文档内容
2024 届高三开学测试
数学
本试卷分选择题和非选择题两部分，共5页，满分为150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1、答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡和答卷密
封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上.
2、选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上.
3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答卷纸上作答，答案必须写在答卷纸各题目指
定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再
写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4、考生必须保持答题卡的整洁和平整.
第一部分选择题（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知集合 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出集合 ，再由交集的定义可求出答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以
，
所以 .
故选：B.
2. 已知 ， 为虚数单位，若 为实数，则a＝（ ）A. -3 B. C. 3 D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先进行分母实数化，化简 ，再根据条件得虚部为零，计算即得结果.
【详解】因为 为实数，则 ，即 ，
所以 .
故选：A.
.
3 已知正项等比数列 ，若 ，则 （ ）
A. 16 B. 32 C. 48 D. 64
【答案】B
【解析】
【分析】根据等比中项，先求出 ，然后根据 求出公比，最后求
【详解】根据等比中项， ，
又 是正项数列，故 （负值舍去）
设等比数列 的公比为 ，由 ，
即 ，解得 （正项等比数列公比不可是负数，负值舍去），
故
故选：B
4. 已知向量 ， 满足 ，且 ， ，则 （ ）A. 5 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量的模长的计算即可求解.
【详解】 ，所以
，
故选：D
5. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，采用七局四胜制，先赢四局者获胜，没有平局、甲每局赢的概率为 ，已
知前两局甲输了，则甲最后获胜的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用独立事件同时发生的概率公式，即可求得甲最后获胜的频率.
【详解】因为前两局甲都输了，所以甲需要连胜四局或第三局到第六局输1局
且第七局胜，甲才能最后获胜，
所以甲最后获胜的概率为 .
故选：C
6. 函数 的部分图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C【解析】
【分析】判断函数的奇偶性，再用赋值法，排除ABD，即可.
【详解】由 ，
得 ，
所以 为偶函数，故排除BD.
.
当 时， ，排除A
故选：C.
7. 已知 ， ， ，则（参考数据： ）（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由 ， 考虑构造函数 ，利用导数研究函数的单调性，
利用单调性比较大小即可.
【详解】因为 ， ，
考虑构造函数 ，则 ，
当 时， ，函数 在 上单调递增，
当 时， ，函数 在 上单调递减，
因为 ，所以 ，即 ，
所以 ，所以 ，即 ，
又 ，
所以 ，故 ，
故选：B.
【点睛】关键点点睛：本题解决的关键在于将被比较的数化为结构相似的形式，考虑构造函数利用函数的
单调性比较大小.
8. 已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过 的直线分别交双曲线 的左右两支于
两点，且 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用双曲线的定义和性质表示出各边长，再利用直角三角形的边角关系及余弦定理求出 即
可.
【详解】由双曲线 得出 .
因为 ，所以 .
作 于C，则C是AB的中点.
设 ，则由双曲线的定义 ，
可得 .
故 ，又由余弦定理得 ，
所以 ，解得 .
故选：C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的4个选项中，有多项符合
题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 有一组样本数据 ，其中 是最小值， 是最大值，则（ ）
A. 的平均数等于 的平均数
B. 的中位数等于 的中位数
C. 的标准差不小于 的标准差
D. 的极差不大于 的极差
【答案】BD
【解析】
【分析】根据题意结合平均数、中位数、标准差以及极差的概念逐项分析判断.
【详解】对于选项A：设 的平均数为 ， 的平均数为 ，
则 ，
因为没有确定 的大小关系，所以无法判断 的大小，
例如： ，可得 ；例如 ，可得 ；
例如 ，可得 ；故A错误；
对于选项B：不妨设 ，
可知 的中位数等于 的中位数均为 ，故B正确；
对于选项C：因为 是最小值， 是最大值，
则 的波动性不大于 的波动性，即 的标准差不大于 的标准
差，
例如： ，则平均数 ，
标准差 ，
，则平均数 ，
标准差 ，
显然 ，即 ；故C错误；
对于选项D：不妨设 ，
则 ，当且仅当 时，等号成立，故D正确；
故选：BD.
10. 已知 是两两异面的三条直线， ， ，直线 d 满足 ， ， ，，则c与d的位置关系可以是（ ）
A. 相交 B. 异面 C. 平行 D. 垂直
【答案】BC
【解析】
【分析】作出正方体模型，确定 ， ， 所在直线分别为 ，符合题意，然后考虑直线c的
位置情况，根据空间的线面位置关系，一一判断各选项，即可得答案.
【详解】如图，在正方体 中，E是 上一点（异于 ）， ， ， 所在直
线分别为 ．
当 所在直线为c时，符合题中条件，此时c与d平行，C正确；
当 f所在直线为c时，符合题中条件，此时c与d异面，B正确；
若c与d相交，则a垂直于 确定的平面，又a垂直于 确定的平面，
则 在同一个平面内，即b与c共面，与已知矛盾，A错误；
若c与d垂直，则c垂直于 确定的平面，而b垂直于 确定的平面，
推出b与c平行或重合，与已知矛盾，D错误，
故选：BC．
11. 如图是函数 （ ， ， ）的部分图像，则（ ）A. 的最小正周期为
B. 是的函数 的一条对称轴
C. 将函数 的图像向右平移 个单位后，得到的函数为奇函数
D. 若函数 （ ）在 上有且仅有两个零点，则
【答案】AD
【解析】
【分析】先根据图像可得 ，即可判断A；令 解出 即可判断B，接下
来求得 ，即可得到 的解析式，根据图象平移判断C；令 ，解出函数零
点，然后根据在 上有且仅有两个零点列出不等式解 即可判断D.
【详解】由图像可知， ， ，即 ，故A正确；
，此时 ，
又 在图像上， ，解得 ，，
， ， ，
当 是函数 的一条对称轴时，此时 不符合题意，故B错误；
将 的图象向右平移 个单位后得到的图象对应的解析式为：
不为奇函数，故C错误；
令 ，解得 ，
当 时， ，不合题意
时， ； 时， ； 时， ；
又因为函数 在 上有且仅有两个零点
，解得 ，故D正确.
故选：AD.
12. 我国古代《九章算术》里记载了一个“羡除”的例子，羡除，隧道也，其所穿地，上平下邪，如图是一
个“羡除”模型，该“羡除”是以 为顶点的五面体，四边形 为正方形， 平面
，则（ ）A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为
C. 该几何体的外接球的表面积为
D. 与平面 所成角的正弦值为
【答案】ABD
【解析】
【分析】过E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，过F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，将该几何体分
为一个棱柱与两个棱锥，取AD，BC的中点P，Q，则EP⊥AD，FQ⊥BC，然后求出表面积可判断A；连
接PQ，交GH于T，则T为GH的中点，可证得FT⊥面ABCD，求出一个棱柱与两个棱锥的体积，可得该
几何体的体积，从而判断B；连接AC，BD交于点O，可求得O为该几何体的外接球的球心，半径R＝
，求出表面积即可判断C；取AB的中点N，得AE∥FN，则 与平面 所成角等于FN与平面
所成角，设N到面FBC的距离为h，利用等体积法，由 求得 ，进而可得 与平
面 所成角的正弦值，可判断D．
【详解】∵EF∥平面ABCD，EF在平面ABFE内，平面ABFE∩平面ABCD＝AB，∴EF∥AB，
∵AB∥DC，∴EF∥DC，
∵
∴ABFE，DCFE均为等腰梯形，
过E作EK⊥AB于K，作EM⊥DC于M，连接KM，
过F作FG⊥AB于G，作FH⊥DC于H，连接GH，∴EF∥KG∥MH， EF＝KG＝MH＝2，AK＝GB＝DM＝HC＝1，
∵AB∥DC ， FH⊥DC，∴AB⊥FH，
又AB⊥GF，GF，FH在平面FGH内，GF∩FH＝F，
∴AB⊥面FGH，同理，AB⊥面EKM，∴面FGH∥面EKM，
∴该几何体被分为一个棱柱与两个棱锥.
分别取AD，BC的中点P，Q，连接FQ，EP，
∵ ，∴EP⊥AD，FQ⊥BC，
∴FQ＝ ，
∴ ，
FG＝ ，
，又 ，
∴该几何体的表面积为 ， 故A正确；
连接PQ，交GH于T，则T为GH的中点，连接FT，
∵AB⊥面FGH，FT在面FGH内，∴FT⊥AB，∵GF＝FH＝EK＝EM，∴FT⊥GH，
又AB，GH在面ABCD内，AB∩GH＝G，∴FT⊥面ABCD，
∴FT＝ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴该几何体的体积为 ，故B正确；
连接AC，BD交于点O，则O也在PQ上，连接OE，OF，
∵EF∥OQ，EF＝OQ，∴EFQO为平行四边形，
∴EO＝FQ＝ ，同理，FO＝EP＝ ，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝OE＝OF＝ ，
∴O为该几何体的外接球的球心，半径R＝ ，
∴该几何体的外接球的表面积为 ，故C错误；
的
取AB 中点N，连接FN，NC，∵EF∥AN，EF＝AN，∴EFNA为平行四边形，∴AE∥FN，
∴ 与平面 所成角等于FN与平面 所成角，设为 ，
设N到面FBC的距离为h，
∵ ，∴ ，
∴ ，∴ ，
∴ ，
即 与平面 所成角的正弦值为 ，故D正确．
故选：ABD．
第二部分非选择题（共90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知函数 的导函数为 ，且满足 ，则函数 在点（2， ）处的切
线方程为________________．
【答案】
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 对 函 数 ， 求 导 可 得 ， 得
，因而切线的斜率 而 ，由点斜式可得切线方程为 即
14. 已知数列 各项均为正数，若 ，且 ，则 的通项公式为______．
【答案】 ##
【解析】
【分析】推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列 的通项公式.
【详解】由已知可得 ，所以， ，
所以，数列 是等比数列，且该数列的首项为 ，公比为 ，因此， .
故答案为： .
15. 已知二项式 的展开式中含 的项的系数为 ，则 ________．
【答案】2
【解析】
【分析】 表示有5个 因式相乘，根据 的来源分析即可求出答案.
【详解】 表示有5个 因式相乘， 来源如下：
有1个 提供 ，有3个 提供 ，有1个 提供常数，
此时 系数是 ，即 ，解得：
故答案为： .
16. 设 为定义在整数集上的函数， ， ， ，对任意的整数 均有
．则 ______．【答案】
【解析】
【分析】采用赋值的方式可求得 ，令 和 可证得 的对称轴和奇偶性，由此
可推导得到 的周期性，利用周期性可求得函数值.
【详解】令 ，则 ， ；
令 ， ，则 ，又 ， ；
令 ，则 ， 关于直线 对称；
令 ，则 ，
为
不恒成立， 恒成立， 奇函数，
， ，
是周期为 的周期函数， .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题考查利用抽象函数的周期性求解函数值的问题，解题关键是能够通过赋值的方
式，借助已知中的抽象函数关系式推导得到函数的对称性和奇偶性，以及所需的函数值，进而借助对称性
和奇偶性推导得到函数的周期.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 在 中，角A的平分线交线段 于点D．（1）证明 ；
（2）若 ， ， ，求 ．
【答案】（1）证明见解析；（2） ．
【解析】
【分析】（1）由题得 ，再代入面积公式即得证；
（2）由题得 ， ，求出 ，再利用余弦定理得解.
【详解】（1）证明：依题意 为 的平分线，设
∴
∵
故 ，
设A点到 的距离为h，
则可知
∴可知
（2）由 ，又
∴可知 ，在 中，
∴在 中，
即 .
【点睛】方法点睛：解三角形的主要考点有正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式，解答三角形问题时，
主要从这几个考点出发.
18. 中国共产党第二十次全国代表大会于2022年10月16日在北京召开，为弘扬中国共产党百年奋斗的光
辉历程，某校团委决定举办“中国共产党党史知识”竞赛活动.竞赛共有A和B两类试题，每类试题各10题，
其中每答对1道A类试题得10分；每答对1道B类试题得20分，答错都不得分.每位参加竞赛的同学从这
两类试题中共抽出3道题回答（每道题抽后不放回）.已知小明同学A类试题中有7道题会作答，而他答对
各道B类试题的概率均为 .
（1）若小明同学在A类试题中只抽1道题作答，求他在这次竞赛中仅答对1道题的概率；
（2）若小明只作答A类试题，设X表示小明答这3道试题的总得分，求X的分布列和期望.
【答案】（1）
（2）分布列见解析，期望21
【解析】
【分析】（1）分A类试题答对和B类试题答对两种类型计算概率；
（2）列出X所有可能的取值，求出随机变量取每一个值的概率值，即可求随机变量的分布列及数学期望.
【小问1详解】
小明仅答对1题的概率 .
【小问2详解】
可能的取值为0，10，20，30，
， ，， ，
所以X的分布列为
X 0 10 20 30
P
所以 .
19. 已知数列 的首项 ，且满足 ．
（1）求证：数列 为等比数列；
（2）设数列 满足 求最小的实数m，使得 对一
切正整数k均成立．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据等比数列的定义即可证明.
（2）根据奇偶项的特点，由裂项求和和分组求和，结合等比数列求和公式即可求解 ，由
不等式的性质即可求解.
【小问1详解】
由已知得， ，
所以 ．因为 ，
所以数列 是首项为 ，公比为 的等比数列．
【小问2详解】
证明：（2）由（1），当n为偶数时， ，
当n为奇数时， ，
故
，
由
所以m的最小值为 ．
20. 如图， 是三棱锥 的高， ， ，E是 的中点．（1）证明： 平面 ；
（2）若 ， ， ，求二面角 的正弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，根据三角形全等得到 ，再根据
直角三角形的性质得到 ，即可得到 为 的中点从而得到 ，即可得证；
（2）建立适当的空间直角坐标系，利用空间向量法求出二面角的余弦的绝对值，再根据同角三角函数的
基本关系计算可得.
【小问1详解】
证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ，
因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ，
所以 、 ，
又 ，所以 ，即 ，所以 ，
又 ，即 ，所以 ， ，
所以
所以 ，即 ，所以 为 的中点，又 为 的中点，所以 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 平面
【小问2详解】
解：过点 作 ，如图建立空间直角坐标系，
因为 ， ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ， ，
所以 ，所以 ， ， ， ，
所以 ，
则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，
所以 ；
设平面 的法向量为 ，则 ，
令 ，则 ， ，所以 ；
所以 .设二面角 的大小为 ，则 ，
所以 ，即二面角 的正弦值为 .
21. 设 ， 分别为椭圆 的左、右焦点， 是椭圆 的短轴的一个端点，已
知 的面积为 ， ．
的
（Ⅰ）求椭圆 标准方程；
（Ⅱ）是否存在与 平行的直线 ，满足直线 与椭圆 交于两点 ， ，且以线段 为直径的圆经
过坐标原点？若存在，求直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ）存在满足条件的直线 ，方程为 或 ．
【解析】
【分析】（Ⅰ）由 的面积得 ，又根据 得 ，结合 关系即
可求得椭圆 的标准方程；公众号：全元高考
（Ⅱ）可设直线 的方程代入椭圆方程求得两根关系，以线段 为直径的圆经过坐标原点 ，则，代入坐标化简求取 值，即可求得直线方程．
【详解】解：（Ⅰ）设 ，则 的面积等于 ，所以 ．①
由 ，即 ，
得 ．
因为在直角 中， ， ， ，
所以 ，所以 ．②
由①②及 ，得 ， ， ，
所以椭圆 的标准方程为 ．
（Ⅱ）因为直线 的斜率为 ，所以可设直线 的方程为 ，代入 ，
整理得 ．
由 ，得 ．
设 ， ，
则 ， ．
若以线段 为直径的圆经过坐标原点 ，则 ，
即 ，得 ，
所以 ，得 ．
因为 ，所以 ．公众号：全元高考
所以存在满足条件的直线 ，方程为 或 ．
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
22. 已知函数 ， .
（1）若经过点 的直线与函数 的图像相切于点 ，求实数a的值；
（2）设 ，若 有两个极值点为 ， ，且不等式
恒成立，求实数 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，对函数求导，根据导数的几何意义进行求解即可；（2）将 有两个极值点为 ， ，转化为方程 在 上有两个不同的根，
根据根的判别式求出 的取值范围，将不等式 恒成立，转化为
恒成立，通过构造函数，将问题转化为函数极值问题，进而即可求解.
【小问1详解】公众号：全元高考
的定义域为 ，
由 ，得 ，则 ，
因为经过点 的直线与函数 的图像相切于点 ，
所以 ，
所以 ，解得 ，
【小问2详解】
，则 ，
因为 有两个极值点为 ， ，
所以 在 上有两个不同的根，
此时方程 在 上有两个不同的根，
则 ，且 ，解得 ，
若不等式 恒成立，则 恒成立，因为
不妨设 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
所以 在 上递减，所以 ，
所以 ，
即实数 的取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查导数的综合应用，考查导数几何意义，考查利用导数解决不等式恒成立问
题，解题的关键是将极值点问题转化为方程 在 上有两个不同的根，求出 的范围，
再将不等式 恒成立，则 恒成立，然
后构造关于 的函数，利用导数求出其范围，考查数学转化思想和计算能力，属于难题.
