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2023-2024 学年度（上）阶段性考试（一）
高 2021 级数学（理科）
一、选择题（每个小题都有4个选项，其中只有1个正确选项，请把正确选项直接填涂在答
题卡相应位置上.每小题5分，共60分.）
1. 某同学计划2023年高考结束后，在A，B，C，D，E五所大学中随机选两所去参观，则 大学恰好被选
中的概率为（ ）
A. B. C. D.
2. 设集合 ，集合 ， ，则 （ ）
A. B.
C. D.
3. 已知复数 （x， ）对应的点在第一象限，z的实部和虚部分别是双曲线C的实轴长和虚
轴长，若 ，则双曲线C的焦距为（ ）
A. 8 B. 4 C. D. 2
4. 展开式中 的系数为（ ）
A. B. C. D.
5. 函数 的图像大致为（ ）
A. B.
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学科网（北京）股份有限公司C. D.
6. 将六位数“ ”重新排列后得到不同的六位偶数的个数为 （ ）
A. B. C. 216 D.
7. 设 ，则 （ ）
A. B. C. D.
8. 执行如图所示的程序框图，若输入的 ，则（ ）
A. 输出的S的最小值为 ，最大值为5 B. 输出的S的最小值为 ，最大值为4
C. 输出的S的最小值为0，最大值为5 D. 输出的S的最小值为0，最大值为4
9. 某四面体的三视图如图所示（3个三角形都是直角边为1的等腰直角三角形），该四面体的外接球的表
面积为（ ）
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A B. C. D.
10. 2021年是巩固脱贫攻坚成果的重要一年，某县为响应国家政策，选派了6名工作人员到A 、B、C三
个村调研脱贫后的产业规划，每个村至少去1人，不同的安排方式共有（ ）种．
A. 540 B. 480 C. 360 D. 240
11. 设 是定义在 上的偶函数，且当 时， ，若对任意的 ，不等式
恒成立，则正数 的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
12. 如图，一个棱长1分米的正方体形封闭容器中盛有V升的水，若将该容器任意放置均不能使水平面呈
三角形，则V的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（请把每个小题的答案直接填写在答题卡相应位置上，每小题5分，共20分.）
13. 已知随机变量 ，若 ，则 ___________.
.
14 已知向量 ， ．若向量 与 垂直，则 ________．
15. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，过 作一条直线与双曲线右支交于
两点，坐标原点为 ，若 ，则该双曲线的离心率为___________.
16. 若函数 在 上单减，则实数 的取值范围为______．
三、解答题（解答须写出必要的文字说明，推理过程和演算步骤）
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学科网（北京）股份有限公司17. 为了有针对性地提高学生体育锻炼的积极性，某校需要了解学生是否经常锻炼与性别因素有关，为此
随机对该校100名学生进行问卷调查，得到如下列联表．
经常锻
不经常锻炼 总计
炼
男 35
女 25
总计 100
已知从这100名学生中任选1人，经常锻炼的学生被选中的概率为 ．
附： .
0.1 0.05 0.01 0.001
.
2.706 3.841 6635 10.828
（1）完成上面的列联表；
（2）根据列联表中的数据，判断能否有90%的把握认为该校学生是否经常锻炼与性别因素有关．
18. 为了不断提高教育教学能力，某地区教育局利用假期在某学习平台组织全区教职工进行网络学习．第
一学习阶段结束后，为了解学习情况，负责人从平台数据库中随机抽取了300名教职工的学习时间（满时
长15小时），将其分成 六组，并绘制成如图所示的频率分布直方
图（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）．
参考数据：若随机变量 服从正态分布 ，则 ，
， ．
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学科网（北京）股份有限公司（1）求a的值；
（2）以样本估计总体，该地区教职工学习时间 近似服从正态分布 ，其中 近似为样本的平均
数，经计算知 ．若该地区有5000名教职工，试估计该地区教职工中学习时间在 内
的人数；
（3）现采用分层抽样的方法从样本中学习时间在 内的教职工中随机抽取5人，并从中随机抽
取3人作进一步分析，分别求这3人中学习时间在 内的教职工平均人数．（四舍五入取整数）
19. 如图，在圆锥 中， 为圆锥顶点， 为圆锥底面的直径， 为底面圆的圆心， 为底面圆周上
一点，四边形 为矩形，且 ， ．
（1）若 为 的中点，求证： 平面 ；
（2）若 与平面 所成角为 ，求二面角 的余弦值．
20. 已知拋物线的顶点在原点，对称轴为 轴，且经过点 .
（1）求抛物线方程;
（2）若直线 与抛物线交于 两点，且满足 ，求证: 直线 恒过定点，并求出定点坐标.
21. 已知函数 .
（1）当 时，试讨论函数 的单调性；
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学科网（北京）股份有限公司（2）设函数 有两个极值点 ，证明： .
22. 在平面直角坐标系 中，曲线 参数方程为
的
（1）求曲线 的直角坐标方程；
（2）已知点 ，直线 的参数方程为 ( 为参数， )，且直线 与曲线 交于A、 两
点，求 的值．
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