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专题06 椭圆中的定点、定值、定直线问题
限时：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知椭圆 ，直线 与椭圆交于 两点， 分别为椭圆的左､右两个焦点，
直线 与椭圆交于另一个点 ，则直线 与 的斜率乘积为（ ）
A． B． C． D．
【解析】 直线 过原点， 可设 ，则 ，
；
， ， ， .故选：B.
2．已知椭圆C： 的上、下顶点分别为A，B，点 在椭圆C上，若点 满
足 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】由题可知 ， ．因为 ， ，
故直线QA： ，直线QB： ，联立两式，解得又 ，所以 ，所以 ．故选：B
3．已知 是椭圆 上满足 的两个动点 为坐标原点），则 等于
（ ）
A．45 B．9 C． D．
【解析】令 ， ，则 ， ，
由 ，故 ，则 ，
而 ， ，则 ， ，
所以 ，故 ，
.
故选：B
4．过椭圆 的右焦点F作两条相互垂直的直线分别交椭圆于A，B，C，D四点，则 的
值为（ ）
A． B． C．1 D．
【解析】由椭圆 ，得椭圆的右焦点为F（1，0），
当直线AB的斜率不存在时，AB：x=1，则CD：y=0．此时|AB|=3，|CD|=4，
则 = ；
当直线AB的斜率存在时，设AB：y=k（x﹣1）（k≠0），则 CD：y=﹣ （x﹣1）．
又设点A（x，y），B（x，y）．联立方程组 ，
1 1 2 2消去y并化简得（4k2+3）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0，∴ ，
∴|AB|= = = ，
由题知，直线CD的斜率为﹣ ，同理可得|CD|= ．
∴ = 为定值．故选D．
5．已知 为坐标原点， 、 分别是椭圆 的左、右顶点， 是椭圆 上不同于 、 的动
点，直线 、 分别与 轴交于点 、 .则 （ ）
A． B． C． D．
【解析】设动点 ， ，由椭圆方程可得 ， ，则 ， ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
由此可得 ， ，所以 .
因为动点 在椭圆 上，所以 ，所以 ，
则 .故选：B.
6．双曲线 和椭圆 的右焦点分别为 ， ， ，
分别为 上第一象限内不同于 的点，若 ， ，则四条直线
的斜率之和为（ ）
A．1 B．0 C． D．不确定值【解析】设 为原点，则 ， ，
而 ，得 ，所以 、 、 三点共线.
因为 ，所以 ，且 ，得 ，
所以 ，即 .设 ， ，分别代入双曲线 和 ，
则 ，即 ，所以 ，
，因为 、 、 三点共线，所以 ，
即 .故选：B.
7．已知椭圆 为椭圆 的右顶点，直线 交 于 两点，且 ，则 恒过除 点以
外的定点（ ）
A． B． C． D．
【解析】椭圆 为椭圆 的右顶点，所以 ，
由题意知：若直线 的斜率存在，设直线 为 ，
则 ，联立可得 ，
设 ，则 ， ，
因为 ，即 ，则 ，
即 ， ，即 ，因此 ，
即 ，所以直线 过定点 ，不符合题意，舍去；
，所以直线 过定点 ，符合题意；
当直线的斜率不存在时，直线为 ，此时设 ，
， 符合题意，故直线 恒过除 点以外的定点 ，
故选：A.
8．设P为椭圆C： （ ）上的动点， ， 分别为椭圆C的左、右焦点， 为
的内心，则直线 与直线 的斜率积（ ）
A．非定值，但存在最大值且为 B．是定值且为
C．非定值，且不存在定值 D．是定值且为
【解析】如图所示，连接 并延长交 轴于 ，
由三角形内角平分线定理可知： ，所以 ，
因此可得： .设 ，因此有：
，可得： ，由 可得： ，
的坐标为： ， ，
，由椭圆的定义可知： ，
再由三角形内角平分线定理可知： ，
由 ，
因此有： .故选：D
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.
9．点 分别为椭圆 的左、右焦点且 ．点P为椭圆上任意一点，
的面积的最大值是1，点M的坐标为 ，过点 且斜率为k的直线L与椭圆C相交于A，B两点，则
下列结论成立的是（ ）
A．椭圆的离心率 B． 的值与k相关
C． 的值为常数 D． 的值为常数-1
【解析】由已知得 ，解得 ，则离心率 ，A正确；
又椭圆方程为 ，
设过点 且斜率为k的直线L的方程为 ，与椭圆方程联立消去 得：，设 ，则 ，
，
，C正确.故选：AC.
10．如图，已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 ， ， 是 上异于顶点的一动点，
圆 （圆心为 ）与 的三边 ， ， 分别切于点A，B，C，延长 交x轴于点D，作
交 于点 ，则（ ）.
A． 为定值 B． 为定值
C． 为定值 D． 为定值
【解析】对于A，设 ， ， ，
由余弦定理可知： 即 ，解得
由于 在 上运动，所以 的值也在随之变化，从而 不是定值，则A错误；
对于B，根据椭圆的定义， ，是定值，B正确；
对于C，根据切线长定理和椭圆的定义，得 ，且 ，则 ，所以 为定值，C正确；
对于D，连接 ,则 ，
由 ，
解得 ，由 ，得 为定值，则D正确.
故选：BCD
11．已知椭圆 和 ，点 在 上，且直线
与 交于 、 两点，若点 在 上，使得 ，则下列结论正确的为（ ）
A． 、 的离心率相等 B．
C．直线 、 的斜率之积为定值 D．四边形 的面积为
【解析】设点 、 ，椭圆 、 的离心率分别为 、 .
对于A选项， ， ，A对；
对于B选项，联立 可得 ，所以， ，
由题意可知 ，则 ，
因为 ，则点 在椭圆 上，所以， ，B错；
对于C选项，由B选项可知，椭圆 的方程为 ， ，
则 ， ，由已知可得 ，两式作差可得 ，C
对；
对于D选项，显然四边形 为平行四边形，其面积记为 ， 的面积记为 ，
因为 ，所以，直线 与 轴必有交点，不妨设为 ，且 ，
，故 ，
由韦达定理可得 ， 且 ，
所以，
，D对.
故选：ACD.
12．已知椭圆 ，点 为右焦点，直线 与椭圆交于 两点，直线 与椭圆交于
另一点 ，则（ ）
A． 周长为定值 B．直线 与 的斜率乘积为定值
C．线段 的长度存在最小值 D．该椭圆离心率为
【解析】该椭圆中 ，则 ，所以离心率为 ，故D正确；
设 ， ， ，则在 、 斜率都存在的前提下有 ， ，
于是 为定值，故B正确；
由题意可设 的方程为 ，联立 ，消 得 ，
则 ，
所以 ，
则当 时， ，所以线段 的长度存在最小值，故C正确.
当 时，直线 与椭圆 交于点 和 ，
不妨取点 为 ，得直线 方程为 ，求得交点 为 ，
则 ， ， ，此时 的周长为 ，
当 时，联立 ，解得 ，不妨取 ，
则 垂直于 轴，此时 ， ， ，
此时 的周长为 ，显然 周长不为定值，故A错误；
故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知点 为 上一动点．过点 作椭圆 的两条切线，切点分别 ，当点 运动时，
直线 过定点，该定点的坐标是 ．【解析】设点 的坐标是 ，则切点弦 的方程为 ，化简得
，令 ，可得 ，故直线 过定点 ．
14．已知点 分别为曲线 的左、右焦点，点P为曲线C与曲线正 在第一象限
的交点，直线l为曲线C在点P处的切线，若点M为 的内心，直线 与直线l交于点N，则，点
N的横坐标为 ．
【解析】由题意可得曲线C，曲线E有相同的焦点 ，且 ，
在 中，内切圆圆心M，设各边的切点分别为A，D，Q（A为双曲线的右顶点，如图），
所以 ，可得 ，联立 消去y可得 ，
设 ，且 ，所以直线l的方程为 ①，
设 的内切圆的半径为r，则由等面积可得 ，即 ，
所以 ②，由 ，可得直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ③．联立①②③，化简可得 ，得 ．
15．已知椭圆C： ，A，B分别为其左，右顶点，对于椭圆上任意一点P（不包括左、右顶点），
直线AP，BP分别交直线l： 于点M，N，则以线段MN为直径的圆所过定点的坐标为 ．
【解析】依题意，如下图所示：设 ，则 且 ，而 ， ，
即 ， ，∴ ， ．∴ （定
值），
而 不为定值．设圆上一点 ，则 ，
∴ ， 取 ，此时 或13，
故以线段MN为直径的圆过定点 ， ．
16．已知椭圆 离心率 ， 过椭圆中心的直线交椭圆于 两点 ( 在第一象限)， 过
作 轴垂线交椭圆于点 ， 过 作直线 垂直 交椭圆于点 ， 连接 交 于点 ， 则
．
【解析】 ．设 ， 则 ，
设 ， 两式相减并化简得 ，
即 ，由 ， 可得 ，则 ，，即 ，解得 ， ， ,
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的右顶点为 ，上顶点为 ，左､右焦点分别为 为原点，
且 ，过点 作斜率为 的直线 与椭圆 交于另一点 ，交 轴于点 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)设 为 的中点，在 轴上是否存在定点 ，对于任意的 都有 ？若存在，求出
定点 的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】（1）由题意得 ，又 ， .
椭圆 的方程为 .
（2）设直线 的方程为： ，令 得 ，即 ，
联立 ，得 ，
所以 ，
则 ， ，
若在x轴上存在定点 ，对于任意的 都有 ，
则 ，即 ，解得 ，所以存在定点 .
18．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，A，B分别是C的右、上顶点，且
，D是C上一点， 周长的最大值为8.
(1)求C的方程；
(2)C的弦 过 ，直线 ， 分别交直线 于M，N两点，P是线段 的中点，证明：以
为直径的圆过定点.
【解析】（1）依题意， ，
周长 ，
当且仅当 三点共线时等号成立，故 ，
所以 ，所以 的方程 ；
（2）设 ，直线 ，代入 ，整理得 ，
， ，
易知 ，令 ，得 ，同得 ，
从而中点 ， 以 为直径的圆为
，由对称性可知，定点必在 轴上，令 得， ，
，
所以 ，即 ，因为 ，
所以 ，即 ，
解得 ，所以圆过定点 .
19．已知椭圆 ： 的离心率为 ，右焦点为 ， ， 分别为椭圆 的左、
右顶点.
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 作斜率不为 的直线 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，记直线 的斜率为 ，直线 的
斜率为 ，求证： 为定值；
(3)在（2）的条件下，直线 与直线 交于点 ，求证：点 在定直线上.
【解析】（1）依题可得 ，解得 ，所以 ，所以椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，因为直线 过点 且斜率不为 ，
所以可设 的方程为 ，代入椭圆方程 得 ，
其判别式 ，所以 ， .
两式相除得 ，即 ．
因为 分别为椭圆 的左、右顶点，所以点 的坐标为 ，点 的坐标为 ，
所以 ， ．
从而 ．
（3）由（1）知 ，设 ，则 ，
所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
联立 可得 ，
所以直线 与直线 的交点 的坐标为 ，所以点 在定直线 上.
20．已知椭圆 经过点 ，两个焦点为 和 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 过点 且与椭圆 相交于 、 两点， ，点 与 关于 轴对称，点 与 关于 轴对称，设直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 .
（i）求证： 为定值，并求出这个定值；
（ii）若 ，求直线 的方程.
【解析】（1）因为椭圆焦点在 轴上，故设椭圆 的标准方程为 .
则 ，解得 ，∴椭圆 的标准方程为： .
（2）法一：（i）显然直线与 轴不重合，设 ， ，
由 ,得 ， ，
设 ， ，则 ， ，
且 ， ， ，
∴ ，∴ 为定值.
法二：设 ， ，则 ， ，且 ，
则 .
（ⅱ）由（ⅰ）得由 得：
或-4（舍），故 满足 ，∴ .
21．已知椭圆 ： 的短轴长为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 的动直线 与椭圆 相交于不同的 两点，在线段 上取点 ，满足
，证明：点 总在某定直线上．
【解析】（1）由题意可知 ，因为 ，所以解得 ， ．
所以所求椭圆的方程为
（2）设 ， ， ， ，
直线 的斜率显然存在，设为 ，则 的方程为 ．
因为 ， ， ， 四点共线，不妨设 ，
则 ， ， ， ，
由 ，可得 ，化简得 ．（*）
联立直线 和椭圆的方程，得 ，
消去 ，得 ，
，得 ，
由韦达定理，得 ， ．代入（*）
化简得 ，即 ．
又 ，代入上式，得 ，化简得 ．
所以点 总在一条定直线 上．
22．已知双曲线 与椭圆 的焦点重合，且 与 的离心率之积为 ．
(1)求双曲线 的标准方程；
(2)设双曲线 的左､右顶点分别为 ，若直线 与圆 相切，且与双曲线左､右两支
分别交于 两点，记直线 的斜率为 的斜率为 ，那么 是否为定值？并说明理由．
【解析】（1）设双曲线 的标准方程为 ．
易知椭圆 的焦点坐标为 ，离心率为 ，所以 ，因为 与 的离心率之积为 ，所以 的离心率为 ，
所以 ，即 ，解得 ．故双曲线 的标准方程为 ．
（2） 是定值，理由如下：
设 ，其中 ，
因为直线 与圆 相切，所以 ，即 ，
联立 ，消去 并整理得 ，
所以 ．因为 ，则 ，即 ，
所以 ．
由题意得 ．，即 为定值．
