高三数学试卷_2027届2026年8月高三名校开学考试题（数学）_湖北武汉市部分高中2026-2027学年高三上学期收心考数学

高三数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项
是符合题目要求的。
 
1．集合A xN x22x30 ， ，则AB（ ）
=  ∣  ≤2
A．1,0,1,2 B．0,1,2 C．1,2 D．[1,2)
2．复数 （其中i为虚数单位），则z（ ）
−2
A．1  =i 1+  B．1i C．1i D．1i
3．已知一组数据a，b，1，3，5的平均数为3，方差为2，则ab=（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知等差数列{a }的前n项和为S ，若S 6，S 20，则S （ ）
n n 4 8 16
A．22 B．30 C．42 D．72
      
5．已知向量a，b满足 a 1，b 3，且满足 2ab  17 ，则ab的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
ax, x 1

6．若 f x a 是R上的单调递增函数，则实数a的取值范围为（ ）．
4 x2，x1
 2
A．0,8 B．1,8 C． D． 4,8
7．若 ，则(4,8] ＝（ ）
A．cos  −2sin  =B2．,sin  +2cos  =−1C． sin  −  D．
1 1 1 1
3 x2 y2 −3 2 −2
8．已知椭圆C:  1a b0的左焦点为F ，点P，Q在C上，PQ//x轴，若
a2 b2
24
PFQ90，且PFQ的周长为 a，则C的离心率为（ ）
7
1 1 1 1
A． B． C． D．
7 6 5 4
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9．已知2x1n的展开式一共有7项，则（ ）
A．n6 B．展开式中常数项为1
数学试题 第1页，共4页
{#{QQABbYQ54gg4gFbACS5KB0GECgiYkoMhJGoERRAaOAQKAYFABIA=}#}C．展开式中x3的系数为160 D．展开式的各项系数之和为64
10．如图是广场上供大家休息的石凳，这些石凳是由正方体截去八个
1
一样的四面体得到的，若截去的八个四面体体积和是 ，则正确的有
6
（ ）
A．该多面体有14个面 B．该多面体有24条棱
C．该正方体的棱长为2 D．该多面体表面积为3 3
11．已知函数 f x的定义域为R，且满足 f 3x1为奇函数， f x2为偶函数，且
18
 f i2，则下列说法正确的是（ ）
i1
A． f x为偶函数 B．2是 f x的一个周期
C． f x图象关于3,0对称 D． f 20262
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
π
12．函数ysin2x的图像向左平移 个单位长度后，得到的新函数为偶函数，若
3
0,π，则的值为______．
x2 y2
13．已知双曲线E:  1(a 0,b0) 的一条渐近线方程为l:y 3x，直线x 3y 0
a2 b2
与E交于M，N两点，分别过点M，N作l的垂线，垂足为P，Q．若四边形MPNQ的面
积为3 3，则E的虚半轴长为________．
14．南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三
角垛”.如图，“三角垛”共3层，最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，每
个球的半径都是1，且相邻两球两两相切，现将“三角垛”放在水平地面上，
（1）该“三角垛”最上面球的球心到地面的距离为__________；
（2）若该“三角垛”能放入一个正四面体容器内（厚度忽略不计），则该容器棱长的最小值
为__________.
数学试题 第2页，共4页
{#{QQABbYQ54gg4gFbACS5KB0GECgiYkoMhJGoERRAaOAQKAYFABIA=}#}四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15．(满分13分)已知ABC的三个角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足
cosA a

π 2cb .
sin( B)
2
(1)求角A的大小；
(2)若ABC的面积为 3，且a 6，求ABC的周长；
16．(满分15分)如图，在直四棱柱ABCDABC D 中，底面ABCD为梯形，AB  BC，
1 1 1 1
AB∥CD，BCCD3，AB  AA 6，AB 与AB交于点H.
1 1 1
(1)证明：直线DH∥平面BCC B .
1 1
(2)求平面BDH与平面ABD 夹角的余弦值.
1 1
17．(满分15分)2026年7月17日至20日，世界人工智能大会在上海举办，主题为“智能
伙伴 共创未来”，聚焦人工智能全球治理与产业应用，习近平主席出席开幕式并发表主旨
讲话。某校组织学生参加AI知识网络答题活动，为了解男女学生参与答题意愿的差异，
男生、女生各调查了100人.设事件A“学生愿意报名参加答题活动”，B“学生为男生”，
  2   1
据统计P A  ，P B|A  .
5 3
(1)根据已知调查样本完成下列22列联表，并依据小概率值0.001的独立性检验，能
否推断该校学生报名参加答题活动与性别有关？
性别 男生 女生 合计
不愿报名参加答题活动
愿意报名参加答题活动
合计 200
3
(2)网络答题规则：假设甲每道题回答是否正确相互独立，且每次答对的概率均为 .
5
数学试题 第3页，共4页
{#{QQABbYQ54gg4gFbACS5KB0GECgiYkoMhJGoERRAaOAQKAYFABIA=}#}若答题活动设置4道题，且答题规则如下：每次答一题，一旦答对，则结束答题；答错则
继续答题，直到4道题答完.已知甲同学报名参加答题活动，用X 表示甲同学本次答题的
题目数量，求X 的分布列和期望.
n(adbc)2
参考公式与数据：2  ，其中nabcd.
(ab)(cd)(ac)(bd)
 0.10 0.05 0.01 0.005 0.001
x 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
a
18．(满分17分)已知抛物线E:y2 2px (p 0)，直线l 与抛物线E相切，切点为A(1,2).
1
过点A作直线l 的垂线l ，点B在直线l 上（异于点A），以B点为圆心， AB 为半径作
1 2 2
圆与抛物线E交于C,D两点.
(1)求直线l 的方程;
1
(2)已知直线CD与l 相交，记直线AC的斜率为k ，直线AD的斜率为k ，则
1 1 2
（ⅰ）判断直线CD的斜率是否为定值，并说明理由.
（ⅱ）判断k k 是否为定值，并说明理由.
1 2
x
19.(满分17分)已知nN*,函数g  x n(1 )n，h  x (nx2)ex，
n
 
(1)当n15时，求函数h x 的极值;
 
(2)讨论函数g x 的单调性;
(3)证明:对x(,n]，h(x) g(x)恒成立.
数学试题 第4页，共4页
{#{QQABbYQ54gg4gFbACS5KB0GECgiYkoMhJGoERRAaOAQKAYFABIA=}#}