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秘密★启用前 7. 已知下图是一个边长为2的田字格(由4个边长为1的小正方形构成),田字格中
高三年级质量检测 有9 个节点(如图加黑的9个点),A,B,C 为这9个点中均不相同的三个点，则AC
·AB 的 最大值为
数 学
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、班级、考场号、座位号、考生号填写在答题卡上。
A.3 B.4 C.6 D.8
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡
8.已知实数x₁,Iz 是函数f(x)=Inx-kx+1(k∈(0,1),x₂0)是定义在R 上的偶函数，则φ的最小 D. 当 l, 的斜率存在时， 的取值范围为
11. 如图，在四面体ABCD 中 ，AB=AC,BD=CD, 记 BC 的中点为
线 A B C D
值为 T, 则下列正确的有
A. ∠ATD 是二面角A-BC-D 的平面角
姓 名
B.AD⊥BC
C.AB=DB 是 AT=DT 的充要条件
5.设 f(x) 是定义在R 上且周期为4的奇函数，当5≤x<6 时 ，f(x)=ax-4, 若
Q D. 若AD⊥ 平面 ABC, 则直线 DB,DT,DC 与平面ABC 所成的角可能都相等
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
,则实数a 的值为 12.若直线y=2x+a(a 为实数)是曲线y=In x+x+3的一条切线，则a=.
C D 13.已知等比数列{an}的前 n 项和为S, 若S₁₂=24,S₁8=36, 则 S₆=.
A.1 B.-1
数学试题 第2页(共4页)
6.经过点(一1,一1),半径为4的圆的圆心为 M, 则点M 到直线x-y-4=0 的距离
的最 大值为
A.4-2√2 B.2√2+4 C.4 D.4√2
数学试题 第1页(共4页)14.定义：max{a,b,c} 表示a,b,c 三个数中最大的数.将8个苹果分配给3个孩子，每 17. (15分)
个 孩子至少分得一个苹果，记三个孩子分得的苹果数分别为a,b,c. 从所有可能的 如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁ 中，上、下底面都是正三角形，AA₁⊥ 平面ABC,AB=
分配 方案中随机选择一种，记X=max{a,b,c}, 则X的数学期望E(X)=. AA₁=2A₁B₁=2,D 是线段AC 的中点，E,0 分别是线段C₁D,BC 的中点.
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 (1)求三棱台ABC-A₁B₁C₁ 的体积；
15. (13分) (2)证明：OE// 平面ABB₁A₁;
(3)求直线CC₁ 与平面ABB₁A, 所成角的正弦值.
已知数列(a〉满足：:a₁=3,a, 若数列{b。〉满足： ,求解下列问题.
(1)证明：{b。}为等差数列；
(2)求数列{an}的通项公式.
18. (17分)
16. (15分) 在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆 C: 的长轴长为2 √5,且C
某农业科研团队为探究不同的施肥种植方式对作物产量的影响，在一片试验田里，对
采用有机肥料种植的作物和化学肥料种植的作物进行研究.经统计，试验田里采用有 …
经过点
机肥料种植的作物有800株，采用化学肥料种植的作物有400株.现按分层随机抽 …
(1)求椭圆C 的标准方程.
样 的方法，从两类施肥种植的作物中一共抽取120株进行产量检测，以每株作物产
订
量达 到500克作为达标标准，得到以下部分列联表：
(2)已知直线l:y=kx+m(k,m∈R) 与椭圆C 相交于A,B 两
…
单位：株
点， (i) 若 m=1, 且 ,求k 的值； …
产量达标情况
施肥种植方式 合计 (ii)已知直线l 与圆x²+y²=1 相切，是否存在常数λ,使OA ·OB=λ? 若存 …
产量达标 产量不达标
在，请 求出λ的值；若不存在，请说明理由. …
有机肥料种植 60
…
化学肥料种植 20
…
合计 120
线
(1)请完成上述列联表； 19. (17分) …
(2)依据α=0.05的独立性检验，能否认为不同的施肥种植方式与作物产量达标情
…
况 有关联? 已知函数 为奇函数，且a,k∈R. 函数h(x)=In x+cos r.
(1)求a,k 的值 .
附 ,其中n=a+b+c+d. (2)(i) 设t 是函数h(x) 的一个极值点，证明：tsin t=1;
附表：
(ii) 证明：函数h(x) 有且仅有一个零点x。. (参考数据： .434,
α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001
x。 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
数学试题 第3页(共4页) 数学试题 第4页(共4页)
… … 装 … … … …
…高三年级质量检测
数 学 评 分 细 则
12.2 3.841, (12分)
13.12
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推
14.
断 H。不成立，即认为不同的施肥种植方式与
作物 产量达标情况有关联，此推断犯错误的概
率不大 于0.05.
15.解：(1)证明：因为 (15分)
17. 解：(1)在三棱台ABC-A₁B₁C₁ 中 ，AA₁⊥
(2分) 平 面ABC,
因为△ABC 与△A,B₁C₁ 分别是边长为2,1
(4分) 的 正三角形，
且因为 ,所以 所以 (1分)
所以{b。}是以1为
(2
首项，1为公差的等差数列. 分) 所 以
(8分)
(2)由(1)知b 。=1+(n-1)×1=n, (10分) 十
,所以
(4分)
(2)证明：连接A₁B,A₁D,A₁C, 如下图所示，
即数列{an}的通项公式为 (13分)
16.解：(1)采用有机肥料种植的作物抽取株数为
×120=80(株),因为抽取的有机肥料种
植的作物中产量达标的有60株，所以产量不达
标 的有20株.
采用化学肥料种植的作物抽取株数为
120=40(株),因为抽取的化学肥料
种植的作物中 产量不达标的有20株，所以产 因为 AB=2A₁B₁, 所以AC=2A₁C₁,
量达标的有20株. 完成后的列联表如下： 又 D 是AC 的中点，所以AC=2CD, (5分)
单位：株
所以A₁C₁=CD, (6分)
产量达标情况 又 A₁C₁//CD, 所以 A₁C₁CD 是平行四边形，所
施肥种植方式 合计
产量达标 产量不达标 以 E 是A₁C 的中点， (7分)
有机肥料种植 60 20 80 又O 是 BC 的中点，所以OE 是△A₁BC 的
化学肥料种植 20 20 40 中 位线，
所以OE//A₁B, (8分)
合计 80 40 120
又 因 为 OE 女 平 面 ABB₁A₁,A₁BC 平
(6分)
面 ABB₁A₁,
(2)零假设为 H₀: 不同的施肥种植方式与作物 所以OE// 平面ABB₁A₁ . (9分)
产 量达标情况无关联.
(3)以垂直于平面 AA₁C 的直线，以及AC,AA₁
所在的直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的
根据公式：
空 (第1页，共4页) ·
·数学评分细则间直角坐标系A-xyz,
易知点A(0,0,0),A₁(0,0,2),C₁(0,1,2),C(0,
由题意， ,解得 (9分)
2,0),B(V3,1,0),
则 AA,=(0,0,2),CC₁=(0,-1,2),AB= .
( √3,1,0), (11分)
设平面ABB₁A₁ 的法向量为n=(x,y,z), 则
由 得
令x=1, 得平面ABB₁A: 的一个法向量为n=
(1,一 √3,0), (13
分)
设直线CC₁ 与平面 ABB₁A₁ 所成的角为θ,
即直线CC₁ 与平面ABB₁A₁ 所成角的正弦值为
(15分)
18.解：(1)由已知椭圆的长轴长为2a=2 √5, 即
a= √5,
(1分) 又椭圆经过点 ,所以
,解 得b=1,
(3分) 故椭圆C 的标准方程为
(4分)
(2)(i) 若 m=1, 则直线l:y=kx+1, 设
A (x₁,y₁),B(x₂,y₂),
联立 消去y 得(1+5k²)x²+10kx=
0,故△=100k²>0, 即 k≠0.
则 (5分)
则OA·OB=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x:z₂+y₁y₂
=x₁x₂+(kx₁+1)(kx₂+1)
=(k²+1)x₁x₂+k(x₁+x₂)+1
(8
分)
·数学评分细则 (第2页，共4页) ·(ii) 不存在.
理由如下：因为直线l:y=kx+m 与圆x²+y²= 1
相切，
所以 ,即m²=1+k² . (10分)
联立 消去y 得(1+5k²)x²+10kmz+
5m²-5=0,
则△=(10km)²-4(1+5k²)(5m²-5)=20(5k²+
1-m²)=80k²>0, 则k≠0. (11分)
(12分) 则
OA·OB=(x₁,y1)·(z₂,y₂)=z₁z₂+y₁y₂
=x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)
=(k²+1)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²
(16分)
故不存在常数λ,使OA·OB=λ,λ 恒为定值(因
结果与k 有关). (17分)
19.解：(1)由2²-k≠0, 得2ᵗ≠k,
若k>0, 则定义域为(x|x≠log₂k}, 要使其关于 原
点对称，则log₂k=0, 解得k=1,
此时 ,由f (一x)=-f(x), 得
,得
,所以a+3 ·2²=a ·2+3, 整理得
(a-3)(2ᵗ-1)=0 对任意x≠0 恒成立，则a= 3;
(2分)
若k≤0, 则定义域为R, 则 f(0)=0, 即
解得 a=-3, 此 时 ,由
f(-x)=-f(x), 得
,得 ,所以 1-
k·2=2-k, 整理得(k+1)(2*-1)=0 对
·数学评分细则 (第2页，共4页) ·任意x∈R 恒成立，则k=-1. (4分)
综上，k=1,a=3 或 k=-1,a=-3. (5分) 故函数h(x) 在( 上单调递减，在
(x₁,π) 上
(2)(i) 证明：函数h(x)=1n x+cos x 的定义
域 为(0,+∞),
,令 h'(x)=0,
0, (6
分) 所以 ,所以
即 tsint=1. (8分)
(ii) 证明：存在性：因为
所以由零点存在定理可知，存在 ,使
得 h(x₀)=0; (10分)
唯一性： ,作
出 sin x 的大致图象如下图所
示，
因为
所以存在 ,使得
sin x₁=0,所以 (11分)
且当
·数学评分细则 (第3 页，共4页) ·单调递增，
cos +cos x₁=-In sin x₁+
cosx1, (12分)
,则
因为 ,所以
即g'(x)>0, (13分)
所以g(x)=-In sin x+cos x 在 单调递
增，所以
0.924>0,
即 时，h(x)min>0, (14分)
作出y=-1n x与y=cos x 的大致图象如下图 所示，
观察图象可知，若当 时 ，h(x)min>0, 则当
x∈(π, 十∞)时，h(x)>0,
综上，当工 时 ，h(x)>0, 函数 h(x)
·数学评分细则 (第3 页，共4页) ·无零点， (15分)
又 h(x)
在 上单调递减，1
当 时 单调递减，
所以h(m)>0,
所以h(x) 在(0,m) 上有 一个零点，h(x) 在
上无零点，故h(x) 在( )上只有一个
所以存在唯一实数
零点， (16分)
时，函数h(x) 有唯一的零点.
h'(x)<0,
综上，函数h(x) 有且仅有一个零点x.(17 分
所以 h(x)≤h(m),
)
·数学评分细则(第4页，共4页) ·高 三 年 级 质 量 检 测
数 学 参 考 答 案
1.D【 解析】A={x|x²<3}={z|—√30, 得 0 <
;令 f'(x)<0, 得 .故函数f(x) 在
故选A.
4.B【 解析】依题意， ,则φ= 上单调递增， 上单调递减，又
,又φ>0,则当k=-1 时，φ=
f(e-¹)=In e⁻¹-ke⁻¹+1=k(1-e-¹)>0,
f(1)=ln1—k·1+1=1—k>0,
故选B.
5.A 【解析】依题意，
,解得
a=1. 故选A.
6.B【 解析】依题意，点M 的 轨 迹 是 以 点( - 故B 错误.
1 , -1)为圆心，4为半径的圆，可得点 故选B.
(-1,-1) 到 直 线 x-y-4=0 的 距 9.ABD【 解析】由 cos A(1-sin C)=sin Acos
离 为 d₁= C, 得 cos A-cos Asin C=sin Acos C,得 cos
A= sin Acos C+cos Asin C,得cos
,设圆的半径为r, 所 A=sin(A+C)= sin B,
以 点M 到直线x-y-4=0 的距离的最大值为
d₁+ r, 即dmx=2√2+4.
故选B.
·数学答案(第1页，共6页) ·对于 A,B, 由 cos A=sin B, 可得 k (k≠0), 则
sin B,因为A,B∈(0,π), 且均
不为 ,且不为π,
2,则
则 或 B, 即
或 ,因为△ABC 为斜
三角形，故 ,即角B 为钝角，故A,B
均 正确；
对于C, 由 A 项已得角B 为钝角，则cos B<0,
因 为sin A>0,故sin A≠cos B,故C 错误；
对于D, 由正弦定理， ,又 cos A=
sin B,代入得 ,所
以 btan A,故D 正确.
故选ABD.
10.BC【 解析】对于A, 当AB 垂直于x 轴时，
AB的 长度最短为4,故A 错误；
抛物线的方程为y²=4x, 焦点F(1,0), 准线l:
x=-1, 设 A(x₁,y₁),B(x₂,y₂), 点 M
对于 B, 由抛物线的定义知， |AB|=|AF|+
|BF|=x₁+1+x₂+1=6, 有 x₁+x₂=4, 所以
M 到y 轴的距离 故B 正确；
对于C, 当直线AB 的斜率不存在时，
M(1,0),M 到y 轴的距离为1.
当直线AB 的斜率存在时，设为k(k≠0), 则直
线 AB 的 方 程 为 y=k(x-1), 联
立
得k²x²—(2k²+4)x+k²=0,
则 ,所以 M 到y 轴的距离为
综上，M 到y 轴的最小距离为1.故 C 正确；
对于D, 当直线 AB 的斜率存在时，同上设为
· 数学答案(第2页，共6页) ·因为k≠0, 所以1+k²>1, 所以 √ 1+k>1, 所以
2 √ 1+k²>2, 所以 , 即 0 <
,故D 错误.
故选BC.
11.ABC【 解析】对于A, 因为AB=AC,BD=CD,
BC 的中点为T, 所以 BC⊥AT,BC⊥DT, 所以
∠ATD 是二面角 A-BC-D 的平面角.故A
正确；
对于B, 因 为AT∩DT=T, 又AT,DTC 平面
ADT, 所 以 BC⊥ 平面 ADT, 又 ADC 平面
ADT, 所以AD⊥BC. 故B 正确；
对于C, 当 AB=DB 时 ，AC=DC,BC=BC, 所
以△ABC≌△DBC, 而 AT,DT 分别是△ABC
与△DBC 中边BC 上的中线，所以AT=DT.
当AT=DT 时，又∠ATB=∠DTB=90°,BT=
BT, 所以△ATB≌△DTB, 所以AB=DB,
故AB=DB 是 AT=DT 的充要条件，故C
正确；
对于D, 若 AD⊥平面ABC, 则直线 DB 与平面
ABC 所成的角为∠ABD, 直线 DT 与平面ABC
所成的角为∠ATD, 直线 DC 与平面ABC 所成
的角为∠ACD, 假设∠ABD=∠ATD=∠ACD,
则sin∠ABD=sin∠ATD=sin∠ACD, 得
,则 BD=TD=CD, 则 ∠DBT=
· 数学答案(第2页，共6页) ·∠DTB=∠DTC=∠DCT, 又∠DTB+∠DTC=
180°,所以∠DTB=∠DTC=90°, 所以∠DBT=
∠DCT=90°, 而过直线BC 外一点只有一条直
线 与直线BC 垂直，所以矛盾，故直线
DB,DT,DC
与平面ABC 所成的角不可能都相等.故D 错
误. 故选ABC.
12.2 【解析 设切点为(xo,y 。),
则 ,解得 x 。=1, 故切点
为 (1,4),将该点坐标代入直线方程y=2x+a,
得 4=2×1+a, 解得a=2.
13.12 【解析】由等比数列的性质可知 S₆,S₁₂-S₆,
Si8-S₁2 成等比数列，所以(S₁₂-S₆)²=
S₆(S₁₈-S₁₂), 即(24-S₆)²=S₆×(36-24), 解
得 S₆=12 或 S₆=48,
当 S₆=48 时 ，S₆,S₁₂-S₆,S₁8-S₁₂ 所成等比数
列的公比 ,故舍去.
14. 【解析】因为三个孩子分得的苹果数分别为
a,b,c, 所以a+b+c=8, 又每个孩子至少分得
一 个苹果，所以，相当于8个苹果分成3份，
且每份 至少有一个苹果，即用2个隔板插人7
个空，则有 C²=21 种，因为X=max{a,b,c},
所以X=3,4,
5,6,且各孩子分得的苹果数分别为(a,b,c), 其
中X=3 的情况有(2,3,3),(3,2,3),(3,3,2)
共 3种情况，即
X=4 的情况有(4,2,2),(2,4,2),(2,2,4),
(4,1,3),(4,3,1),(1,4,3),(3,4,1),(1,3,4),
(3,1,4)共9种情况，即
X=5 的情况有(5,1,2),(5,2,1),(1,5,2),
(2,5,1),(1,2,5),(2,1,5)共6 种情况，即
X=6 的情况有(6,1,1),(1,6,1),(1,1,6)共3
种情况，即
·数学答案(第3页，共6页) ·15.解：(1)证明：因为 ,所以
(2分)
(4分)
且因为 ,所以
所以{b,}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(8分)
(2)由(1)知b 。=1+(n-1)×1=n, (10分)
,所以
即数列(a 。}的通项公式为 (13分)
16.解：(1)采用有机肥料种植的作物抽取株数为
(株),因为抽取的有机肥料种 植
的作物中产量达标的有60株，所以产量不达标 的
有20株.
采用化学肥料种植的作物抽取株数
120=40(株),因为抽取的化学肥料种植的作物中 产
量不达标的有20株，所以产量达标的有20株. 完
成后的列联表如下：
单位：株
产量达标情况
施肥种植方式 合计
产量达标 产量不达标
有机肥料种植 60 20 80
化学肥料种植 20 20 40
合计 80 40 120
(6分)
(2)零假设为H₀: 不同的施肥种植方式与作物产 量
达标情况无关联.
3.841, (12分)
根据小概率值α=0.05的独立性检验，我们推断
H。不成立，即认为不同的施肥种植方式与作物 产
量达标情况有关联，此推断犯错误的概率不大 于
0.05. (15分)
17. 解：(1)在三棱台 ABC-A₁B₁C₁ 中 ， 平 面
ABC,
·数学答案(第3页，共6页) ·因为△ABC 与△A₁B₁C₁ 分别是边长为2,1 (1,一 √3,0), (13分)
的 正三角形， 设直线CC₁ 与平面ABB₁A₁ 所成的角为θ,
所以 (1分)
(2
分) 所 以
即直线CC₁ 与平面ABB₁A₁ 所成角的正弦值为
(15分)
(4分) 18.解：(1)由已知椭圆的长轴长为2a=2√5, 即 a=
(2)证明：连接A₁B,A₁D,A₁C, 如下图所示， √5, (1
分) 又椭圆经过
,解 得 b=1,
(3分) 故椭圆C 的标准方程
(4分)
(2)(i) 若 m=1, 则直线l:y=kx+1, 设
因为AB=2A₁B₁, 所以AC=2A₁C₁, A (x₁,y₁),B(x₂,y₂),
又D 是AC 的中点，所以AC=2CD, (5分)
所以A₁C₁=CD, (6分)
又A₁C₁//CD, 所以A₁C₁CD 是平行四边形，所 联立 消去y 得(1+5k²)x²+10kx=
以 E 是 A₁C 的中点， (7分) 0,故△=100k²>0, 即 k≠0.
又 O 是 BC 的中点，所以OE 是△A₁BC 的
中 位线， 则 (5分)
所以OE//A₁B, (8分) 则OA·OB=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁z₂+y₁y₂
又 因 为 OE 女 平 面 ABB₁A₁,A₁BC 平 三x₁x₂+(kx₁+1)(kx₂+1)
面 ABB₁A₁, =(k²+1)x₁x₂+k(x₁+x₂)+1
所以OE// 平面ABB₁A₁ . (9分)
(3)以垂直于平面 AA₁C 的直线，以及AC,AA₁
所在的直线分别为x,y,z 轴建立如图所示的
空 间直角坐标系A-xyz, (8分)
易知点A(0,0,0),A₁(0,0,2),C₁(0,1,2),C(0,
2,0),B(3,1,0), 由题意， ,解得 . (9
则 A A ₁= ( 0,0,2),CC₁=(0,—1,2),AB= 分) (ii) 不存在.
( √3,1,0), (11分) 理由如下：因为直线l:y=kzx+m 与圆
x²+y²= 1相切，
设平面ABB₁A₁ 的法向量为n=(x,y,z), 则
由 得 ,即m²=1+k² . (10分)
令x=1, 得平面ABB₁A₁ 的一个法向量为 n=
·数学答案(第4页，共6页) ·联立 消去y 得(1+5k²)x²+10kmz+
·数学答案(第4页，共6页) ·5m²-5=0, (2)(i) 证明：函数h(x)=1n x+cos
则△=(10km)²-4(1+5k²)(5m²-5)=20(5k²+ x 的定义域 为(0,+∞),
1-m²)=80k²>0, 则 k≠0. (11分)
,令h'(x)=0,
(12
分) 则 OA·OB=(x₁,y₁)·(x₂,y₂)=x₁x₂+y₁y₂
三x₁x₂+(kx₁+m)(kx₂+m)
=(k²+1)x₁x₂+km(x₁+x₂)+m²
(16
分) 故不存在常数λ,使OA·OB=λ,λ 恒为定
值(因 结果与k 有关).
(17分)
19.解：(1)由2ˣ—k≠0, 得2ˣ≠ k,
若k>0, 则定义域为{x|x≠log₂k}, 要使其关
于 原点对称，则log₂k=0, 解得k=1,
此时 ,由f (一x)=-f(x), 得
, 得
,所以a+3·2ˣ=a·2+3, 整理
得 (a-3)(2ˣ-1)=0 对任意x≠0 恒成立，则
a=
3; (2
分) 若k≤0, 则定义域为R, 则 f(0)=0, 即
解得 a=-3, 此 时
由 f (一x)=-f(x),
得
,得 · ,
所以 1—k·2²=2ˣ—k, 整理得(k+1)(2²-1)=0
对 任意x∈R 恒成立，则k=-1.
(4分) 综上，k=1,a=3 或 k=-1,a=-3.
(5分)
·数学答案(第5页，共6页) ·0, (6分)
所以 ,所以
即tsin t=1. (8分)
(ii) 证明：存在性：因为
所以由零点存在定理可知，存在 ,使
得 h(x₀)=0; (10分)
唯一性： ,作出 与 sin x
的大致图象如下图所示，
所以存在 ,使得
sin x₁=0,所以 (11分)
且当
故函数h(x) 在 )上单调递减，在(x₁,π) 上 单调递
增，
cos +cos x₁=-In sin x₁+
·数学答案(第5页，共6页) ·cos x1, (12分)
,则 观察图象可知，若当 时 ，
h(x)m:>0, 则当x∈[π, 十∞]时，h(x)>0,
时 ，h(x)>0, 函数 h(x)
无零点， (15分)
当 单调递减，
因为 ,所以 cos x∈
当x→0 时 ，h'(0)→+∞; 当 时
所以存在唯一实数
即 g'(x)>0, (13分)
h'(x)<0,
所以h(x)≤h(m),
上 单调递增，所以
又 h(x) 在 上 单 调 递 减 ，
h
所以h(m)>0,
0.924>0,
所以h(x) 在(0,m) 上有一个零点，h(x) 在
即 时，h(x)m:>0, (14
上无零点，故h(x) 在 上只有一
分) 作出y=-In x 与y=cos x 的大致图象
个 零点， (16
如下图 所示，
分)
即当 时，函数h(x) 有唯一的零点.
综上，函数h(x) 有且仅有一个零点xo.(17 分
)
·数学答案(第6页，共6页) ·
