文档内容
陕西省西安中学高 2025 届高三摸底考试
数学试题
（时间：120分钟 满分：150分 命题人：薛恒）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．
1.若集合 ， ，则 ( )
A. B. C. D.
2.下列说法正确的是( )
A. 若 ，则 B. 若 ，则
C. 若 ，则 D. 若 ，则
3.已知a， ，则“ ”是“ ”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.随机变量 的分布列如下表：
0 1
P a b
若 ，则 ( )
A. B. C. D.
5.若命题“ ， ”为真命题，则实数a可取的最小整数值是( )
A. B. 0 C. 1 D. 3
摸底考试数学试题第1页，共1页
学科网（北京）股份有限公司6．假设甲和乙刚开始的“日能力值”相同，之后甲通过学习，“日能力值”都在前一天的基础上
进步2%，而乙疏于学习，“日能力值”都在前一天的基础上退步1%.那么，大约需要经过（
）天，甲的“日能力值”是乙的20倍（参考数据： ， ， ）
A．85 B．100 C．150 D．225
7.某市抽调5位老师分赴3所山区学校支教，要求每位老师只能去一所学校，每所学校至少安排
一位老师.由于工作需要，甲、乙两位老师必须安排在不同的学校，则不同的分派方法的种数是(
)
A. 124 B. 246 C. 114 D. 108
8.已知函数 且 ，若函数 的值域为R，则实数a的取
值范围是( )
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要
求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
9.下列运算结果为1的有( )
A. B.
C. D.
10.设 ， ， ，则( )
A. ab的最大值为 B. 的最小值为
C. 的最小值为8 D. 的最小值为
11.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，则下列正确的有( )
摸底考试数学试题第2页，共1页
学科网（北京）股份有限公司A. 从甲袋中每次任取一个球不放回，则在第一次取到白球的条件下，第二次取到红球的概率为
B. 从甲袋中随机取出了3个球，恰好是2个白球1个红球的概率为
C. 从乙袋中每次任取一个球并放回，连续取6次，则取得红球个数的数学期望为4
D. 从甲袋中任取2个球放入乙袋，再从乙袋中任取2个球，则从乙袋中取出的是2个红球的概率
为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
12.在 二项式展开式中，常数项为__________.
13.已知样本 ， ， 的平均数为2，方差为1，则 ， ， 的平均数为__________.
14.定义： 表示不等式 的解集中的整数解之和.若 ，
， ，则实数a的取值范围是__________.
四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分．
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．已知二次函数 的图象过点 ，且不等式 的解集为 .
(1)求 的解析式；
(2)设 ，若 在 上是单调函数，求实数 的取值范围.
16．甲、乙两人进行知识答题比赛，每答对一题加20分，答错一题减20分，且赛前两人初始积
分均为60分，两人答题相互独立.已知甲答对每题的概率均为p，乙答对每题的概率均为
，且某道题两人都答对的概率为 ，都答错的概率为
摸底考试数学试题第3页，共1页
学科网（北京）股份有限公司求p，q的值;
乙回答3题后，记乙的积分为X，求X的分布列和期望
17.随着经济的发展，富裕起来的人们健康意识日益提升，越来越多的人走向公园、场馆，投入健
身运动中，成为一道美丽的运动风景线，某兴趣小组为了解本市不同年龄段的市民每周锻炼时长
情况，随机抽取400人进行调査，得到如下表的统计数据：
周平均锻炼时间少于5小时周平均锻炼时间不少于5小时 合计
50岁以下 80 120 200
50岁以上 含 50 150 200
合计 130 270 400
根据表中数据，依据 的独立性检验，能否认为周平均锻炼时长与年龄有关联？
现从50岁以上 含 的样本中按周平均锻炼时间是否少于5小时，用分层随机抽样法抽取8
人做进一步访谈，再从这8人中随机抽取3人填写调査问卷，记抽取3人中周平均锻炼时间不少
于5小时的人数为X，求X的分布列和数学期望.
参考公式及数据： ，其中
18.已知函数
当 时，求 的值域；
若 最小值为 ，求m的值；
在 的条件下，若不等式 有实数解，求实数a的取值范围．
19.创新是民族的灵魂，某大型企业对其产品进行研发与创新，根据市场调研与模拟，得到研发投
入 亿元 与研发创新的直接收益 亿元 的数据统计如下：
摸底考试数学试题第4页，共1页
学科网（北京）股份有限公司x 2 3 4 6 8 10 13 21 22 23 24 25
y 13 22 31 42 50 56 58 68 66 66
当 时，建立了y与x的两个回归模型：模型①： ；模型②：
；当 时，确定y与x满足的线性回归方程为：
根据下列表格中的数据，比较当 时模型①、②的决定系数 ，并选择拟合精度更高、
更可靠的模型，预测该企业对产品创新改造的投入为17亿元时的直接收益．
回归模型 模型① 模型②
回归方程
附：刻画回归效果的决定系数 ， ，决定系数数值越大，说明拟合效
果越好
为鼓励科技创新，当研发的投入不少于20亿元时，国家给予公司补贴收益10亿元，以回归方
程为预测依据，比较研发改造投入17亿元与20亿元时公司实际收益的大小．
附： ，
研发改造后，该公司F产品的效率X大幅提高，X服从正态分布 ，公司对研发团
队的奖励方案如下：若F产品的效率不超过 ，不予奖励；若F产品的效率超过 但不超过
，每件F产品奖励2万元；若F产品的效率超过 ，每件F产品奖励5万元．求每件F产
品获得奖励的数学期望．
摸底考试数学试题第5页，共1页
学科网（北京）股份有限公司附：随机变量 服从正态分布 ，则 ，
摸底考试数学试题第6页，共1页
学科网（北京）股份有限公司
