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2023-2024 学年度（上）阶段性考试（一）
高 2021 级数学（理科）
一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答
题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）
1. 某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则 大学恰好被选
中的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】基本事件总数为 ， 大学恰好被选中的基本事件为： ，根据古典概型
概率公式即可求解.
【详解】依题意，
在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观的基本事件总数为： ，
大学恰好被选中的基本事件为： ，
所以 大学恰好被选中的概率为： .
故选：B.
2. 设集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由题意逐一考查所给的选项运算结果是否为 即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由题意可得 ，则 ，选项A正确；
，则 ，选项B错误；
，则 或 ，选项C错误；
或 ，则 或 ，选项D错误；
故选：A.
3. 已知复数 （x， ）对应的点在第一象限，z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚
轴长，若 ，则双曲线C的焦距为（ ）
A. 8 B. 4 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用双曲线的定义和复数模的定义即可求得双曲线C的焦距.
【详解】复数 （x， ）对应的点在第一象限，则 ，
又z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚轴长， ，
则双曲线C的焦距为
故选：B
4. 展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用二项式展开式分类计算即可.
【详解】因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以含有 的项为 ，
故选：C.
5. 函数 的图像大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据奇偶性判断CD；根据特殊点判断AB.
【详解】函数 的定义域为 ， ，
即函数 为奇函数，故CD错误；
由 可知，C错误，A正确；
故选：A
6. 将六位数“ ”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216 D.
【答案】D
【解析】
【分析】由题意，分末尾是 或 ，末尾是 ，即可得出结果.
【详解】由题意，
末尾是 或 ，
不同偶数个数为 ，
末尾是 ，
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学科网（北京）股份有限公司不同偶数个数为 ，
所以共有 个.
故选：D
7. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】令 求出 ，再令 求出 ，即可得解.
【详解】因为 ，
令 ，可得 ，
令 ，可得 ，
所以 .
故选：A
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则（ ）
A. 输出的S的最小值为 ，最大值为5 B. 输出的S的最小值为 ，最大值为4
C. 输出的S的最小值为0，最大值为5 D. 输出的S的最小值为0，最大值为4
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学科网（北京）股份有限公司【答案】A
【解析】
【分析】作出可行域，利用线性规划与程序框图判定即可.
【详解】作出不等式组 表示的可行域，
由图可知，当直线 过点 时， 取得最大值4，
当直线 过点 时， 取得最小值 ．
因为 ，且 ，所以输出的 的最小值为 ，最大值为5．
故选：A
9. 某四面体的三视图如图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），该四面体的外接球的表
面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据三视图还原几何体，借助正方体可求外接球的半径，从而得到面积.
【详解】由题意可知，几何体是正方体一个角的三棱锥，它的外接球就是棱长为1的正方体的外接球，
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学科网（北京）股份有限公司外接球的半径为 ，所以外接球的表面积为 .
故选：A.
10. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三
个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A. 540 B. 480 C. 360 D. 240
【答案】A
【解析】
【分析】把6名工作人员分别分为 ，1， ， ，2， ， ，2， 三种情况讨论，然后分别计算即
可求解．
【详解】解：把6名工作人员分为1，1，4三组，则不同的安排方式共有： 种，
把6名工作人员分为2，2，2三组，不同的安排方式共有： 种，
把6名工作人员分为1，2，3三组，不同的安排方式共有： 种，
综上，不同的安排方式共有 种，
故选：A．
11. 设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则正数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】分析可知 ，由已知可得 对任意的 恒成立，解得 对
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学科网（北京）股份有限公司任意的 恒成立，可得出关于实数 的不等式，解之即可.
【详解】因为函数 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，
则当 时， ， ，故对任意的 ， ，
对任意的 ，不等式 恒成立，
即 ，即 对任意的 恒成立，
且 为正数，则 ，可得 ，所以， ，可得 .
故选：A.
12. 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈
三角形，则V的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】找到水最多和水最少的临界情况，如图分别为多面体 和三棱锥 ，从而可
得出答案.
【详解】将该容器任意放置均不能使水平面呈三角形，
的
则如图，水最少 临界情况为，水面为面 ，
水最多的临界情况为多面体 ，水面为 ，
因 为 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以 ，即 .
故选：A.
二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）
13. 已知随机变量 ，若 ，则 ___________.
【答案】16
【解析】
【分析】根据正态分布可得 ，结合方差的性质运算求解.
【详解】因为 ，则 ，
又因为 ，所以 .
故答案为：16.
14. 已知向量 ， ．若向量 与 垂直，则 ________．
【答案】7
【解析】
【分析】首先求出 的坐标，再根据两个向量垂直的性质得到 ，根据向量数量积的坐标
运算得到方程，即可求得实数 的值．
【详解】解：因为 ， ，所以 ，因为向量 与 垂直，所以
，解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：7．
15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作一条直线与双曲线右支交于
两点，坐标原点为 ，若 ，则该双曲线的离心率为___________.
【答案】 ##
【解析】
【分析】由 得出 ，由定义结合勾股定理得出 ，再由勾股定理得出离
心率.
【详解】解：如图，
因为 ，则 ，
设 ，则 ，则 ，
由勾股定理可得 ，即 ，
整理可得 ，因为 ，解得 ，
所以， ， ，
由勾股定理可得 ，即 ，整理可得 ，
因此，该双曲线的离心率为 .
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学科网（北京）股份有限公司故答案为：
16. 若函数 在 上单减，则实数 的取值范围为______．
【答案】
【解析】
【分析】求出 的单调减区间，由 为减区间的子集求出 的取值范围.
【详解】 ，
当 时， ， 在 为增函数，
当 时，由 得 ，故 单调减区间为 ，
的
因为 在 上单减，所以 ，解得 .
故答案为：
三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）
17. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此
随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．
经常锻
不经常锻炼 总计
炼
男 35
女 25
总计 100
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学科网（北京）股份有限公司已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为 ．
附： .
0.1 0.05 0.01 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
【答案】（1）列联表见解析
（2）有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关
【解析】
【分析】（1）根据概率计算这100名学生中经常锻炼的学生数，进而填写列联表；
（2）根据独立性检验求解即可.
【小问1详解】
解：设这100名学生中经常锻炼的学生有x人，则 ，解得 ．
列联表完成如下
经常锻
不经常锻炼 总计
炼
男 35 25 60
女 15 25 40
总计 50 50 100
【小问2详解】由（1）可知， ，
因为 ，所以有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
18. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第
一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时
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学科网（北京）股份有限公司长15小时），将其分成 六组，并绘制成如图所示的频率分布直方
图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
（1）求a的值；
（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本的平均
数，经计算知 ．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在 内
的人数；
的
（3）现采用分层抽样 方法从样本中学习时间在 内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽
取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在 内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
【答案】（1）
（2）4093 （3）1
【解析】
【分析】（1）由频率之和等于1，得出 ；
（2）计算平均数得出 ，再由正态分布的概率估计即可；
（3）由分层抽样得出 的所有可能取值，再由超几何分布求解.
【小问1详解】
解：由题意得 ，解得 ．
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学科网（北京）股份有限公司【小问2详解】
由题意知样本的平均数为
，所以 ．
又 ，所以
．
则 ，
所以估计该地区教职工中学习时间在 内的人数约为4093．
【小问3详解】
对应的频率比为 ，即为 ，
所以抽取的5人中学习时间在 内的人数分别为2，3，
设从这5人中抽取的3人学习时间在 内的人数为 ，
则 的所有可能取值为0，1，2，
，
所以 ．
则这3人中学习时间在 内的教职工平均人数约为1．
19. 如图，在圆锥 中， 为圆锥顶点， 为圆锥底面的直径， 为底面圆的圆心， 为底面圆周上
一点，四边形 为矩形，且 ， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）根据三角形中位线定理，结合线面平行和面面平行的判定定理进行证明即可；
（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.
【小问1详解】
连接 ，
在 中， 分别为 的中点，所以 ，
因为 平面 平面 ，所以 平面 ，
在矩形 中， ，
同理可得 平面 ，又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，
因为 平面 ，所以 平面 ；
【小问2详解】
过点 做 交 于点 ，连接
由题可知 平面 ，且 ，所以 平面
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学科网（北京）股份有限公司则 ，又 ， 平面 ，
所以 平面 ，
∴ 在平面 内射影为 ，
则 即为 与平面 所成的角，所以
在 中，由 可知
则 ， ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴，
过点 垂直于平面 为 轴，建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司令 ，则 ，所以 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，所以 ，
所以 ，
因为二面角 为锐二面角，
所以二面角 的余弦值为 .
20. 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 .
（1）求抛物线方程;
（2）若直线 与抛物线交于 两点，且满足 ，求证: 直线 恒过定点，并求出定点坐标.
【答案】（1）
（2）定点 ，证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据抛物线过点，代入即可求出结果;
（2）由题意直线方程可设为 ，将其与抛物线方程联立，根据韦达定理，化简求解，即可求出定
点.
【小问1详解】
由题可知，拋物线的开口向右，
设拋物线方程为 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为经过点 ，
所以 ，解得
所以，抛物线的标准方程为: .
【小问2详解】
如图，
设直线 的方程为: ，
联立方程
消 有：
由于交于 两点，设 ，
则 ，即 ，
，
由 .
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学科网（北京）股份有限公司则 .
解得: ，验证满足条件.
所以直线 的方程为 ，
即证直线 恒过定点 .
21. 已知函数 .
（1）当 时，试讨论函数 的单调性；
（2）设函数 有两个极值点 ，证明： .
【答案】（1） 在区间 ， 上单调递增， 在区间 单调递减
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）求导，利用导函数的符号讨论即可；
（2）由函数 有两个极值点可得 在 上有两个根，从而求得 的取值范围，再结合
韦达定理可知 ，则原不等式转化为证明 ，利用导数研
究单调性进而证明即可.
【小问1详解】
当 时， 定义域为 ，
，
令 解得 或 ，且当 或 时， ，当 时， ，
所以当 或 时， 单调递增，当 时， 单调递减，
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学科网（北京）股份有限公司综上 在区间 ， 上单调递增， 在区间 单调递减.
【小问2详解】
由已知 ，可得 ，
函数 有两个极值点 ，即 在 上有两个不等实根，
令 ，只需 ，故 ，
又 ， ，
所以
，
要证 ，即证 ，
只需证 ，
令 ， ，
则 ，
令 ，则 恒成立，
所以 在 上单调递减，
又 ， ，
由零点存在性定理得， 使得 ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，
所以 时， ， 单调递增，
时， ， 单调递减，
则 ，
又由对勾函数知 在 上单调递增，
所以
所以 ，即 得证.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对
导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：
（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系；
（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性求参数；
（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题；
（4）利用导数证明不等式，常用的思路层次有三个：其一直接构造函数利用导数证明；其二直接做差构
造函数利用导数证明；其三先做适当的变换后再做差构造函数利用导数证明.
22. 在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 的参数方程为 ( 为参数， )，且直线 与曲线 交于A、 两
点，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据参数方程消参即可得出直角坐标方程；
（2）转化直线的参数方程与曲线 方程联立，结合韦达定理计算即可.
【小问1详解】
曲线 的参数方程为 为参数），
则 ，即 ，
两式相减，可得曲线 的直角坐标方程：
【小问2详解】
直线 与曲线 交于A、 两点，
设A， 两点对应的参数为 ， ，
直线 的方程可转化为 ，代入 ，
得 ，则 ，则 ，
所以 ．
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学科网（北京）股份有限公司第22页/共22页
学科网（北京）股份有限公司
