文档内容
2024-2025 学年高三上学期开学检测
数 学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净
后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1．记 为等差数列 的前 项和，若 ，则 （ ）
A．21 B．19 C．12 D．42
2．命题 在 上为减函数，命题 在 为增
函数，则命题 是命题 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3．如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个
顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 ，则正八面体外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
4．将 这 个数据作为总体，从这 个数据中随机选取 个数据作为一个样本，则该样本的平均数与
总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为（ ）
A． B． C． D．
5．已知关于 的不等式 的解集为 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
6．已知 是双曲线 的左､右焦点，以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线交于
两点，若 ，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）A． B． C． D．
7．已知正实数 满足 ，则（ ）
A． 的最小值为 B． 的最小值为8
C． 的最小值为 D． 没有最大值
8．已知定义在 上的函数 在区间 上单调递减，且满足 ，函数 的对
称中心为 ，则（ ）（注： ）
A． B．
C． D．
二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部
分选对得3分，有选错的得0分。）
9．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，P是椭圆C上一点，则（ ）
A．当 时，满足 的点P有2个
B． 的周长一定小于
C． 的面积可以大于
D．若 恒成立，则C的离心率的取值范围是
10．已知 ， ， ，则下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ， D． 的最小值为
11．函数 ，关于x的方程 ，则下列正确的是（ ）
A．函数 的值域为R
B．函数 的单调减区间为
C．当 时，则方程有4个不相等的实数根D．若方程有3个不相等的实数根，则m的取值范围是
三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）
12．对于任意实数 ，定义 ，设函 ，则函数
的最小值是 ．
13．甲､乙玩一个游戏，游戏规则如下：一个盒子中装有标号为 的6个大小质地完全相同的小球，甲先
从盒子中不放回地随机取一个球，乙紧接着从盒子中不放回地随机取一个球，比较小球上的数字，数字更大者得1
分，数字更小者得0分，以此规律，直至小球全部取完，总分更多者获胜.甲获得3分的概率为 .
14．过双曲线 的上焦点 ，作其中一条渐近线的垂线，垂足为 ，直线 与双曲线的上､
下两支分别交于 ，若 ，则双曲线的离心率 .
四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）
（14分）15．已知数列 的前 项和为 ， ， ， .
(1)求数列 的通项公式；
(2)设数列 满足 ，求数列 的前 项和 .
（14分）16．如图，在四棱柱 中， 平面ABCD，底面ABCD为梯形， ， ，
，Q为AD的中点．
(1)在 上是否存在点P，使直线 平面 ，若存在，请确定点P的位置并给出证明，若不存在，请说明
理由；
(2)若（1）中点P存在，求平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值．（15分）17．函数 的定义域为 ，且满足对于任意 ，有 ，当
.
(1)证明： 在 上是增函数；
(2)证明： 是偶函数；
(3)如果 ，解不等式 .
（16分）18．2021届高考体检工作即将开展，为了了解高三学生的视力情况，某校医务室提前对本校的高三学生
视力情况进行调查，在高三年级1000名学生中随机抽取了100名学生的体检数据，并得到如下图的频率分布直方
图.
年级名
次
是否近
视
近视 40 30
不近视 10 20
（1）若直方图中前四组的频数依次成等比数列，试估计全年级高三学生视力的中位数（精确到0.01）；
（2）该校医务室发现，学习成绩突出的学生，近视的比较多，为了研究学生的视力与学习成绩是否有关系，对抽
取的100名学生名次在 名和 名的学生的体检数据进行了统计，得到表中数据，根据表中的数据，
能否在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系?
（3）在（2）中调查的不近视的学生中按照分层抽样抽取了6人，进一步调查他们良好的护眼习惯，求在这6人中
任取2人，至少有1人的年级名次在 名的概率.
0.10 0.05 0.025 0.010 0.005
2.706 3.841 5.024 6.635 7.879
，其中 .
（18分）19．在平面内，若直线 将多边形分为两部分，多边形在 两侧的顶点到直线 的距离之和相等，则称 为
多边形的一条“等线”，已知 为坐标原点，双曲线 的左、右焦点分别为 的离心率为2，点 为 右支上一动点，直线 与曲线 相切于点 ，且与 的渐近线交于 两点，当 轴时，
直线 为 的等线.
(1)求 的方程;
(2)若 是四边形 的等线，求四边形 的面积;
(3)设 ，点 的轨迹为曲线 ，证明: 在点 处的切线 为 的等线数学答案
1．A【详解】 是等差数列， ，即 ，所以
故公差 ， ，
2．A【详解】 要在 上单调递减，
则 ，解得 ，
在(1,+∞)为增函数，则 ，
解得 ，
因为 是 的真子集，故命题 是命题 的充分不必要条件.
3．B【详解】如图正八面体，连接 和 交于点 ，
因为 ， ，
所以 ， ，又 和 为平面 内相交直线，
所以 平面 ，所以 为正八面体的中心，
√3
设正八面体的外接球的半径为 ，因为正八面体的表面积为8× AB2=12√3，所以正八面体的棱长为 ，
4
所以EB=EC=BC=√6,OB=OC=√3,EO=√EB2−OB2=√3，
4 4
则R=√3,V = πR3= π×3√3=4√3π．
3 3
4．D【详解】依题意可知，总体平均数为 ，
从这 个数据中随机选取 个数据作为一个样本，情况如下：
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
选到 ，则样本平均数为 ，所以 ，
所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过 的概率为 .
5．D【详解】由不等式 的解集为 ，
可知1和 是方程 的两个实数根，且 ，
由韦达定理可得 ，即可得 ，
所以 .
当且仅当 时，即 时等号成立；
即可得 .
6．B【详解】设以 为圆心， 为半径的圆与双曲线的一条渐近线 交于 两点，则 到渐近线
的距离 ，所以 ，
因为 ，所以 ，可得 ，
即 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
又 ，所以双曲线的离心率的取值范围是 .
7．A【详解】对于A中，由正实数 满足 ，可得 ，且 ，
则 ，当 时， 取得最小值为 ，所以A正确；对于B中，由 ，
当且仅当 时，即 时，等号成立，所以 的最小值为 ，所以B不正确；
对于C中，由 ，
当且仅当 时，等号成立，所以 的最大值为 ，所以C错误；
对于D中，由 ，
因为 ，设 ，
可得 ，
当 时， ， 在 上单调递增；
当 时， ， 在 上单调递减，
所以，当 时，函数 取得最大值，最大值为 ，
则 的最大值为 ，所以D不正确.
8．C【详解】 ，故 ，
所以 ，
函数 的对称中心为 ，
函数 往左平移1个单位得到函数 ，
故函数 的对称中心为 ，
，令 得， ，
故 ，即
且 的对称中心为 ，故
故 即 的对称轴为 .
对于A, 在区间 上单调递减，故 ，
且 ，
所以 ，故A错误；对于B, 在区间 上单调递减，对称中心为 ，
故 ，且 在区间 上单调递减，
则 ，
，故B错误；
对于C， ，
且 ，结合 在区间 上单调递减，
故 ，故C正确；
对于D， ，故 ，
且 ，即 ，
结合 在区间 上单调递减，故 ，故D错误.
9．ABD【详解】对于选项A：当点 的坐标为 或 时， 最大，此时，若 ，
则 ，所以 ，A正确；
对于选项B： 的周长为 ，故B正确；
对于选项C： 的面积为 ，故C错误；
故于选项D：因为 ，所以 ，可得 ，
得 ，得 ，又 ，所以 ，故D正确．
10．BC【详解】对于A，当 时 ，故A错误；
对于B，若 ，则 ，即 ，所以 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，当且仅当 时取等号，
所以 ，显然 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故C正确；对于D，因为 ，
令 ，则 ，令 ，
由对勾函数的性质可知，函数 在 上单调递增，
所以 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，故D错误.
11．BD【详解】①当 时， ，
则 在 单调递减，且渐近线为 轴和 ，恒有 .
②当 时， ， ，
当 ， 在(0,1)单调递增；当 ， 在(1,+∞)单调递减，
故 ，且恒有 ，综上①②可知， ，
综上，作出函数 大致图象，如下图：
对于A，由上可知函数 的值域为 ，故A错误；
对于B，函数 的单调减区间为 ，故B正确；
对于C，当 时，则方程 ，解得 或 ，
由 ，得 或 ，有两个实数根；
由图象可知，由 得此时有 不相等的实数根，且均不为 ，也不为 ，所以当 时，则方程有6个不相等的实数根，故C错误；
对于D，若关于x的方程 有3个不相等的实数根，
即方程 与方程 共有3个不相等的实数根，
又因为 已有两个不等的实数根 ，
则方程 有且仅有1个根，且不为 .
所以 与 有且仅有1个公共点，
由图象可知 ，满足题意，即m的取值范围是 ，故D正确.
12．2
【详解】由题意得x∈(0,+∞)，
因为函数 在x∈(0,+∞)上单调递减，
函数 在x∈(0,+∞)上单调递增，
又 ，
所以点 是两个函数的交点，
所以当 时， ，可得 ，
当 时， ，可得 ，
可得ℎ(x)的大致图象，如下图，13． /
【详解】将问题转化为：在三个盒子中各放入2个编号不同的小球，甲从每个盒子中各取一个小球，求甲取到每
个盒子中编号较大小球的概率.
甲从三个盒子中各取一球，共有 种取法，三个都是编号较大小球只有一种取法，
所以，甲获得3分的概率为 .
14．
【详解】设双曲线右焦点为 ，由题 ，双曲线的一条渐近线方程为 即 ，
过该渐近线作垂线，则由题 ， ，
设 ，则由题 ， ， ，
所以 ， ，
所以在 中， ①，
在 中， ②，
在 中， ③，
由①②得 ，化简解得 ，
由①③得 ，化简解得 ，所以 ，
故双曲线的离心率 .
15．(1) (2)
【详解】（1）由 可知数列{a }是以公差 的等差数列,
n
又 得 ，
解得 ,
故 ，
即 .
（2）因为 ,
所以
.
16．(1)存在，P是 中点，证明见解析； (2) ．
【详解】（1）存在，证明如下：
在四棱柱 中，因为平面 平面 ，
所以可在平面 内作 ，
由平面几何知识可证 ，所以 ，可知P是 中点，
因为 平面 ，所以 平面 ．
即存在线段 的中点，满足题设条件．
满足条件的点只有一个，证明如下：
当 平面 时，因为 平面 ，
所以过 作平行于CQ的直线既在平面 内，也在平面 内，
而在平面 内过 只能作一条直线 ，
故满足条件的点P只有唯一一个．所以，有且只有 的中点为满足条件的点P，使直线 平面 ．
（2）过点D作 ，垂足为F，又因为 平面ABCD，
所以DA，DF， 两两互相垂直，
以D为坐标原点，分别以DA，DF， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立如图的空间直角坐标系 ，
则A(2,0,0)， ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为⃗n=(x,y,z)，
则有 即
令 ，得 ， ，所以 ．
设平面 的法向量为 ．
则有 即
令 ，得 ， ，所以 ．
所以 ．
故平面 与平面 所成的锐二面角的余弦值为 ．
17．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)
【详解】（1）设 ，则 ，
由于 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，
所以 在 上是增函数；
（2）因对定义域内的任意 ，有 ，
令 ，则有 ，
又令 ，得 ，
再令 ，得 ，从而 ，
于是有 ，所以 是偶函数．
（3）由于 ，所以 ，
于是不等式 可化为 ，
由（2）可知函数 是偶函数，则不等式可化为 ，
又由（1）可知 在 上是增函数，所以可得 ，
解得 ，所以不等式 的解集为 ．
18．（1）4.74；（2）能；（3） .
【详解】（1）由图可知，第三组和第六组的频数为 人
第五组的频数为 人
所以前四组的频数和为 人
而前四组的频数依次成等比数列
故第一组的频数为4人，第二组的频数为8人，第四组的频数为32人
所以中位数落在第四组，设为x，
因此有 （或 ）
解得
所以中位数是4.74
（2）因为
所以
所以
因此在犯错的概率不超过0.05的前提下认为视力与学习成绩有关系
（3）依题意按照分层抽样在不近视的学生中抽取了6人中年级名次在 名和
名的分别有2人和4人
从6人中任意抽取2人的基本事件共15个
至少有1人来自于1~100名的基本事件有9个所以至少有1人的年级名次在 名的概率为 .
19．(1) (2)12 (3)证明见解析
【详解】（1）由题意知 ，显然点 在直线 的上方，
因为直线 为 的等线，所以 ，
解得 ，所以 的方程为
（2）设P(x ,y )，切线 ，代入 得:
0 0
故 ，
该式可以看作关于 的一元二次方程 ，
所以 ，即 方程为
当 的斜率不存在时，也成立
渐近线方程为 ，不妨设 在 上方，
联立得 ，故 ，
所以 是线段 的中点，因为 到过 的直线距离相等，
则过 点的等线必定满足: 到该等线距离相等，
且分居两侧，所以该等线必过点 ，即 的方程为 ，
由 ，解得 ，故 .
所以 ，
所以 ，
所以 ，所以（3）
设 ，由 ，所以 ，
故曲线 的方程为
由（*）知切线为 ，也为 ，即 ，即
易知 与 在 的右侧， 在 的左侧，分别记 到 的距离为 ，
由（2）知 ，
所以
由 得
因为 ，
所以直线 为 的等线 .
