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十堰市#$#%年高三年级元月调研考试
数学参考答案
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+!0!由题意知’! 解得 则该圆锥的母线长为槡’#)(#,*!
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3!2!因为角!的终边过点/"’!!"%!所以456!,’"!456#",456"!) %, ,’ !
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由456#", ! # ’ 45 45 6 6 " # " ,’ + % !解得456",’ ! + 或456",+!又因为!) % ! 是第二象限角!所以 "
是第一或第三象限角!所以456",+!
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"!0!设切点为""!#)76"%!因为"#)76"0%, !所以-, !又因为切点""!#)76"%在
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直线1,-"),上!所以#)76",-"),,!),!解得,,!)76"!所以-),,!) )
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8/6
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因为/"#&#%, 9 , ,/"#%’/"#%!所以.错误!
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因为/"#&#%, 9 , ,/"#%’/"#%!所以&正确!
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因为/"#&#%,$,/"#%’/"#%!所以0错误!
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因为/"#&#%,$,/"#%’/"#%!所以2错误!
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!高三数学"参考答案!第!!!!!页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABBYQEggCgQBIAABgCQQ3KCgAQkAACCCoOwAAIsAAAABFABCA=}#}
书书书!
1!&0!对于.!甲组样本数据的平均数为 9"!)#)#)")()!$%,*!乙组样本数据的平均
3
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数为 9"+)+)*)3)1)!$%,3!.错误!
3
对于&!甲组样本数据的极差为!$’!,1!乙组样本数据的极差为!$’+,"!&正确!
!
对于0!甲组样本数据的方差为 9$%#)+#)+#)##)+#)*##,!#!乙组样本数据的方差为
3
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9$+#)+#)!#)$)+#)%##, !0正确!
3 +
对于2!39"*:,%!*!故甲组样本数据的第"*百分位数为(!乙组样本数据的第"*百分位
数为1!2错误!
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!* +槡!$
正确(因为;<=)!!"*, , !所以0正确(!在"方向上的投影向量的坐标为
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9 ,+","3!’+%!则2正确!
-"- -"-
!!!&02!对于.!因为$"$!*%!%"’*!$%!所以直线$%的方程为"’1)*,$!圆心+"’+!
-’+’%)*-
%%到直线$%的距离为 ,槡#!又因为圆+的半径’,#槡#!所以直线$%截圆
槡!#)"’!%#
+所得的弦长为#9槡(’"槡#%#,#槡3!.错误!
对于&!易知-$%-,*槡#!要想//$%的面积最大!只需点/到直线$%的距离最大!而点
!
/到直线$%的距离的最大值为#槡#)槡#,+槡#!所以//$%的面积的最大值为 9+槡#
#
9*槡#,!*!&正确!
对于0!当点/在直线$%上方时!点/到直线$%的距离的范围是"$!’)槡#%!即"$!
+槡#%!由对称性可知!此时满足到直线$%的距离为槡#的/点位置有#个!当点/在直线
$%下方时!点/到直线$%的距离的范围是"$!’’槡##!即"$!槡##!此时满足到直线$%的
距离为槡#的/点位置只有!个!综上所述!满足到直线$%的距离为槡#的/点位置共有+
个!0正确!
110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110 110
对于2!由题意知/$’/%,"/+)+$%’"/+)+%%,/+#)/+’"+$)+%%)+$’+%!
110 110 110 110
又因为$"$!*%!%"’*!$%!+"’+!%%!所以+$,"+!!%!+%,"’#!’%%!故+$’+%,+9
110 110 110 110 110 110
"’#%)!9"’%%,’!$!+$)+%,"!!’+%!设点3""!1%满足+$)+%,+3!则+3,
$ $
"")+!1’%%!故
&"
$
)+,!!
解得
&"
$
,’#!
即3"’#!!%!-+ 110 3-,槡!$!所以/ 110 $’/ 110 %
$ $ 1’%,’+! 1,!!
$ $
110 110 110 110 110 110 110 110 110 110
,/+#)/+’"+$)+%%)+$’+%,()-/+-’-+3-’;<=)/+!+3*’!$,’#)#槡#9
110 110 110 110 110 110
槡!$;<=)/+!+3*,’#)%槡*;<=)/+!+3*!又因为%槡*;<=)/+!+3*+$’%槡*!%槡*#!所
110 110 110 110
以’#)%槡*;<=)/+!+3*+$’#’%槡*!’#)%槡*#!即/$’/%的取值范围为$’#’%槡*!
’#)%槡*#!2正确!
!#!.02!对于.!取$% 的中点4!连接54!36"图略%!易知4也是36的中点!在/$%5
! !
中!因为5$,5%!4为$% 的中点!所以54.$%!在/365中!因为53,56!4为36
! ! !
!高三数学"参考答案!第!!!!#页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABBYQEggCgQBIAABgCQQ3KCgAQkAACCCoOwAAIsAAAABFABCA=}#}的中点!所以54.36!又因为$%!362平面$%%$!所以54.平面$%%$!又因为
! ! ! ! !
542平面$%5!所以平面$%5.平面$%%$!.正确!
! ! ! !
! !
对于&!设点% 到平面%+3的距离为(!易知7 , 9#9槡*’!,#!7 , 9#
! /%+3 # /%%!3 #
! !
9#,#!因为8 ,8 !所以 9#(, 9#9槡+!解得(,槡+!&错误!
%!’%+3 +’%%!3 + +
110 110
对于0!取%+的中点9!连接$9"图略%!易知$9.%+!以$为坐标原点!向量+%!$9!
110
$$的方向分别为"!1!&轴的正方向!建立空间直角坐标系!则3"$!$!!%!%"!!槡+!#%!设
! !
110 110
/"’!!槡+!:%!$*:*#!3%,"!!槡+!!%!3/,"’!!槡+!:’!%!设3% 与3/所成的角为
! !
:)! 槡* %":’!%
$!则;<=$, , 槡!) !令;,:’!"’!*;*!%!则;<=$,
槡*’槡:#’#:)* * ":’!%#)%
槡* %; 槡*
槡!) !当;,$即:,!时!;<=$, (当$";*!即!":*#时!;<=$,
* ;#)% *
槡* % 槡* + ! 槡*
!) !可知 ";<=$* (当’!*;"$即$*:"!时!可知 *;<=$" !综上!
* % * * * *
槡 ;)
;
! +
3% 与3/所成角的余弦值的取值范围为$ ! #!0正确!
! * *
对于2!由.选项中的结论知54.平面$%%$!54,槡+!又因为球面的
! !
槡+1 槡+1
半径为 !所以以5为球心! 为半径的球面与侧面$%%$ 的交线
+ + ! !
槡+1 #槡+ #槡+
"圆的一部分%的半径为槡" %#’"槡+%#, !如图!4<, !46,
+ + +
槡+ ! !
!!所以;<=3<46, !解得3<46, !由圆与正方形的对称性知3<4=, !所以球
# 3 3
#槡+ ! %槡+!
面与侧面$%%$ 的交线长为 9 9%, !2正确!
! ! + 3 1
!+!’!"!因为*""%为奇函数!所以*"’#%,’*"#%,’"#9#+)!%,’!"!
>
!%!!#!因为’ ,’#!所以>,%!故抛物线的方程为1#,("!焦点5"#!$%!易知过焦点5且
#
(1#,("!
斜率为槡#的直线的方程为1,槡#""’#%!联立方程组’ 消去1得"#’(")%
)1,槡#""’#%!
,$!设$""!1%!%""!1%!则")",(!所以-$%-,")")>,()%,!#!
! ! # # ! # ! #
%’"!)456#"%
!*!%!*""%, )+"!)456#"%#’#"!)456#"%!令:,!)456#"+$!!)-%!则
!)456#"
%’: % #"+:+’:#’#%
2":%, )+:#’#:":4!%!故20":%,’ )3:’#, !令(":%,+:+’:#’#":
: :# :#
4!%!则(0":%,1:#’#:%$!所以(":%在$!!)-%上单调递增!(":%4("!%,$!即20":%4$!
所以2":%在$!!)-%上单调递增!则2":%42"!%,%!当456",$时!*""%取得最小值%!
* ! !
!3!"’-!’ %$" !)-%! 由题意可得- ’-,"’ %?!所以-,-)"-’-%)"-
( # ?)! ? # ? ! # ! +
!高三数学"参考答案!第!!!!+页#共"页$% "!"#!$%&"
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’-%)+)"-’- %,!)"’ %)"’ %#)+)"’ %?’!, $!’"’ %?#!显然-
# ? ?’! # # # + # ?
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由题意可知!:%"-% 或:""’- % !
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当?为偶数时!-, $!’" %?#+$ ! %!’- ,’ $!)" %?)+#+$’ !’ %!所
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以:% 或:"’ (
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当?为奇数时!-, $!)" %?#+" !!#!’- ,’ $!’" %?)+#+"’ !’ #!所
? + # + ?)+ + # + (
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以:% 或:"’ !
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综上!:的取值范围为"’-!’ %$" !)-%!
( #
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+ ! !+ ! ! ! !
因为@,$!所以@,#-!……………………………………………………………………#分
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又-,+!所以-)@,+! …………………………………………………………………+分
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&@,#-! &@,#!
联立方程组 ! 解得 ………………………………………………………%分
-)@,+! -,!!
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故-,#?’!!7, ! ? ,?#! ………………………………………………………*分
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"#%证明,由"!%知槡 , , ’ !………………………………………"分
77 ?"?)!% ? ?)!
? ?)!
! ! ! ! ! ! ! !
所以A,!’ ) ’ ) ’ )+) ’ ,!’ !………………………1分
? # # + + % ? ?)! ?)!
! !
又因为 %$!所以!’ "!!即A"!!……………………………………………!$分
?)! ?)! ?
!(!解,"!%!$$份样本数据的平均值为
"5,"+*9$!$$*)%*9$!$!$)**9$!$!$)3*9$!$#$)"*9$!$+#)(*9$!$#+%9!$,
3(!+!…………………………………………………………………………………………%分
+
"#%竞赛成绩不低于3$分的频率为"$!$#$)$!$+#)$!$#+%9!$,$!"*, ! ………*分
%
!
低于3$分的频率为"$!$$*)$!$!$)$!$!$%9!$,$!#*, !…………………………3分
%
+
B的所有可能取值为$!!!#!+!%!*!则B"%"*! %!……………………………………"分
%
! !
/"B,$%,0$" %*, !
* % !$#%
+ ! !*
/"B,!%,0!9 9" %%, !
* % % !$#%
+ ! 1$ %*
/"B,#%,0#" %#9" %+, , !
* % % !$#% *!#
+ ! #"$ !+*
/"B,+%,0+" %+9" %#, , !
* % % !$#% *!#
!高三数学"参考答案!第!!!!%页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABBYQEggCgQBIAABgCQQ3KCgAQkAACCCoOwAAIsAAAABFABCA=}#}+ ! %$*
/"B,%%,0%" %%9 , !
* % % !$#%
+ #%+
/"B,*%,0*" %*, !
* % !$#%
所以B的分布列为
B $ ! # + % *
! !* %* !+* %$* #%+
/
!$#% !$#% *!# *!# !$#% !$#%
………………………………………………………………………………………………!$分
!*
故6"B%, !………………………………………………………………………………!#分
%
*!
!1!解,"!%由题可知3$63, ! ……………………………………………………………!分
3
在/$63中!设36,"!由余弦定理得$3#,$6#)36#’#$6’36’;<=3$63!……
……………………………………………………………………………………………+分
所以"#)槡+"’3,$!解得",槡+!即36,槡+!…………………………………………*分
36 +3
"#%在/+63中!由正弦定理得 , !…………………………………"分
=/636+3 =/63+63
槡+
解得=/636+3, !………………………………………………………………………(分
+
! 槡+ ! 槡+
因为36+3,3%$+)3%%3%$+, !=/636+3, "=/6 , !
+ + + #
#!
36+3% !即36+3为钝角!……………………………………………………………1分
+
槡3
所以;<=36+3,’ ! …………………………………………………………………!$分
+
!
所以;<=3%,;<="36+3’ %
+
! ! +’槡3
,;<=36+3;<= )=/636+3=/6 , !…………………………………………!#分
+ + 3
#$!"!%证明,取+3的中点5!连接65!/5!C5!因为6为/+的中点!所以656/3!
又657平面/$3!/32平面/$3!所以656平面$/3!………
…………………………………………………………………!分
因为C66平面/$3!C6&65,6!所以平面C656平面/$3!
…………………………………………………………………#分
因为平面$%+3&平面C65,C5!平面$%+3&平面/$3,$3!
所以C56$3!……………………………………………………+分
因为$3.+3!所以C5.+3!……………………………………………………………%分
由/C.平面$%+3!可得/C.+3!又/C&C5,C!所以+3.平面/C5!从而/5.+3!
………………………………………………………………………………………………*分
因为/5是+3的中垂线!所以/+,/3! ………………………………………………3分
!高三数学"参考答案!第!!!!*页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABBYQEggCgQBIAABgCQQ3KCgAQkAACCCoOwAAIsAAAABFABCA=}#}"#%解,因为/C.平面$%+3!所以/+与平面$%+3所成的角为3/+C,3$?!
又C+.C3!$%,+3,#!所以/C,槡++C,槡3!………………………………………"分
110 110 110
作C4.%+!垂足为4!分别以C4!C5!C/的方向为"!1!&轴的正方向!建立如图所示的空
间直角坐标系!则3"’!!!!$%!%"!!’+!$%!+"!!!!$%!/"$!$!槡3%!
110 110 110
%+,"$!%!$%!/+,"!!!!’槡3%!3+,"#!$!$%!…………………………………………(分
设平面/%+的法向量为#,""!1!&%!
! ! !
110
(#’%+,%1,$!
!
则’ 令&,!!得#,"槡3!$!!%!……………………………1分
110 !
)#’/+,")1’槡3&,$!
! ! !
设平面/+3的法向量为$,""!1!&%!
# # #
110
($’3+,#",$!
#
则’ 令1,槡3!得$,"$!槡3!!%!…………………………!$分
110 #
)$’/+,")1’槡3&,$!
# # #
#’$ ! ! !
所以;<=)#!$*, , , !即平面/%+与平面/+3夹角的余弦值为 !…
-#--$- 槡"9槡" " "
…………………………………………………………………………………………!#分
#!!解,"!%因为椭圆+的长轴长是短轴长的+倍!所以-,+,! ……………………………!分
"# 1#
则椭圆+的方程为 ) ,!!……………………………………………………………#分
1,# ,#
#槡# ! (
又椭圆+经过点"!! %!所以 ) ,!!……………………………………………+分
+ 1,# 1,#
"#
解得,,!!-,+!所以椭圆+的方程为 )1#,!!………………………………………%分
1
"#%设/""!1%!9""!1%!直线/9的方程为",D1)?!且?,+!
! ! # #
(",D1)?!
联立方程组’"# 消去"得"D#)1%1#)#D?1)?#’1,$!……………………*分
)1#,!!
)1
’#D? ?#’1
由%%$!得D#’?#)1%$!所以1)1, !11, !………………………3分
! # D#)1 ! # D#)1
! 1 1 !
又因为)), !所以 ! ’ # , !整理得+11,""’+%""’+%!
! # + "’+ "’+ + ! # ! #
! #
即+11,"D1)?’+%"D1)?’+%!
! # ! #
化简得"D#’+%11)D"?’+%"1)1%)"?’+%#,$!…………………………………(分
! # ! #
"D#’+%"?#’1% #D#?"?’+%
所以 ’ )"?’+%#,$! ……………………………………1分
D#)1 D#)1
化简得3?’+3,$!解得?,3!即直线/9恒过点="3!$%!……………………………!$分
1
因为$%./9!所以点%在以线段$=为直径的圆上!取线段$=的中点为<" !$%!则
#
! + 1
-<%-, -$=-, !所以存在定点<" !$%!使得线段%<的长度为定值!………!#分
# # #
-
##!"!%解,*""%, )#76"的定义域为"$!)-%!…………………………………………!分
"#
# #- #"#’#-
且*0""%, ’ , ! ……………………………………………………………#分
" "+ "+
!高三数学"参考答案!第!!!!3页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABBYQEggCgQBIAABgCQQ3KCgAQkAACCCoOwAAIsAAAABFABCA=}#}当-*$时!*0""%%$恒成立!*""%在"$!)-%上单调递增!……………………………+分
当-%$时!令*0""%%$!解得"%槡-!令*0""%"$!解得$"""槡-!
故*""%在"$!槡-%上单调递减!在"槡-!)-%上单调递增!
综上!当-*$时!*""%在"$!)-%上单调递增(当-%$时!*""%在"$!槡-%上单调递减!在
"槡-!)-%上单调递增!……………………………………………………………………*分
"#%证明,由"!%知!当-*$时!*""%在"$!)-%上单调递增!故*""%至多有一个零点!不符
合要求!故-%$!……………………………………………………………………………3分
因为*""%有两个不相同的零点"!"!所以*"槡-%,!)76-"$!
! #
! - - - -
解得$"-" ! )#76",$! )#76",$!故 ) ,’#76"""%!……………"分
@"# ! "# # "# "# ! #
! # ! #
-
要证"*0""%)"*0""%%%76 )%!
! ! # # #
#"#’#- #"#’#- #"#’#- #"#’#- -
即证"’ ! )"’ # , ! ) # ,%)%76"""%%%76 )%!
! "+ # "+ "# "# ! # #
! # ! #
-
即证""% !………………………………………………………………………………(分
! # #
- -
不妨设$""""! )#76",$! )#76",$!
! #"# ! "# #
! #
- -
两式相减得 ’ ,#"76"’76"%!
"# "# # !
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"#’"# #"#"#
变形为 # ! , ! #!………………………………………………………………1分
76"’76" -
# !
"#’"#
下面证明 # ! %"" 成立!
76"’76" ! #
# !
"#’"# " " "
只需证 # !%76"’76"!即 #’ !%76 #!………………………………………!$分
"" # ! " " "
! # ! # !
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令 #,:%!!即要证:’ %76:":%!%!
" :
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构造函数(":%,:’ ’76:":%!%!
:
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":’ %#)
! ! :#’:)! # %
则(0":%,!) ’ , , %$恒成立!
:# : :# :#
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所以(":%,:’ ’76:在"!!)-%上单调递增!………………………………………!!分
:
!
则(":%%("!%,$!所以:’ %76:":%!%!
:
"#’"# #"#"# - -
所以 # ! %""!即 ! #%""!所以""% !故"*0""%)"*0""%%%76
76"’76" ! # - ! # ! # # ! ! # # #
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)%成立!……………………………………………………………………………………!#分
!高三数学"参考答案!第!!!!"页#共"页$% "!"#!$%&"
{#{QQABBYQEggCgQBIAABgCQQ3KCgAQkAACCCoOwAAIsAAAABFABCA=}#}
