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绝密★启用前
线，垂足为P，且与双曲线C的左支交于点Q，若存在非零实数 使得 （O为坐标原点），则双曲线的
天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试
离心率为（ ）
高三年级数学试题卷
A． B． C． D．
本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分。考试时间120分钟。
注意事项： 6．已知 ，函数 恒成立，则 的最大值为（ ）
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
A．2 B．3 C．6 D．7
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干
7．已知抛物线 的焦点为F，F到直线 的距离为 ，P点的横坐标为 ，线段PF与抛物
净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
线交于点M，则以下正确的是（ ）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
A． B． ， ， 成等差数列
1．《红楼梦》四十一回中，凤姐为刘姥姥准备了一道名为“茄鲞”的佳肴，这道菜用到了鸡汤、鸡脯肉、香菌、
新笋、豆腐干、果干、茄子净肉七种原料，烹饪时要求香菌、新笋、豆腐干一起下锅，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
C．存在M点使得 是等边三角形 D．存在M点使得 是等腰直角三角形
鸡汤最后下锅，则烹饪“茄鲞”时不同的下锅顺序共有（ ）
A．6种 B．12种 C．36种 D．72种 8．已知 的展开式中，第3项的系数与倒数第3项的系数之比为 ，则展开式中二项式系数最大的项数
2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则 等于
为
（ ） A．3 B．4 C．5 D．6
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6
A． B． C． D．
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
3．《九章算术》中有如下问题：今有蒲生一日，长四尺，莞生一日，长一尺.蒲生日自半，莞生日自倍.意思是： 9．在三棱柱 中， ， ， 的中点为 ，则
今有蒲第一天长高四尺，莞第一天长高一尺，以后蒲每天长高前一天的一半，莞每天长高前一天的两倍.请问第几
（ ）
天，莞的长度是蒲的长度的4倍（ ）
A． B．
A．4天 B．5天 C．6天 D．7天
4．已知圆 ，圆 ，若圆 与圆 有公共点，则实数 的取值范
C． D．
围是（ ）
10．如图，一个正八面体的八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，
A． B． C． D．
观察它与地面接触的面上的数字 ，得到样本空间 ，设事件
5．已知 ， 分别是双曲线 （ ， ）的左、右焦点，过 作双曲线C的渐近线 的垂
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学科网（北京）股份有限公司为奇数 ，事件 ，事件 ，则（ ）
A． B．
C． D．
16．已知 ， 分别为双曲线 （ ， ）的左､右焦点，点 是双曲线 上一点.若第
11．下列数列中，为递增数列的是（ ）
A． B． C． D．
一象限的点 ， 是双曲线 上不同的两点，且 .
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
(1)求 的离心率；
12．已知 ，其中 是关于 的多项式，则
(2)设 ， 分别是 的左､右顶点，证明： .
；若 ，则 除以81的余数为 ．
13．古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了椭圆的光学性质：从椭圆的一个焦点射出的光线，经椭
圆反射，其反射光线必经过椭圆的另一焦点.设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，若从
的右焦点 发出的光线经过 上的点 和点 反射后，满足 ，且 ，则 的离心率为 .
17．已知函数 既存在极大值又存在极小值，求实数a的取值范围.
14．设 是无穷等差数列 的前 项和， ， ，则 的最大值为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．如图，在四棱锥 中， 是等边三角形，底面 为等腰梯形，
， ， ， ， .
(1)求证：平面 平面 ； 18．已知函数 ．
(2)若 为 的中点，求二面角 的余弦值.
（1）求证：在区间 上，函数 的图象恒在函数 的图象的下方;
（2）若存在 ， ，使 成立，求满足上述条件的最大整数m．
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学科网（北京）股份有限公司19．已知二项式 ，其中 ，且此二项式的 项的系数是
．
(1)求实数a的值；
(2)求 的值（结果可保留幂的形式）．
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