文档内容
开远市第一中学校 2023 年秋季学期高三年级开学考试
数学
考生注意：
1.本试满分150分，考试时间120分钟.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改
动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本
试卷上无效.超出答题区域书写的答案无效，在试卷、草稿纸上作答无效.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1. 已知i为虚数单位，若复数 （ ）为纯虚数，则复数 在复平面上对应的点（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 设全集 ， ， ，则图中阴影部分对应的集合为（ ）
.
A B. C. D.
3. 某市近几年大力改善城市环境，全面实现创建生态园林城市计划，现省专家组评审该市是否达到“生态
园林城市”的标准，从包含甲、乙两位专家在内的8人中选出4人组成评审委员会，若甲、乙两位专家至少
一人被邀请，则组成该评审委员会的不同方式共有（ ）
A. 70种 B. 55种 C. 40种 D. 25种
4. 已知直线 与曲线 相切，则实数 （ ）
A. B. C. D.
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学科网（北京）股份有限公司5. 已知抛物线 ： 的焦点为 ，抛物线 上有一动点 ， ，则 的最小
值为（ ）
.
A 5 B. 6 C. 7 D. 8
6. 若函数 在区间( , )内存在最小值，则实数 的取值范围是（ ）
A. [－5,1) B. (－5,1)
C. [－2,1) D. (－2,1)
7. 在等差数列 中， ，其前n项和 为，若 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 在平面直角坐标系中，已知点 为角 终边上一点，若 ， ，则
（ ）
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法正确的有（ ）
A. 若一组样本数据 线性相关，则用最小二乘法得到的经验回归直线必经过样本中
心点
的
B. 根据分类变量 与 成对样本数据，计算得到 ，依据 的独立性检验
，则推断 与 无关不成立，即认为 与 有关联，此推断犯错误的概率不大于0.05
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学科网（北京）股份有限公司C. 若随机变量 和 满足 ，则 ，
D. 若随机变量 ，且 ，则
10. 已知三棱锥 的各顶点都在球O上，点M，N分别是AC，CD的中点， 平面BCD，
， ，则下列说法正确的是（ ）
A. 三棱锥 的四个面均为直角三角形
B. 球O的表面积为
C. 直线BD与平面ABC所成角的正切值是
D. 点O到平面BMN的距离是
11. 已知圆 ，点 为圆 上一动点， 为坐标原点，则下列说法中正确的是（
）
的
A. 最大值为
B. 的最小值为
C. 直线 的斜率范围为
D. 以线段 为直径的圆与圆 的公共弦方程为
12. 若 ，则下列不等式对一切满足条件的 恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
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学科网（北京）股份有限公司13. 已知向量 与 的夹角为 ，且 ，则 在 方向上的投影向量的坐标为
__________.
14. 如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，ED⊥平面ABCD，FC⊥平面ABCD，ED＝2FC＝2，则异
面直线AE与BF所成角的余弦值为________.
15. 已知双曲线 的右焦点为 ，直线 与双曲线 交于 两点，
与双曲线 的渐近线交于 两点，若 ，则双曲线 的离心率是_________．
16. 已知函数 （ ， ）的部分图象如图所示，将函数 图象上所有
的点向左平移 个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得函数
图象的解析式为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知 ABC的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，且 .
△
（1）求B的大小；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ABC为钝角三角形，且 ，求 ABC的周长的取值范围.
△ △
18. 已知 为数列 的前n项和， ．
（1）证明：数列 为等比数列；
（2）设数列 的前n项和为 ，证明： ．
19. 新能源汽车是指除汽油、柴油发动机之外的所有其他能源汽车，被认为能减少空气污染和缓解能源短
缺的压力.在当今提倡全球环保的前提下，新能源汽车越来越受到消费者的青睐，新能源汽车产业也必将成
为未来汽车产业发展的导向与目标.某机构从某地区抽取了500名近期购买新能源汽车的车主，调查他们的
年龄情况，其中购买甲车型的有200人.
（1）估计购买新能源汽车的车主年龄的平均数和中位数.
（2）将年龄不低于45岁的人称为中年，低于45岁的人称为青年，购买其他车型的车主青年人数与中年人
数之比为 .完成下列 列联表，依据 的独立性检验，能否认为购买甲车型新能源汽车与年
龄有关？
青年 中年 合计
甲车型
其他车型
合计
（3）用分层抽样的方法从购买甲车型的样本中抽取8人，再从中随机抽取4人，记青年有 人，求 的
分布列和数学期望.
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学科网（北京）股份有限公司附： .
2.706 3.841 6.635 7.879
20. 如图，在四棱锥 中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是CD，PB的中点．
（1）证明： 平面PAD．
（2）若四棱锥 的体积为32， 的面积为4，求B到平面DEF的距离．
21. 已知圆 和定点 ， 是圆 上任意一点，线段 的垂直平分线交
于点 ，设点 的轨迹为 .
（1）求 的方程；
（2）若直线 与曲线 相交于 ， 两点，试问：在 轴上是否存在定点 ，使当 变化时，
总有 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.
22. 已知函数 ．
（1）讨论函数 的单调性；
（2）若 ，证明： ．
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