文档内容
2024 届高三开学测试
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密
封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指
定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再
写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
.
1 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则a＝（ ）
A. -3 B. C. 3 D.
3. 已知正项等比数列 ，若 ，则 （ ）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
4. 已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则 （ ）
A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为 ，已知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
6. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知 ， ， ，则（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线分别交双曲线 的左右两支于
两点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的标准差不小于 的标准差D. 的极差不大于 的极差
10. 已知 是两两异面的三条直线， ， ，直线 d 满足 ， ， ，
，则c与d的位置关系可以是（ ）
.
A 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
11. 如图是函数 （ ， ， ）的部分图像，则（ ）
A. 的最小正周期为
B. 是的函数 的一条对称轴
C. 将函数 的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数 （ ）在 上有且仅有两个零点，则
12. 我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一
个“羡除”模型，该“羡除”是以 为顶点的五面体，四边形 为正方形， 平面
，则（ ）A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 该几何体的外接球的表面积为
D. 与平面 所成角 的正弦值为
第二部分非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则函数 在点（2， ）处的切
线方程为________________．
14. 已知数列 各项均为正数，若 ，且 ，则 的通项公式为______．
15. 已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 ，则 ________．
16. 设 为定义在整数集上的函数， ， ， ，对任意的整数 均有
．则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 中，角A的平分线交线段 于点D．（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 ．
18. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光
辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，
其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这
两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A类试题中有7道题会作答，而他答对
各道B类试题的概率均为 .公众号：全元高考
（1）若小明同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；
（2）若小明只作答A类试题，设X表示小明答这3道试题的总得分，求X的分布列和期望.
19. 已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设数列 满足 求最小的实数m，使得 对一
切正整数k均成立．
20. 如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
21. 设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 的短轴的一个端点，已
知 的面积为 ， ．
（Ⅰ）求椭圆 的标准方程；
（Ⅱ）是否存在与 平行的直线 ，满足直线 与椭圆 交于两点 ， ，且以线段 为直径的圆经
过坐标原点？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
.
22 已知函数 ， .
（1）若经过点 的直线与函数 的图像相切于点 ，求实数a的值；
（2）设 ，若 有两个极值点为 ， ，且不等式
恒成立，求实数 的取值范围.公众号：全元高考
