𝐴𝐴𝐷𝐷−3�𝐴𝐴𝐷𝐷−𝐴𝐴𝐵𝐵�=3𝐴𝐴𝐵𝐵−6𝐴𝐴𝐷𝐷
4．B
【详解】设等比数列 的公比为 且 ，由 ，得 ，解得 ，
2 2 2 3
由 ，得{𝑎𝑎𝑛𝑛} 𝑞𝑞，即𝑎𝑎1 ≠0,𝑞𝑞 ≠0 2𝑎𝑎2，=而𝑎𝑎1𝑎𝑎4 2，𝑎𝑎1因𝑞𝑞此=𝑎𝑎1⋅𝑎𝑎1，𝑞𝑞 𝑞𝑞 =2
2 2 2
𝑆𝑆2𝑛𝑛 =𝑆𝑆𝑛𝑛 +2𝑆𝑆𝑛𝑛 𝑆𝑆2 =𝑆𝑆1 +2𝑆𝑆1 𝑎𝑎1+𝑎𝑎2 =𝑎𝑎1 +2𝑎𝑎1 𝑎𝑎2 =2𝑎𝑎1 𝑎𝑎1 =1
经验证符合题意，所以 .
8
1−2
故选：B 𝑆𝑆8 = 1−2 =255
5．A
【详解】因为 是定义在 上的奇函数，所以 ；
因为 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ，所𝑅𝑅以 的周期 𝑓𝑓(且0)=0 ，
所以𝑓𝑓(𝑥𝑥+e)=𝑓𝑓(𝑥𝑥−e) ，𝑓𝑓 (𝑥𝑥) 𝑇𝑇 =2e 𝑓𝑓(𝑥𝑥+e)=−𝑓𝑓(e−𝑥𝑥)
因为𝑓𝑓当(e)=−𝑓𝑓(时e)，⇒𝑓𝑓(e)=0 ，所以 ，所以 ，
答案第1页，共11页
𝑥𝑥 ∈(0,e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=ln𝑥𝑥 𝑓𝑓(1)=0 𝑓𝑓(−1)=−𝑓𝑓(1)=0
学科网（北京）股份有限公司所以 ，
故 𝑓𝑓(在−1区+间2e)=𝑓𝑓(−内1的)=零0点为 ，其零点之和为 ，
故选𝑓𝑓(𝑥𝑥：)A. (−e,2e) −1,0,1,e,−1+2e 3e−1
6．A
【详解】不妨设点 在第一象限，
𝑀𝑀
由题意得， ，
2
𝑏𝑏
𝐹𝐹(𝑐𝑐,0),𝑀𝑀�𝑐𝑐, 𝑎𝑎�,𝐴𝐴1(−𝑎𝑎,0),𝐴𝐴2(𝑎𝑎,0)
设 ，则 ，
2
𝑏𝑏 𝑦𝑦0 𝑦𝑦0
𝑁𝑁(𝑐𝑐,𝑦𝑦0),𝑦𝑦0 ∈�0, 𝑎𝑎� 𝑘𝑘𝐴𝐴1𝑁𝑁 =𝑐𝑐+𝑎𝑎,𝑘𝑘𝐴𝐴2𝑁𝑁 =𝑐𝑐−𝑎𝑎
故直线 的方程为 ，令 ，则 ，故 ；
𝑦𝑦0 𝑎𝑎𝑦𝑦0 𝑎𝑎𝑦𝑦0
𝐴𝐴1𝑁𝑁 𝑦𝑦 =𝑐𝑐+𝑎𝑎(𝑥𝑥+𝑎𝑎) 𝑥𝑥 =0 𝑦𝑦 =𝑐𝑐+𝑎𝑎 𝐻𝐻�0,𝑐𝑐+𝑎𝑎�
直线 的方程为 ，令 ，则 ，故 ，
𝑦𝑦0 −𝑎𝑎𝑦𝑦0 −𝑎𝑎𝑦𝑦0
𝑁𝑁𝐴𝐴2 𝑦𝑦 =𝑐𝑐−𝑎𝑎(𝑥𝑥−𝑎𝑎) 𝑥𝑥 =0 𝑦𝑦= 𝑐𝑐−𝑎𝑎 𝐺𝐺�0, 𝑐𝑐−𝑎𝑎�
因为 ，则 ，得 ，
𝑎𝑎𝑦𝑦0 𝑎𝑎𝑦𝑦0
|𝑂𝑂𝐺𝐺|=3|𝑂𝑂𝐻𝐻| 𝑐𝑐−𝑎𝑎 =3𝑐𝑐+𝑎𝑎 𝑐𝑐 =2𝑎𝑎
则 的离心率为 .
𝑐𝑐
𝐷𝐷 𝑎𝑎 =2
故选：A
7．C
【详解】如图，绘制函数 与函数 的图象，
2
可知 与 𝑦𝑦=4sin的π𝑥𝑥图象恰有𝑦𝑦=个−公√共5𝑥𝑥点−，𝑥𝑥
2
且它𝑦𝑦们=的4图si象nπ均𝑥𝑥关𝑦𝑦于=直−线√5𝑥𝑥−对𝑥𝑥 称，所以 6 所有零点的和为 .
5
2
故选：C 𝑥𝑥 =2 𝑦𝑦 =4sinπ𝑥𝑥+√5𝑥𝑥−𝑥𝑥 15
答案第2页，共11页8．B
【详解】设三棱锥 外接球的半径为 ，则 ，解得 ，
2
⊥ ，设 𝑃𝑃−的𝐴𝐴𝐵𝐵外𝐷𝐷心为 ，则 是𝑟𝑟棱 的4π中𝑟𝑟点=，1 12π 𝑟𝑟 =2√7
设𝐴𝐴𝑃𝑃等边𝑃𝑃𝐷𝐷 R的t△外𝐴𝐴心𝑃𝑃为𝐷𝐷 ，过点𝑂𝑂1 作平𝑂𝑂面1 𝐴𝐴的𝐷𝐷垂线，过点 作平面 的垂线，
两垂线交△于𝐴𝐴𝐵𝐵点𝐷𝐷 ，则 即𝑂𝑂为2 三棱锥𝑂𝑂1 𝐴𝐴的𝑃𝑃外𝐷𝐷接球球心， 𝑂𝑂2 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷
𝑂𝑂 𝑂𝑂 𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷
因为二面角 的大小为 ，所以 ，
5π 5π π π
𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐷𝐷−𝐵𝐵 6 ∠𝑂𝑂𝑂𝑂1𝑂𝑂2 = 6 −2= 3
设 ，则 ， ，
𝑎𝑎
2
𝑎𝑎 2 √3𝑎𝑎
𝐴𝐴𝐷𝐷 =𝑎𝑎 𝐴𝐴𝑂𝑂1 =𝐷𝐷𝑂𝑂1 = 2 𝐵𝐵𝑂𝑂1 =�𝑎𝑎 −�2� = 2
于是 ， ，
√3 1 √3 √3 2 √3
𝑂𝑂1𝑂𝑂2 = 2 𝑎𝑎×3= 6 𝑎𝑎 𝐵𝐵𝑂𝑂2 = 2 𝑎𝑎×3= 3 𝑎𝑎
，
1
连
𝑂𝑂𝑂𝑂
接
2 =√， 3𝑂𝑂
则
1𝑂𝑂2 =2𝑎𝑎
，
在 𝑂𝑂𝐵𝐵 𝑂𝑂中𝐵𝐵，=由𝑟𝑟勾=股2√定7理得 ，
2 2 2
即Rt△𝑂𝑂𝑂𝑂2𝐵𝐵 ，解得 𝑂𝑂2 ，𝑂𝑂所+以𝑂𝑂2𝐵𝐵 =𝑂𝑂𝐵𝐵，
1 2 1 2
因4为 𝑎𝑎 + ⊥3𝑎𝑎 ， = 所 28 以当 𝑎𝑎 =4√时 3 ，点 到 𝐴𝐴 平 𝐷𝐷 = 面 4√3 的距离最大，
此时𝐴𝐴𝑃𝑃 𝑃𝑃𝐷𝐷 ，且 𝐴𝐴𝑃𝑃 =𝑃𝑃𝐷𝐷 ，𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷
1
𝑂𝑂1𝑃𝑃 ⊥𝐴𝐴𝐷𝐷 𝑂𝑂1𝑃𝑃=2𝐴𝐴𝐷𝐷 =2√3
其最大距离为 ，其中 ，
5π 1 π
𝑂𝑂1𝑃𝑃sin�π− 6�=√3 𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴 =2×4√3×4√3sin3=12√3
所以三棱锥 的体积最大值为 .
1 1
9．ABD
𝑃𝑃−𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷 3𝑆𝑆△𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴𝐴×√3=3×12√3×√3=12
【详解】对于A：由图象知 ，由 ，由函数图象的对称性可知 的一个最低点为 .
π 2π 5π 5π
𝐴𝐴=2 6+ 3 答=案 6 第3页，共11页 𝑓𝑓(𝑥𝑥) �12,−2�
学科网（北京）股份有限公司又 的最小正周期为 ，
2π 2π 2π 5π 5π
𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝑇𝑇 = 3 −0= 3 ,𝜔𝜔 = 𝑇𝑇 =3,𝑓𝑓�12�=2sin�3×12+𝜑𝜑�=−2
则 ，
5π
sin�3×12+𝜑𝜑�=−1
所以 ，即 ，因为 ，所以 ，
5π 3π π π π
4 +𝜑𝜑 = 2 +2𝑘𝑘π(𝑘𝑘 ∈𝑍𝑍) 𝜑𝜑 =4+2𝑘𝑘π(𝑘𝑘 ∈𝑍𝑍) |𝜑𝜑|< 2 𝜑𝜑 = 4
所以 ，A正确；
π
𝑓𝑓(𝑥𝑥)=2sin�3𝑥𝑥+4�
对于B： ，所以点 为 图象的一个对称中心，B正确；
5π 5π
𝑓𝑓�4�=2sin4π=0 �4 ,0� 𝑓𝑓(𝑥𝑥)
对于C：当 时， ，则 的值域为 ，C错误；
π 7π π 5π
𝑥𝑥 ∈�3,12� 3𝑥𝑥+4∈�4 ,2π� 𝑓𝑓(𝑥𝑥) [−2,0)
对于D： ，所以 ，
π 6 π 3
𝑓𝑓(𝛼𝛼)=2sin�3𝛼𝛼+4�=5 sin�3𝛼𝛼+4�=5
则 ，D正确.
π 2 π 7
故s选in：6𝛼𝛼
A
=
BD
−
.
cos�6𝛼𝛼+2�=2sin �3𝛼𝛼+4�−1=−25
10．BCD
【详解】对于A，因为 ，所以 ，根据抛物线的定义知 ，所以 ，
因此 不是线段 的𝑄𝑄中𝑁𝑁点⊥，𝑀𝑀故𝑁𝑁A错误|𝑄𝑄；𝑀𝑀 |>|𝑄𝑄𝑁𝑁| |𝑄𝑄𝑁𝑁|=|𝑄𝑄𝐹𝐹| |𝑄𝑄𝑀𝑀|>|𝑄𝑄𝐹𝐹|
对于𝑄𝑄B，设 𝐹𝐹𝑀𝑀 ，因为 ， 轴，
所以 ∠𝑀𝑀𝐹𝐹𝑁𝑁=𝛼𝛼 ，|𝑄𝑄又𝑁𝑁|=|𝑄𝑄𝐹𝐹|，𝑄𝑄𝑁𝑁//𝑥𝑥 ，
所以∠𝑀𝑀𝑄𝑄𝑁𝑁 =2∠𝑀𝑀𝐹𝐹𝑁𝑁 =2，𝛼𝛼即 𝑃𝑃𝑀𝑀//𝑄𝑄𝑁𝑁 |𝑃𝑃𝑀𝑀，|=故|𝑃𝑃B𝐹𝐹正| 确；
对于∠C𝑀𝑀，𝐹𝐹由𝑃𝑃抛=物∠𝐹𝐹线𝑀𝑀的𝑃𝑃光=学2𝛼𝛼性质知∠，𝑀𝑀𝐹𝐹光𝑃𝑃线=2∠经𝑀𝑀抛𝐹𝐹𝑁𝑁物线反射，反射光线 与 轴平行，所以 ，
因为 ，所以 𝐹𝐹𝑃𝑃，又 ，所以 𝑃𝑃𝑅𝑅 𝑥𝑥 ，故C正确；∠ 𝑅𝑅𝑃𝑃𝑆𝑆 =∠𝐹𝐹𝑃𝑃𝑇𝑇
对于∠ D 𝑅𝑅，𝑃𝑃𝑆𝑆由= B ∠可𝑀𝑀知𝑃𝑃𝑇𝑇 ∠𝑀𝑀𝑃𝑃𝑇𝑇=，∠而𝐹𝐹𝑃𝑃𝑇𝑇 |𝑃𝑃𝑀𝑀|=|𝑃𝑃，𝐹𝐹|所以 𝑃𝑃𝑇𝑇 ⊥𝑀𝑀𝐹𝐹 ，得 ，所以
𝜋𝜋 𝜋𝜋
∠𝑀𝑀𝑃𝑃𝐹𝐹 =𝜋𝜋−4𝛼𝛼 ∠𝑁𝑁𝑄𝑄𝐹𝐹 =𝜋𝜋−2𝛼𝛼 𝜋𝜋−2𝛼𝛼 =𝜋𝜋−4𝛼𝛼+6 𝛼𝛼 =12
，
2𝜋𝜋
∠𝑀𝑀𝑃𝑃𝐹𝐹 = 3
又 ，所以 ，
𝜋𝜋
∠𝑀𝑀𝑃𝑃𝑇𝑇=∠𝐹𝐹𝑃𝑃𝑇𝑇 ∠𝐹𝐹𝑃𝑃𝑇𝑇= 3
因为 ， ，所以 ，因此 是等边三角形，故D正确.
𝜋𝜋
∠𝑀𝑀𝐹𝐹𝑃𝑃=2𝛼𝛼 ∠𝑁𝑁𝐹𝐹𝑇𝑇=∠𝐹𝐹𝑁𝑁𝑄𝑄 =𝛼𝛼 ∠𝑃𝑃𝐹𝐹𝑇𝑇=4𝛼𝛼 = 3 △𝑃𝑃𝑇𝑇𝐹𝐹
答案第4页，共11页故选：BCD.
11．BCD
【详解】如下图建立空间直角坐标系 ，截面与圆锥侧面交线上的一点 ，与轴截面一边交于点 ，
是底面的直径，则 ，圆锥𝑂𝑂的−高𝑢𝑢𝑢𝑢为𝑧𝑧 ， 𝑃𝑃 𝐷𝐷
𝐴𝐴其𝐵𝐵中截面上构建以 为𝑂𝑂原𝐷𝐷点⊥，𝐴𝐴𝐵𝐵 分别为 ℎ =轴√的3直角坐标系，且 ，
令 且 ，𝑂𝑂 是 在底𝑂𝑂面𝐵𝐵上,𝑂𝑂的𝐷𝐷 投影，𝑥𝑥则,𝑦𝑦 ，故 ∠𝐷𝐷𝑂𝑂𝑢𝑢 =𝜃𝜃 ，
2 2 2
𝑃𝑃(𝑥𝑥,𝑦𝑦) 𝑦𝑦 ≥0 𝑃𝑃0 𝑃𝑃 𝑃𝑃0(𝑥𝑥,𝑦𝑦cos𝜃𝜃,0) |𝑂𝑂𝑃𝑃0| =𝑥𝑥 +(𝑦𝑦cos𝜃𝜃)
圆锥被平行于底面的平面截得的截面是圆，假设 是该圆与截线 的一个交点，
该圆离底面高为 时，截面圆的半径 ，而𝑃𝑃点 的高度是Γ ，则
𝑡𝑡
𝑡𝑡 𝑟𝑟 =1−√3 𝑃𝑃 𝑡𝑡 =𝑦𝑦sin𝜃𝜃
所以 ，且 到圆锥轴的距离为 ，
𝑦𝑦sin𝜃𝜃
𝑟𝑟 =1− √3 𝑃𝑃 𝑟𝑟 =|𝑂𝑂𝑃𝑃0|
综上， ，整理得 ，即为 在截
2 2 𝑦𝑦sin𝜃𝜃 2 2 2 2 2
面 上 𝑥𝑥 的 + 轨 (𝑦𝑦 迹 co 方 s𝜃𝜃 程 ) ， = (1− √3 ) 3𝑥𝑥 +(3cos 𝜃𝜃−sin 𝜃𝜃)𝑦𝑦 +2√3𝑦𝑦sin𝜃𝜃−3=0 𝑃𝑃
A：𝑥𝑥当𝑂𝑂𝑦𝑦 时， ，即 ，所以 ，即两条直线，
2 2 2 2
错； 𝜃𝜃 =90° 3𝑥𝑥 −𝑦𝑦 +2√3𝑦𝑦−3=0 3𝑥𝑥 =(𝑦𝑦−√3) Γ:𝑦𝑦=±√3𝑥𝑥+√3
B：当 时， ，则 （应用换元法可化为 形式），对；
2 2 2
𝜃𝜃 =60° 𝑥𝑥 +𝑦𝑦−1=0 Γ:𝑥𝑥 =1−𝑦𝑦 𝑦𝑦 =𝑥𝑥
C：当 时， ，则 为椭圆的一部分，
√6 2 2
2 2 (𝑦𝑦+2) 𝑥𝑥
9 3
当 𝜃𝜃，=则45° 3𝑥𝑥，不+妨𝑦𝑦令+√6𝑦𝑦−3=0 ， Γ: 2 + 2 =1
𝑦𝑦=0 𝑥𝑥 =±1 𝐴𝐴(−1,0),𝐵𝐵(1,0)
当 ，则 （负值舍），则 ，
3√2−√6 3√2−√6
𝑥𝑥 =0 𝑦𝑦 = 2 <1 𝐷𝐷(0, 2 )
答案第5页，共11页
学科网（北京）股份有限公司该椭圆的一部分在半径为1的圆内，故其面积小于 ，对；
1 2 π
2×π×1 = 2
D：当 时， ，则 为半椭圆，
√3 2 2
2 2 (𝑦𝑦+4) 𝑥𝑥
27 9
𝜃𝜃 =30° 3𝑥𝑥 +2𝑦𝑦 +√3𝑦𝑦−3=0 Γ:
16
+
8
=1
所以 ，则离心率为 ，对.
3√3 27 9 3 𝑐𝑐 1 1
故选𝑎𝑎：= BC4D ,𝑐𝑐 =�16−8=4 𝑎𝑎 =√3>2
12．57
【详解】令 ，则 ，令 ，则 ，
故 𝑥𝑥 =2 1=𝑎𝑎0 𝑥𝑥 =. 3 64=𝑎𝑎0+𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+𝑎𝑎3+𝑎𝑎4+𝑎𝑎5+𝑎𝑎6
又63=𝑎𝑎1+𝑎𝑎2+𝑎𝑎3+𝑎𝑎4+𝑎𝑎5+𝑎𝑎6 ，故 .
6 6 6 1 5
故(𝑥𝑥−1) =(𝑥𝑥−2+1) =𝑎𝑎0+𝑎𝑎，1(则𝑥𝑥−2)+⋯+𝑎𝑎6(𝑥𝑥−2) 𝑎𝑎1. =C6×1 =6
故6答3案=为6：+5𝑎𝑎72 +𝑎𝑎3+𝑎𝑎4+𝑎𝑎5+𝑎𝑎6 𝑎𝑎2+𝑎𝑎3+𝑎𝑎4+𝑎𝑎5+𝑎𝑎6 =57
13．4
【详解】 ， ．
𝑥𝑥 ′ 𝑥𝑥 ′ 0
又 ∵𝑓𝑓(𝑥𝑥)=e +，sin 𝑥𝑥,∴𝑓𝑓 (𝑥𝑥)=e +cos𝑥𝑥 𝑓𝑓 (0)=e +cos0=2
0
曲𝑓𝑓线(0)=e +sin0=1在 处的切线为 ，
𝑥𝑥
∴即 𝑓𝑓(𝑥𝑥)=e +，si n𝑥𝑥 𝑥𝑥 =0 𝑦𝑦−1=2(𝑥𝑥−0)
由2圆𝑥𝑥−𝑦𝑦+1=0 可知圆心为 ，半径为3，
2 2
圆心(到𝑥𝑥切−线2)的+距𝑦𝑦离为=9 ，(2 ,0)
|2×2+1|
√5 =√5
．
2
∴故|答𝑀𝑀案𝑁𝑁|为=：2� .9 −�√5� =4
14． 4
1
【详5解】从集合 中抽取 个数构成一个数列 ，共有 种情况，
4
若数列 为“局{2部,4,等8,1比6,数32列} ”，则数4列 中仅连续三{项𝑥𝑥𝑛𝑛等}比， A5
这三项共{𝑥𝑥𝑛𝑛有}四类： {𝑥𝑥𝑛𝑛}
第一类：2，4，8或8，4，2，此时共有6种情况，
分别是：2，4，8，32或16，2，4，8或32，2，4，8，
8，4，2，16或8，4，2，32或32，8，4，2；
第二类：4，8，16或16，8，4，此时共有4种情况，
分别是：4，8，16，2或32，4，8，16，
答案第6页，共11页16，8，4，32或2，16，8，4；
第三类：8，16，32或32，16，8，此时共有6种情况，
分别是：8，16，32，2或8，16，32，4或2，8，16，32，
32，16，8，2或2，32，16，8或4，32，16，8；
第四类：2，8，32或32，8，2，此时共有8种情况，
分别是：2，8，32，4或2，8，32，16或4，2，8，32或16，2，8，32，
32，8，2，4或32，8，2，16或4，32，8，2或16，32，8，2；
所以若数列 为“局部等比数列”，则共有 种情况，
故数列 为{𝑥𝑥“ 𝑛𝑛}局部等比数列”的概率为 6+4+6 . +8=24
24 24 1
{𝑥𝑥𝑛𝑛} A 4 5 =120=5
15．【详解】（1）由题意令 ， ， ，其中 ，
𝑎𝑎+2𝑏𝑏 =8𝑡𝑡 𝑏𝑏+2𝑐𝑐 =11𝑡𝑡 𝑐𝑐+2𝑎𝑎=8𝑡𝑡 𝑡𝑡 >0
联立 ，解得 ，其中 ，
𝑎𝑎+2𝑏𝑏 =8𝑡𝑡 𝑎𝑎 =2𝑡𝑡
�𝑏𝑏+2𝑐𝑐 =11𝑡𝑡 �𝑏𝑏 =3𝑡𝑡 𝑡𝑡 >0
由余弦𝑐𝑐定+理2𝑎𝑎得=8𝑡𝑡 𝑐𝑐 =4𝑡𝑡
.
2 2 2 2 2 2
𝑎𝑎 +𝑏𝑏 −𝑐𝑐 4𝑡𝑡 +9𝑡𝑡 −16𝑡𝑡 1
cos𝐷𝐷 = 2𝑎𝑎𝑏𝑏 = 2×2𝑡𝑡×3𝑡𝑡 =−4
（2）由（1）知， ，其中 ，
𝑎𝑎 =2𝑡𝑡
�𝑏𝑏 =3𝑡𝑡 𝑡𝑡 >0
由余弦定理得 𝑐𝑐 =4𝑡𝑡 ，
2 2 2 2 2 2
𝑏𝑏 +𝑐𝑐 −𝑎𝑎 9𝑡𝑡 +16𝑡𝑡 −4𝑡𝑡 7
cos𝐴𝐴= 2𝑏𝑏𝑐𝑐 = 2×3𝑡𝑡×4𝑡𝑡 =8
因为 ，所以 ，
2
√15
因为𝐴𝐴 ∈(0,π) sin𝐴𝐴=√，1 −cos 𝐴𝐴= 8
由正𝑎𝑎弦co定s𝐷𝐷理+得𝑐𝑐cos𝐴𝐴=𝑘𝑘𝑏𝑏sin𝐴𝐴 ，
则 sin𝐴𝐴cos𝐷𝐷+s，in 𝐷𝐷cos𝐴𝐴=𝑘𝑘sin𝐵𝐵sin𝐴𝐴
因为sin(𝐴𝐴+𝐷𝐷)=𝑘𝑘sin，𝐵𝐵所sin以𝐴𝐴
所以𝐴𝐴+𝐷𝐷 =π−𝐵𝐵 ， sin(𝐴𝐴+𝐷𝐷)=sin𝐵𝐵
又因s为in𝐵𝐵 =𝑘𝑘sin，𝐵𝐵s所in𝐴𝐴以 ，
𝐵𝐵 ∈(0,π) sin𝐵𝐵 ≠0
所以 ，即 .
1 8√15
16．【1详=解𝑘𝑘s】in ( 𝐴𝐴 1)如图𝑘𝑘，=连si接n𝐴𝐴=，15在矩形 中， ， 为线段 的中点，
， 𝐵𝐵，𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷𝐷𝐷 𝐴𝐴𝐵𝐵 =2𝐴𝐴𝐷𝐷 =4 𝑃𝑃 𝐷𝐷𝐷𝐷
∴ 𝐴𝐴𝑃𝑃 =𝐵𝐵𝑃𝑃 =2√2 ，𝐴𝐴𝐵𝐵 =4 ，
2 2 2
又∴𝐴𝐴平𝑃𝑃面+𝐵𝐵𝑃𝑃 =平𝐴𝐴面𝐵𝐵 ∴，𝐴𝐴𝑃𝑃 ⊥𝐵𝐵𝑃𝑃平面 ，平面 平面 ，
𝐴𝐴𝐷𝐷𝑃𝑃 ⊥ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐵𝐵𝑃𝑃 ⊂ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐷𝐷𝑃𝑃∩ 𝐴𝐴𝐵𝐵𝐷𝐷𝑃𝑃 =𝐴𝐴𝑃𝑃
答案第7页，共11页
学科网（北京）股份有限公司平面 ；
∴（𝐵𝐵2𝑃𝑃）⊥存在，𝐴𝐴𝐷𝐷是𝑃𝑃线段 上靠近点 的三等分点.
如图所示，连𝐶𝐶接 、𝐷𝐷𝐷𝐷，设 交𝐷𝐷 于点 ，
𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐵𝐵𝑃𝑃 𝐴𝐴𝐷𝐷 𝐵𝐵𝑃𝑃 𝐹𝐹
，且 ，
1
∵𝐷𝐷𝑃𝑃//𝐴𝐴𝐵𝐵 𝐷𝐷𝑃𝑃 =2𝐴𝐴𝐵𝐵
．
𝐴𝐴𝐶𝐶 𝑃𝑃𝐶𝐶 1
∴𝐴𝐴𝐴𝐴 =𝑃𝑃𝐴𝐴 =3
取 的三等分点 ，使 ，连接 、 、 ，则 ，
𝐴𝐴𝐶𝐶 1
又 𝐷𝐷𝐷𝐷 平面 ， 𝐶𝐶 𝐴𝐴𝐶𝐶平 = 面3 ， 𝐶𝐶𝐹𝐹 𝑃𝑃𝐶𝐶 𝐵𝐵𝐶𝐶 𝐶𝐶𝐹𝐹//𝐴𝐴𝐷𝐷
𝐶𝐶𝐹𝐹 ⊂平面𝑃𝑃𝐵𝐵𝐶𝐶． 𝐴𝐴𝐷𝐷 ⊂ 𝑃𝑃𝐵𝐵𝐶𝐶
∴故𝐴𝐴存𝐷𝐷在//满足条𝑃𝑃𝐵𝐵件𝐶𝐶的点 ，且 是线段 上靠近点 的三等分点．
17．【详解】（1）设标𝐶𝐶有“惠𝐶𝐶”的小𝐷𝐷球𝐷𝐷有 个，则𝐷𝐷“钜”的小球有 个， 为正整数，且 ，
从 个球中一次性抽取 个的总方法数： 𝑥𝑥 ， 4−𝑥𝑥 𝑥𝑥 (1≤𝑥𝑥 ≤3)
2
获6折券（抽到“五”和2 “折”）的方法数C6 ：=15 ，概率为 ，
1 1 1
5 C1 ⋅C1 =1 𝑃𝑃5 =15
获 折券（抽到“钜”和“惠”）的方法数： ，概率为 ，
1 1 𝑥𝑥(4−𝑥𝑥)
7 C4−𝑥𝑥⋅C𝑥𝑥 =𝑥𝑥(4−𝑥𝑥) 𝑃𝑃7 = 15
由题意 ，即： ，
𝑥𝑥(4−𝑥𝑥) 1
化简得𝑃𝑃7 =3𝑃𝑃5 ，解方15程=3×15 ，得 或 ，
2
因此，𝑥𝑥标(4有−“𝑥𝑥惠)=”3的小球个数𝑥𝑥为−或4𝑥𝑥；+3 =0 𝑥𝑥 =1 𝑥𝑥 =3
（2）已抽到“五”球后，剩余 个1球3，其中“折”球有 个，要获得 折券，需抽到“折”球，故概率为：
； 5 1 5
1
𝑃𝑃 （ = 3）5由第一问可知，“惠”的个数有两个解： 或 ；
当“惠” ，“钜” 时，单次抽奖获 折券1的概3率为 ，
1×3 1
=1 =3 7 𝑝𝑝1 = C6 2 =5
当“惠” ，“钜” 时，单次抽奖获 折券的概率为 ，
3×1 1
=3 =1 7 𝑝𝑝1 = C6 2 =5
两种情况下，单次抽奖获得 折券的概率恰好都是 ，
3 1
7 𝑝𝑝=15=5
三位观众独立获得 折券的人数服从二项分布，故 ，
1
7 𝑋𝑋~𝐵𝐵�3,5�
答案第8页，共11页则 ， ，
0 1 0 4 3 64 1 1 1 4 2 48
𝑃𝑃(𝑋𝑋 =0)=C3�5� �5� =125 𝑃𝑃(𝑋𝑋 =1)=C3�5� �5� =125
， ，
2 1 2 4 1 12 3 1 3 4 0 1
𝑃𝑃分(布𝑋𝑋 =列：2) =C3�5� �5� =125 𝑃𝑃(𝑋𝑋 =3)=C3�5� �5� =125
𝑋𝑋 0 1 2 3
64 48 12 1
𝑃𝑃
数学期望： 125 125 125 . 125
64 48 12 1 3
18．【详解】
𝐶𝐶 (𝑋𝑋)=0×125+1×125+2×125+3×125=5
(1)函数定义域为 . 求导得 . 令 ，得 .
′ ′
当 时，(0,+∞) ，函数𝑓𝑓单(调𝑥𝑥)递=增1；−当ln 𝑥𝑥−1=时−，ln 𝑥𝑥 𝑓𝑓，(𝑥𝑥函)=数0单调递𝑥𝑥减=. 1
′ ′
因此0 <𝑥𝑥 <在1 𝑓𝑓处(𝑥𝑥取)>得0唯一极大值 ，无𝑥𝑥极>小1 值，𝑓𝑓所(𝑥𝑥以)极<值0点唯一.
令 𝑓𝑓(𝑥𝑥) ，𝑥𝑥得= 1 ，因 𝑓𝑓(1)=，1故 ，解得 .
且函𝑓𝑓数(𝑥𝑥在)= 0 上递𝑥𝑥(增1−且ln 𝑥𝑥)=0 ，𝑥𝑥在> 0 上1递−减ln 且𝑥𝑥 = 0 ，𝑥𝑥故=零e点唯一为 .
综上， (0存,1在) 唯一的极𝑓𝑓值(1点)=和1唯>一0的零点(. 1,e) 𝑓𝑓(e)=0 𝑥𝑥 =e
(2)极值𝑓𝑓点(𝑥𝑥为) ，零点为 . 直线 的方程为 .
e−𝑥𝑥
𝐴𝐴(1,1) 𝐵𝐵(e,0) 𝐴𝐴𝐵𝐵 𝑦𝑦 = e−1
令 .
e−𝑥𝑥 e−𝑥𝑥
ℎ(𝑥𝑥)=𝑓𝑓(𝑥𝑥)−e−1=𝑥𝑥(1−ln 𝑥𝑥)−e−1,𝑥𝑥 ∈(1,e)
求导得 ，所以 在 上单调递减.
′ 1 ′′ 1 ′
ℎ (𝑥𝑥)=−ln 𝑥𝑥+e−1,ℎ (𝑥𝑥)=−𝑥𝑥<0 ℎ (𝑥𝑥) (1,e)
又 ，故 在 上先增后减，其最小值在区间端点取得.
′ 1 ′ 1
ℎ (1)=0+e−1>0,ℎ (e)=−1+e−1<0 ℎ(𝑥𝑥) (1,e)
而 ，因此在 内恒有 ，
e−1
ℎ(1)=1−e−1=0,ℎ(e)=0−0=0 (1,e) ℎ(𝑥𝑥)>0
即 ，所以 的图象总在直线 的上方.
e−𝑥𝑥
(3) 𝑓𝑓 由 (𝑥𝑥 题 ) 意 > ，e−1方程 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 有两个不等实根， 𝐴𝐴 𝐵𝐵
结合（1）和函数图𝑓𝑓(象𝑥𝑥)可=知𝑎𝑎 ，且 .
由（2）可知，在 上有0<𝑎𝑎 <1 . 𝑥𝑥1 ∈(0,1),𝑥𝑥2 ∈(1,e)
e−𝑥𝑥
(1,e) 𝑓𝑓(𝑥𝑥)>e−1
取 ，得 ，整理得 ①.
e−𝑥𝑥2
由于 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 时 𝑎𝑎 = ， 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)> e−1，故 𝑥𝑥2 >e−𝑎𝑎(e−1) ，
因为0<𝑎𝑎在< 1 上1单−调ln递 𝑎𝑎增>，1而 𝑓𝑓(𝑎𝑎)=𝑎𝑎(，1所−以ln 𝑎𝑎)>𝑎𝑎 ②.
𝑓𝑓(𝑥𝑥) (0,1) 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)=𝑎𝑎 𝑓𝑓(𝑥𝑥1)<𝑓𝑓(𝑎𝑎)⇒𝑥𝑥1 <𝑎𝑎
答案第9页，共11页
学科网（北京）股份有限公司由①②得 ，故不等式成立.
𝑥𝑥2−𝑥𝑥1 >e−𝑎𝑎(e−1)−𝑎𝑎 =e−𝑎𝑎e=e(1−𝑎𝑎)
19．【详解】（1）由右顶点为 ，得 ．
𝐴𝐴(2,0) 𝑎𝑎 =2
又 ，所以 ，从而 .
𝑐𝑐 √3 2 2 2
𝑒𝑒 =𝑎𝑎 = 2 𝑐𝑐 =√3 𝑏𝑏 =𝑎𝑎 −𝑐𝑐 =4−3=1
故椭圆 的方程为 .
2
𝑥𝑥 2
（2） 𝐷𝐷 4 +𝑦𝑦 =1
由 ，设 .
则𝑃𝑃����𝐵𝐵�⃗ =2�𝐵𝐵���𝑄𝑄�⃗ 𝐵𝐵����𝑄𝑄�⃗ =(𝑢𝑢,𝑢𝑢).
𝑄𝑄(𝑡𝑡+𝑢𝑢,𝑢𝑢),𝑃𝑃(𝑡𝑡−2𝑢𝑢,−2𝑢𝑢)
因为 ， 都在椭圆 上，所以 , .
2 2
(𝑡𝑡+𝑢𝑢) 2 (𝑡𝑡−2𝑢𝑢) 2
两式𝑃𝑃相减𝑄𝑄，得 𝐷𝐷 4
.
+𝑢𝑢 =1 4 +4𝑢𝑢 =1
2 2
𝑢𝑢 −2𝑡𝑡𝑢𝑢+4𝑢𝑢 =0
将 代入第一式，得 .所以 .
2
2 2 2 4−𝑡𝑡
4𝑢𝑢 =2𝑡𝑡𝑢𝑢−𝑢𝑢 𝑡𝑡 +4𝑡𝑡𝑢𝑢 =4 𝑢𝑢 = 4𝑡𝑡
于是 .
2 2
2 𝑢𝑢(2𝑡𝑡−𝑢𝑢) (4−𝑡𝑡 )(9𝑡𝑡 −4)
2
𝑢𝑢 = 4 = 64𝑡𝑡
由 及 ，得 ．
2 2
𝑢𝑢 ≥0 0<𝑡𝑡 <2 3≤𝑡𝑡 <2
因为 ， 在 轴上，且 ， ，所以四边形 的面积 .
1 1
𝑂𝑂 𝐴𝐴 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑃𝑃 =−2𝑢𝑢 𝑦𝑦𝑄𝑄 =𝑢𝑢 𝑂𝑂𝑃𝑃𝐴𝐴𝑄𝑄 𝑆𝑆 =2⋅𝑂𝑂𝐴𝐴⋅|𝑦𝑦𝑃𝑃|+2⋅𝑂𝑂𝐴𝐴⋅�𝑦𝑦𝑄𝑄�=3|𝑢𝑢|
故 .
2 2
2 2 9(4−𝑡𝑡 )(9𝑡𝑡 −4)
2
𝑆𝑆 =9𝑢𝑢 = 64𝑡𝑡
令 ，则 ，且 .
2 4 2 9 16
𝑧𝑧 =𝑡𝑡 9≤𝑧𝑧 <4 𝑆𝑆 =64�40−9𝑧𝑧− 𝑧𝑧�
由基本不等式， .
16 16
9𝑧𝑧+ 𝑧𝑧 ≥2�9𝑧𝑧⋅ 𝑧𝑧 =24
当且仅当 ，即 时取等号．
16 4
9𝑧𝑧 = 𝑧𝑧 𝑧𝑧 =3
因此 .
2 9 9
𝑆𝑆 ≤64(40−24)=4
答案第10页，共11页故四边形 面积的最大值为 .
3
（3）设 𝑂𝑂𝑃𝑃𝐴𝐴𝑄𝑄 ， ，直2线 的斜率为 ．
由题意，𝑃𝑃(𝑥𝑥1,𝑦𝑦1)． 𝑄𝑄(𝑥𝑥2,𝑦𝑦2) 𝑃𝑃𝑄𝑄 𝑘𝑘
1
𝑘𝑘 ≠±2
由 .
2
2 2 2
得|𝑃𝑃𝑄𝑄| +2�𝑂𝑂���𝑃𝑃�⃗⋅𝑂𝑂�����𝑄𝑄�⃗ =. �𝑂𝑂����𝑃𝑃�⃗−�𝑂𝑂����𝑄𝑄�⃗� +2�𝑂𝑂���𝑃𝑃�⃗⋅𝑂𝑂�����𝑄𝑄�⃗ =|𝑂𝑂𝑃𝑃| +|𝑂𝑂𝑄𝑄|
2 2
又因|𝑂𝑂𝑃𝑃为| ，+|𝑂𝑂在𝑄𝑄|椭圆=5上，所以
.
2 2 3 2
𝑃𝑃 𝑄𝑄 𝐷𝐷 𝑥𝑥𝑖𝑖 +𝑦𝑦𝑖𝑖 =1+4𝑥𝑥𝑖𝑖(𝑖𝑖 =1,2)
因此 即 .
3 2 2 2 2
直线
2+ 的4(
方
𝑥𝑥1
程
+
可
𝑥𝑥
设
2)
为
=5, 𝑥𝑥1 +𝑥𝑥2
.
= 4
与椭𝑃𝑃圆𝑄𝑄方程联立，得 𝑦𝑦 =𝑘𝑘(𝑥𝑥−𝑡𝑡)
2 2 2 2 2
(1+4𝑘𝑘 )𝑥𝑥 −8𝑘𝑘 𝑡𝑡𝑥𝑥+4𝑘𝑘 𝑡𝑡 −4=0.
由根与系数的关系， .且 .
2 2 2
8𝑘𝑘 𝑡𝑡 4(𝑘𝑘 𝑡𝑡 −1)
由 ，化简𝑥𝑥得 1+𝑥𝑥2 =1+4𝑘𝑘 2 𝑥𝑥1𝑥𝑥2 = 1+4𝑘𝑘 2 .
2 2 2 2 2 2
因𝑥𝑥为 1 +𝑥𝑥2 =，4所以 (4𝑘𝑘 −1)(2𝑘𝑘
.
𝑡𝑡 −4𝑘𝑘 −1)=0
1 2 2 2
上述 𝑘𝑘 关 ≠ 于 ± 的2 一元二 2 次 𝑘𝑘 方 𝑡𝑡 程 = 的 1 判 + 别 4𝑘𝑘 式为
2
𝑥𝑥 𝛥𝛥 =8(1+4𝑘𝑘 ).
所以 .
√𝛥𝛥 2√2
|𝑥𝑥1−𝑥𝑥2|=1+4𝑘𝑘 2 =√1+4𝑘𝑘 2
又 .
1 1
𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑃𝑃𝑄𝑄 =2|𝑥𝑥1𝑦𝑦2−𝑥𝑥2𝑦𝑦1|=2|𝑘𝑘𝑡𝑡(𝑥𝑥2−𝑥𝑥1)|
故 ,所以 ．
2 2
2 2𝑘𝑘 𝑡𝑡
因此𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑃𝑃𝑄𝑄 =1+4𝑘𝑘 2 =1 𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑃𝑃𝑄𝑄
.
= 1
2 2
故存|在𝑂𝑂𝑃𝑃定|值+，|𝑂𝑂且𝑄𝑄| =5. =5𝑆𝑆△𝑂𝑂𝑃𝑃𝑄𝑄
𝜆𝜆 𝜆𝜆 =5
答案第11页，共11页
学科网（北京）股份有限公司
