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天立教育2025－2026学年秋期入学联合考试
高三年级数学参考答案及评分细则
第Ⅰ卷 选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B D B C A D B B
题号 9 10 11
答案 ACD ABC AD
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．B
【分析】将香菌、新笋、豆腐干看作一个元素，利用捆绑法结合倍缩法求解.
【详解】因为香菌、新笋、豆腐干一起下锅，把它们捆绑在一起，看作一个元素，
此时共有5个元素，其中鸡汤最后下锅，放在最后一个位置，茄子净肉在鸡脯肉后下锅，
定序问题用倍缩法，共有 种不同的排列方式.
故选：B.
2．D
【分析】根据给定条件探求出 ，再借助向量积计算作答.
【详解】因空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都为a，则 ，
，即 ，
因E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则有 ，即有 ， ，
而 ，则 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 等于 .
故选：D
3．B
【解析】由蒲生长构成首项为 ，公比为 的等比数列，其前 项和为 ，又由莞生长构成首项
为 ，公比为 的等比数列，其前 项和为 ，根据 ，列出方程，即可求解.
【详解】由题意，蒲第一天长高四尺，以后蒲每天长高前一天的一半，所以蒲生长构成首项为 ，公比为
的等比数列，其前 项和为 ，
又由莞第一天长高一尺，每天长高前一天的两倍，则莞生长构成首项为 ，公比为 的等比数列，其前
项和为 ，
又因为 ，即 ，解得 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查了等比数列的实际应用，其中解答中认真审题，熟练应用等比数列的通项公式和前 项和公
式，列出方程求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
4．C
【分析】根据两圆的位置关系建立圆心距与半径关系的不等式，求解即可.
【详解】圆 的方程可化为 ，则圆心为 ，半径 ；
圆 的方程可化为 ，则圆心为 ，半径 ．
圆 与圆 有公共点，
，
即 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得 ．
故选：C
5．A
【分析】先求得 ，然后利用余弦定理列方程，化简求得 ，进而求得双曲线的离心率.
【详解】因为存在非零实数 使得 ，所以 ，O是 的中点，所以Q为 的中点，
因为 ，所以点 到渐近线 ，即 的距离 ，
又 ，所以 ，
，则由双曲线的定义可知 ，
在 中，由余弦定理，得 ，
整理，得 ，
所以双曲线的离心率为 .
故选：A
6．D
【分析】由题意函数 恒成立，可得到 为正奇数，讨论 的范围，参变分离转化成恒成立问题，
定义新函数求导求最小值，从而得到 的最大值.
【详解】当 为正偶数时，当 时， ，不合题意，所以 为正奇数，
则当 时， 恒成立，只需研究 时， 恒成立即可，
当 时， 成立，则当 时， ，因为此时 ，所以恒成立.
当 时， 恒成立，
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学科网（北京）股份有限公司设 ，则 ，
令 ，得 ，
当 时， ， 单调递减，
当 时， ， 单调递增，
所以 ，又因为 为正奇数，
所以 的最大值为7.
故选：D
7．B
【分析】利用点直线的距离公式即可判断A；根据抛物线的定义和两点坐标求距离公式即可判断B；利用反证法即
可判断C、D；
【详解】A：F的坐标为 ，因为F到直线 的距离为 ，
所以 ，所以 ，所以A不正确；
B：设点 在 轴上方，则直线PF的斜率为 ，
所以直线PF的方程为 ，所以点 ，
所以 ，由选项A可知， ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ， ， 成等差数列，故B正确；
C：若存在M点使得 是等边三角形，
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学科网（北京）股份有限公司则 边长为1，且M点的横坐标 ，纵坐标为 ，此 ，
所以 不可能是等边三角形，故C错误：
D：若存在M点使得 是等腰直角三角形，
则必有 ，故D错误.
故选：B
8．B
【分析】由已知，根据给的式子写出其通项，分别写出第3项的系数与倒数第3项的系数得到关于 的方程，先求
解出 ，即可确定其展开式二项式系数最大在第几项.
【详解】 的展开式通项为 ，
第3项为 ，其系数为 ，
倒数第3项为 ，其系数为 ，
由题意， ，所以 ，
所以展开式中二项式系数最大的项为 ，即为展开式的第4项.
故选：B.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得 6
分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9．ACD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用三棱柱性质可得A正确，再根据空间向量的运算法则计算可得B错误，C正确，由模长以及夹角余
弦值计算可得D正确.
【详解】对于A，由题意得 ，可知A正确；
对于B， ，即B错误；
对于C， ，即C正确；
对于D，易知
，即D正确.
故选：ACD
10．ABC
【分析】对于AD：根据概率的性质结合古典概型分析求解；对于BC：根据概率性质结合条件概率分析求解.
【详解】由题意可知： ，
可得 .
对于选项A：因为 ，则 ，
所以 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，则 ，
可得 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C：因为 ，所以 ，故C正确；
对于选项D：因为 ，所以 ，故D错误；
故选：ABC.
11．AD
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学科网（北京）股份有限公司【分析】利用数列的单调性的定义逐项判断即可.
【详解】对于A. ，所以 ，
所以 为递增数列，故A正确；
对于B， ，所以 为递减数列，故B错误；
对于C，因为 ，则 ， ，所以 不单调，故C错误；
对于D， ，所以 ，所以 为递增数列，故D正确.
故选：AD.
第Ⅱ卷 非选择题
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12． 18 32
【分析】将 化为 ，展开后观察对应项可得；先求x，然后将 转化为 ，展开可
得.
【详解】因为
所以 ，所以 ， ，所以 ．
若 ，即 ，则 ，
所以
故所求的余数为32．
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：18,32
13． /
【分析】由题意，作图，利用三角函数的性质，可设线段的表示，根据齐次方程的思想，可得答案.
【详解】由题意，可作图如下：
则 ， ，
即 ，
可设 ， ， ，
由 ，则 ，即 ，
，在 中， ，
则 .
故答案为： .
14．30
【分析】根据给定条件，利用等差数列的性质求出数列 所有非负数项即可作答.
【详解】在等差数列 中， ，则 ，而 ，
于是 ，公差 ，因此 ，
由 ，得 ，显然数列 是递减等差数列，前6项都是非负数，从第7项起为负数，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最大值为 .
故答案为：30
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）作辅助线，借助三角形全等得到 ，证明 ， ，进而证明 平面
，再利用面面垂直的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，求相关点及向量的坐标，再求平面 、平面 的法向量，利用向量的夹角公式
求二面角 的余弦值即可.
【详解】（1）因为 是等边三角形，所以 .
如图，延长 交于点 ，连接 ，
因为底面 为等腰梯形，所以 ，
所以 ，故 ，
因为 ， ， ，
所以 为 的中位线，所以 ，
在 中， ，利用余弦定理可得 ，可得 ，
所以 ，所以 ，
同理可得 .
又 平面 ， ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由（1）知以 为坐标原点，以 与线段 的中点所在直线为 轴，过 且平行于 的直线为 轴， 为
轴建立如图所示的空间直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ， ， ， ， ，
所以 ， ， ， .
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，解得 ，
取 ，则 ，
设平面 的法向量为 ，
则由 得 ，取 ，则 .
则 ，
易知二面角 为锐二面角，所以二面角 的余弦值为 .
16．(1)
(2)证明见解析
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学科网（北京）股份有限公司【分析】（1）由双曲线的定义得出 ，再由点 代入双曲线的方程求出 ，最后求出 的离心率；
（2）由两角差的正切公式结合斜率公式得出 ，再由 ， 证明
.
【详解】（1）由题意知 ，即 ，（双曲线的定义）所以 .
将 代入双曲线的方程得 ，解得 ，
所以 ，故 的离心率 .
（2）由（1）可知双曲线 的方程为 ， ， .
不妨设点 在 的上方， ， .
则 ， ，（点拨：直线的斜率等于其倾斜角的正切值）
又 ， ，所以 ， ，
则
.（两角差的正切公式的应用）
又 ， ，
所以
，所以
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学科网（北京）股份有限公司又 ， ，所以 .
17．
【分析】函数 既存在极大值又存在极小值等价于方程 在区间 上有两个不相等
的实数根，得到不等式组，解出答案即可
【详解】解：由 可得 ，
∵ 既存在极大值又存在极小值，
∴方程 在区间 上有两个不相等的实数根，
需满足 ，
解得 ，
故所求实数a的取值范围为 .
18．（1）证明见解析；（2）4．
【分析】（1）由题转化为 在区间 上恒成立，即证；
（2）由题知 ，即求.
【详解】（1）设 ，
则 ，
在区间 上， ， ，
所以当 时， ， 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司且 ，
故 时， ，
所以 ，
所以在区间 上函数 的图象恒在函数 的图象的下方．
（2）由 ，得 ，
当 时， ，
所以 ，
．
存在 ， ，使 成立等价于 ，
即 ，
，
故满足条件的最大整数 为4．
19．(1)
(2)
【分析】
（1）根据二项式的 项的系数是 解得 的值；
（2）运用赋值法解决问题，先对已知的二项式中的 赋值 ，再对已知的二项式中的 赋值 ，得到两个方程，联
立方程组求解得出答案.
【详解】（1）解：（1）二项式 的展开式中含 的项为 ，
∴ ，
则 ，
又 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司（2）由（1）可得 ，
令 ，则 ①，
令 ，则 ②，
∴由① ＋② 可得： ；
由① －② 可得： ．
∴ .
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