文档内容
2023 年重庆一中高 2024 届高三上期开学考试
数学测试试题卷
注意事项：
1.答题前，考生务必用黑色碳索笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填
写清楚.
2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在本卷或者草稿纸上无效.
3.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时120分钟.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 集合 的真子集个数为（ ）
A. 7 B. 8 C. 15 D. 16
2. 已知符号函数 则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知函数 ，则 （ ）
A. B. 0 C. 4 D. 6
4. 一组数据按从小到大的顺序排列如下： ，经计算，该组数据中位数是16，若
分位数是20，则 （ ）
A. 33 B. 34 C. 35 D. 36
5. 已知 是定义在 上的奇函数. ，且当 时， ，
则 （ ）
A. 0 B. C. 1 D. 2
第1页/共5页
学科网（北京）股份有限公司6. 已知 为 中不同数字的种类，如
，记“ ”为事件 ，则事件 发生的概率 （
）
A. B. C. D.
7. 设 分别为椭圆 的左右焦点，M为椭圆上一点，直线 分别交椭圆
于点A，B，若 ，则椭圆离心率为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知实数 满足： ，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知实数 满足 ，则（ ）
A. B.
C. D.
10. 某儿童乐园有甲，乙两个游乐场，小王同学第一天去甲、乙两家游乐场游玩的概率分别为 0.3和0.7，
如果他第一天去甲游乐场，那么第二天去甲游乐场的概率为 0.7；如果第一天去乙游乐场，那么第二天去
甲游乐场的概率为0.6，则王同学（ ）
A. 第二天去甲游乐场的概率为0.63
B. 第二天去乙游乐场的概率为0.42
C. 第二天去了甲游乐场，则第一天去乙游乐场的概率为
第2页/共5页
学科网（北京）股份有限公司D. 第二天去了乙游乐场，则第一天去甲游乐场的概率为
11. 设 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 的最大值为 B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
.
12 已知函数 （ ）
A. 若 ，则 是增函数
B. 若 ，则
C. 若 ，则 可能有两个零点
.
D 若 ，则
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 若随机变量 ，且 ，则 ________.
14. 二项式 展开式的常数项是__________.
15. 已知函数 满足 ，若 在其定义域内单调递减，则正实数m
的取值范围为_________.
16. 已知函数 定义域为 ， ，且满足 ，其中 为 的导函数，若
第3页/共5页
学科网（北京）股份有限公司不等式 恒成立，则正实数 的最小值
为_________.
四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知正方体 的棱长为2，设 分别为棱 的中点.
（1）证明： 平面 ；
的
（2）求二面角 平面角的余弦值.
18. 设等差数列 的前 项之和为 ，且满足： .
（1）求 的通项公式；
（2）设 ，求证： .
19. 已知 、 分别为定义域为 的偶函数和奇函数，且 .
（1）求 的单调区间；
（2）对任意实数 均有 成立，求实数 的取值范围.
20. 甲、乙两人轮流投篮，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投球 次时投篮结束，
其中 为给定正整数.设甲每次投中的概率为 ，乙每次投中的概率为 ，且各次投篮互不影响.
（1）当 时，求甲获胜的概率；
第4页/共5页
学科网（北京）股份有限公司（2）设投篮结束时甲恰好投篮 次，求 的数学期望 .（答案用含 的最简式子表示）.
21. 已知椭圆 的左顶点为 ，上顶点为 ，右焦点为 ，设 为坐标原点，
线段 的中点为 ，且满足 .
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设点 ，圆 过 且交直线 于 两点，直线 分别交 于另一点
（异于点 ）.证明：直线 过定点，并求出该定点的坐标.
.
22 已知函数 .
（1）设 ，经过点 作函数 图像的切线，求切线的方程；
（2）若函数 有极大值，无最大值，求实数 的取值范围.
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