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陕西省西安中学高 2025 届高三摸底考试
数学参考答案
一. 选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D A A B C B
二. 选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分）
题号 9 10 11
答案 BCD ABD ACD
三、填空题：(本题共3小题，每小题5分，共15分.)
12. 60 13. 5 14.
三、解答题：(本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分)
15.（本小题满分13分）
解：（1）因为不等式 的解集为 ，
所以 和 为关于 的方程 的两根，且二次函数 的开口向上，
则可设 ， ，即 ，
由 的图象过点 ，可得 ，解得 ，
所以 ，即 . ...............................8分
（2）因为 ，对称轴 ，
因为 在 上是单调函数，所以 或 ，解得 或 ，
即实数 的取值范围 . ...............................13分
16.（本小题满分15分）
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学科网（北京）股份有限公司解： 由题意得， ，解得 ； ...............................6分
由题意知，X的所有取值为0，40，80，120，
则 ， ，
， ，
故X的分布列为
...............................12分
...............................15分
17.（本小题满分15分）
解： 零假设 周平均锻炼时长与年龄无关联，
由 列联表中的数据，可得 ，
根据小概率值 的独立性检验，我们推断 不成立，即认为周平均锻炼时长与年龄有关联
...............................6 分
抽取的8人中，周平均锻炼时长少于5小时的有 人，
不少于5小时的有 人， ...............................8分
则X所有可能的取值为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ， ， ， ...............................12
分
所以随机变量X的分布列为：
X 1 2 3
P
所以数学期望 ...............................15分
18.（本小题满分17分）
设 ， ， ， ，
其对称轴方程为 ，故函数在 上单调递增，
当 时， ，故所求值域为 ； ...............................5分
函数 的最小值为 ， ，
当 时， 在R上单调递增，没有最小值；
当 时，可知 时，y取得最小值 ；
即 ，解得 或 舍去 ，
综上， ； ...............................10
分
由题意， 有实数解，
即 ，可得 ，
摸底考试数学答案 第 3 页 共 4页
学科网（北京）股份有限公司要使此不等式有解，只需 即可，
当且仅当 时取等号 ，
，
，解得 ，
即实数a的取值范围为 ...............................17分
19.（本小题满分17分）
由表格中的数据，有 ，即 ，
所以模型①的 小于模型②，说明回归模型②刻画的拟合效果更好，
所以当 亿元时，研发改造直接收益的预测值为
亿元 ， ...............................5分
由已知可得： ，
，
所以 ，
所以当 亿元时，y与x满足的线性回归方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司当 亿元时，研发改造直接收益的预测值为 ；
当 亿元时，实际收益的预测值为 亿元 亿元，
所以研发改造投入20亿元时，公司的实际收益更大； ...............................10分
因为 ，
所以 ， ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
设每件F产品获得奖励为 万元 ，则Y的分布列为：
Y 0 2 5
P
所以每件F产品获得奖励的期望值为：
万元 ..........................17分
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