文档内容
惠州市实验中学 2026 届高三（上）12 月阶段性检测
命题人：肖志向审题人:朱银
考试时间:2025年12月3日下午3：00——5：00
注意事项：
1.本次考试时长120分钟，满分150分；
2.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.
3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，
用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上
无效.
第I卷选择题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1. 设 ，则在复平面内 对应的点位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】根据复数的几何意义求出即可.
【详解】因为 ，
所以对应复平面内点的坐标 ，
所以位于第二象限，
故选：B
2. 设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】由三角函数的性质结合充分条件、必要条件的定义即可得解.
【详解】因为 可得：
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学科网（北京）股份有限公司当 时， ，充分性成立；
当 时， ，必要性不成立；
所以当 ， 是 的充分不必要条件.
故选：A.
3. 已知 =(2,3)， =(3，t)， =1，则 =
A. -3 B. -2
C. 2 D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.
【 详 解 】 由 ， ， 得 ， 则 ，
．故选C．
【点睛】本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．
4. 若 ，则函数 的两个零点分别位于区间
A. 和 内 B. 和 内
C. 和 内 D. 和 内
【答案】A
【解析】
【详解】试题分析： ，所以 有零点，排除B，D选
项.当 时， 恒成立，没有零点，排除C，故选A.另外 ，也可知
内有零点.
考点：零点与二分法.
【思路点晴】如果函数 在区间 上的图象是连续不断的一条曲线，且有 · ，那
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学科网（北京）股份有限公司么，函数 在区间 内有零点，即存在 使得 ，这个 也就是方程
的根.注意以下几点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点.③由函数
在闭区间 上有零点不一定能推出 · ，如图所示.所以 · 是 在闭
区间 上有零点的充分不必要条件.
5. 已知 ，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】将 化为 ，利用诱导公式以及二倍角的余弦公式，化简求值，可
得答案.
【详解】因为 ，
所以 ,
故选：A.
6. 数列 中， ，对任意 ，若 ，则
（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
【答案】C
【解析】
【分析】取 ，可得出数列 是等比数列，求得数列 的通项公式，利用等比数列求和公式可得
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学科网（北京）股份有限公司出关于 的等式，由 可求得 的值.
【详解】在等式 中，令 ，可得 ， ，
所以，数列 是以 为首项，以 为公比的等比数列，则 ，
，
，则 ，解得 .
故选：C.
【点睛】本题考查利用等比数列求和求参数的值，解答的关键就是求出数列的通项公式，考查计算能力，
属于中等题.
7. 当 时，函数 取得最大值 ，则 （ ）
A. B. C. D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意可知 ， 即可解得 ，再根据 即可解出．
【详解】因为函数 定义域为 ，所以依题可知， ， ，而 ，
所以 ，即 ，所以 ，因此函数 在 上递增，在
上递减， 时取最大值，满足题意，即有 ．
故选：B.
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学科网（北京）股份有限公司8. 已知函数 ，对于任意的 ， ， 都恒
成立， 且函数 在 上单调递增.则 的值为（ ）
A. 3 B. 9 C. 3或9 D.
【答案】A
【解析】
【分析】求出 后结合题意可得 ， ，结合周期性与题意所给单调性可得 或
，再分别验证即可得.
【详解】 ，由 ，
则有 ，即 ， ，
由 ，则 ，故 ， ，
则 ， ， ，
化简得 ， ， ，
令 ，则 ， ，
由函数 在 上单调递增，则 ，即 ，
又 ，则 或 ，
当 时， ，
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学科网（北京）股份有限公司则 ， ，又 ，则 ，
当 时， ，
由 在 上单调递增，故 在 上单调递增，
故 时符合题意；
当 时， ，
则 ， ，又 ，则 ，
当 时， ，
由 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 在 上不单调，故 不合题意；
综上所述： .
故选：A.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分.
9. 已知 ， ， 是 的三个内角，下列结论一定成立的有（ ）
A. B.
C. 若 ，则 D. 若 ，则 是等腰三角形
【答案】AC
【解析】
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学科网（北京）股份有限公司【分析】由 结合诱导公式可判断选项A，B，由三角形中大角对大边结合正弦定理可判断选
项C，在三角形中若 ,则若 或 可判断选项D.
【详解】由 ，
则 ,故A正确.
,
故B不正确.
由三角形中大角对大边， ，则 ，根据正弦定理有 ,故C正确.
在三角形中若 ,则若 或 .
所以 或 ,则 是等腰三角形或直角三角形,故D不正确.
故选：AC
【点睛】本题考查三角形中的三角变换，考查诱导公式，正弦定理，属于中档题.
10. 已知数列 的前 项和为 ， ， ，则（ ）
A. 数列 是等比数列
B.
C.
D. 数列 的前 项和为
【答案】ACD
【解析】公众号：高中试卷君
【分析】A选项，变形得到 ，故 是公比为2的等比数列；C选项，结合A，利
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学科网（北京）股份有限公司用等比数列求通项公式得到C正确；B选项，在C基础上，利用 求出通项公式；D
选项，先得到 为公比为 的等比数列，利用求和公式得到答案.
【详解】A选项， ，
其中 ，所以 是公比为2的等比数列，A正确；
C选项，由A知， ，所以 ，C正确；
B选项，当 时， ，
当 时， ，
显然 满足 ，故 ，B错误；
D选项， ，故 ，
即 为公比为 的等比数列，且 ，
所以 的前 项和为 ，D正确.
故选：ACD
11. 设 ，函数 ，则下列结论正确的是（ ）
A. 若 ，则 为偶函数
B. 若 ，则 的最小值为
C. 若 为增函数，则
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学科网（北京）股份有限公司D. 若曲线 关于直线 对称，则
【答案】ABD
【解析】
【分析】A利用偶函数的定义；B通过导函数研究其单调性即可；C根据 在 上恒
成立即可；D先根据 求出 ，再根据 检验.
【详解】若 ，则 ，则 ，则 为偶函数，故A正确；
若 ，则 ，令 ，则 ，
故 在 上单调递增，因 时 ； 时 ，
故函数 在 上存在唯一的零点 ，即 ，即 ，
则 得 ； 得 ，
故 在 上单调递减，在 上单调递增，
故 的最小值为 ，故B正确；
若 为增函数，则 在 上恒成立，则 在 上恒成立，故 ，故C错
误；
若曲线 关于直线 对称，则 ，则 ，得 ，
当 时 ，则 ，
故 关于直线 对称，故D正确.
故选：ABD
第Ⅱ卷非选择题
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. 记 为等差数列 的前n项和，若 ， ，则 ________.
【答案】95
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学科网（北京）股份有限公司【解析】
【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出 ，再利用等差数列的求和公式即可得到答案.
【详解】因为数列 为等差数列，则由题意得 ，解得 ，
则 .
故答案为： .
13. 在平面直角坐标系中，点 绕着原点 顺时针旋转 得到点 ，点 的横坐标为___________.
【答案】
【解析】
【分析】根据三角函数定义求得 ，确定 与x轴正半轴的夹角为 ,结合
三角函数定义以及两角差的余弦公式即可求得答案.
【详解】由题意得 ,
设 与x轴正半轴的夹角为 ，则 ，
则 与x轴正半轴的夹角为 ，
故点 的横坐标为 ，
故答案为：
14. 若函数f(x)=(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x=－2对称，则f(x)的最大值是______.
【答案】16；
【解析】
【详解】依题意， 为偶函数，
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学科网（北京）股份有限公司展开式中 的系数为 ，故 ， 的系数为 ，故 ，令 ，得
，由对称轴为-2可知，将该式分解为 ，可知其在 和
处取到最大值，带入 ，可知最大值为16.
【考点定位】本题考查函数的性质，考查学生的化归与转化能力以及基本运算能力.
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. 已知函数f(x)＝x3－3ax－1，a≠0.
（1）求f(x)的单调区间；
（2）若f(x)在x＝－1处取得极值，直线y＝m与y＝f(x)的图像有三个不同的交点，求m的取值范围.
【答案】（1）答案见解析
（2）
【解析】
【详解】(1)f′(x)＝3x2－3a＝3(x2－a)，
当a<0时，对x∈R，有f′(x)>0，
∴当a<0时，f(x)的单调增区间为(－∞，＋∞)．
当a>0时，由f′(x)>0，
解得x<－ 或x> .
由f′(x)<0，解得－ 0时，f(x)的单调增区间为(－∞，－ )，( ，＋∞)，单调减区间为(－ ， )．
(2)∵f(x)在x＝－1处取得极值，
∴f′(－1)＝3×(－1)2－3a＝0，
∴a＝1.∴f(x)＝x3－3x－1，f′(x)＝3x2－3，
由f′(x)＝0，解得x＝－1，x＝1.
1 2
由(1)中f(x)的单调性可知，f(x)在x＝－1处取得极大值f(－1)＝1，
在x＝1处取得极小值f(1)＝－3.
∵直线y＝m与函数y＝f(x)的图像有三个不同的交点，结合如图所示f(x)的图像可知：
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学科网（北京）股份有限公司实数m的取值范围是(－3,1)．
16. 在 中，角 所对的边分别为 ，已知 .
（1）若 的面积为 ，求 的周长；
（2）若 为锐角三角形，求 的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边角转化后，利用二倍角的正弦公式化简求出 ，再由面积公式及余弦定理求
出 即可得解；
（2）由 ，利用三角恒等变换后，根据角的范围求正弦型函数的值域即可得解.
【小问1详解】
，
由正弦定理 得 ，
即 ，
， ， ， ，
故 ；
的面积为 ， ，且 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司即 ，解得 ，
由余弦定理得， ， ，
故 的周长为 ；
【小问2详解】
由 及三角形内角和定理，得 ，则 ，
，
为锐角三角形， ， ，故 ，
，故 ， ，
即 的取值范围是 .
17. 古希腊的数学家海伦在其著作《测地术》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：
，这个公式常称为海伦公式.其中， .我国南宋著名数学家秦
九韶在《数书九章》中给出了由三角形的三边长a，b，c计算三角形面积的公式：
，这个公式常称为“三斜求积”公式.
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学科网（北京）股份有限公司（1）利用以上信息，证明三角形的面积公式 ；
（2）在 中， ， ，求 面积的最大值.
【答案】（1）证明见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意结合余弦定理分析证明；
.
（2）利用三角恒等变换结合正弦定理分析可得 ，再运用题中公式结合基本不等式运算求解
【小问1详解】
因为 ，即 ，
可得
，
且 ，则 ，所以 .
【小问2详解】
因为 ，
由题意可得 ，即 ，
整理得 ，
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学科网（北京）股份有限公司由正弦定理可得 ，即 ，
的面积
，
因 ，当且仅当 时，等号成立，
为
则 ，
所以 面积的最大值为 .
18. 已知数列 的前 项和为 ，满足 ，数列 是等比数列，公比
.
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 满足 ，其中 .
（i）求数列 的前2024项和；
（ii）求 .
【答案】（1） ，
（2）（i） ，（ii）
【解析】
【分析】（1）利用 的关系作差结合等比数列的定义计算可求 和 的通项公式；
（2）（i）根据题意利用等比数列求和公式结合分组求和法计算即可，（ii）根据题意先得出
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学科网（北京）股份有限公司，利用等比数列求和公式及分组求和法计算即可.
【小问1详解】
当 时， ，
当 时， ，
所以 ，
显然 符合上式，所以 ，
由题意 ，
所以 .
【小问2详解】公众号：高中试卷君
（i）易知 ，
即数列 的前2024项中有 项分别为 ，其余项均为1，
故数列 的前2024项和 ；
（ii）由（1）知 ，而 ，
所以 ，
易知 ， ，
所以
19. 已知函数 .
（1）若 ，求 在区间 上的最大值；
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学科网（北京）股份有限公司（2）若 ，且 图象上任意两点连线的斜率都小于 ，求 的取值范围；
（3）若 ，求 的最小值.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）求导可得 ，分类讨论当 、 、 时
的正负，进而判断其单调性，即可求解；
（2）由函数单调性的定义可知 在区间 上单调递减，进而转化为不等式
恒成立问题；
（3）分离参数可得 ，利用三阶导数讨论 的单调性，求得 即可求解.
【小问1详解】
当 时， ， ，
当 时， ， ，
当 时， ， ， ，
当 时， ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司综上得， 时， ， 单调递增，
所以 在区间 上的最大值为 .
【小问2详解】
当 时， ，
设 ， 是 图象上任意两点，
则 ，所以 ，
设 ，则 在区间 上单调递减，
所以 ，
因为 ，所以 ， .
即 的取值范围是 .
【小问3详解】
由 得 ，设 ，
则 ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
当 时， ， 单调递增，当 时， ， 单调递减，
因为 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司所以存在 ，使得 ，
当 时， ， ， 单调递增，
当 时， ， ， 单调递减，
因为 ， ，
所以 时， ， ， 单调递增， .
当 时，设 ，
则 ，
所以 在区间 上单调递增，
所以 ，即 ，
所以 ， 的最小值为 .
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学科网（北京）股份有限公司
