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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(38)
(等差数列及其前 n 项和)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.（2023·江苏南通·校联考模拟预测）在等差数列 中，若 ， ，则 （ ）
A．16 B．18 C．20 D．22
【答案】B
【解析】因为 是等差数列，设其公差为 ，
所以 ，解得 ，
所以 .
故选：B．
2.（2023·全国·统考高考真题）记 为等差数列 的前 项和．若 ，则
（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
【答案】C
【解析】方法一：设等差数列 的公差为 ，首项为 ，依题意可得，
，即 ,
又 ，解得： ，
所以 ．
故选：C.
方法二： ， ，所以 ， ，
从而 ，于是 ，
所以 ．
故选：C.
3.（2023·山东济宁·高三一模）已知等差数列 的前5项和 ，且满足 ，则等差数列{a}
n
的公差为（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】D【解析】 ； ，解得 ， .
故选：D
4.（2019•新课标Ⅰ理）记 为等差数列 的前 项和．已知 ， ，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】设等差数列 的公差为 ，由 ， ，得 ， ，
， ，
故选：A．
5.（2020·全国·统考高考真题）北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层中心有一
块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块，下一层的
第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729
块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)（ ）
A．3699块 B．3474块 C．3402块 D．3339块
【答案】C
【解析】设第n环天石心块数为 ，第一层共有n环，
则 是以9为首项，9为公差的等差数列， ，
设 为 的前n项和，则第一层、第二层、第三层的块数分
别为 ，因为下层比中层多729块，
所以 ，
即
即 ，解得 ，所以 .
故选：C
6.(2022·江苏金陵中学期中改编) 等差数列 中， ，公差 ，且 ，则实
数 的可能取值为（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【 解 析 】 因 为 等 差 数 列 中 ， ， 且 ， 所 以
，
整理得 ，因为 ，所以 ，
，所以 ，所以实数 的可能取值为 ， ．
故选：A．
7.（2023秋·山东日照·高三期初统测）已知等差数列 中的各项均大于0，且 ，则
的最小值为（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】B
【解析】设等差数列 的公差为 ，
则由 得 ，解得 或 （舍去），
所以 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则 ，
令 得 或 （舍去），
当 时， ，当 时， ，所以 在 上单调递减， 在 上单调递增，
所以当 时， 取得最小值为 ，
所以 的最小值为 .
故选：B
8.（2022·江苏淮安·统考模拟预测）已知等差数列 }的前n项和为 ，若 ，则 的取值范
围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得 ，则 ，
因为 ，可得 ，则 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
由题意可得 ，可得 .
即 的取值范围是 .
故选：C.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.已知等差数列 是递减数列， 为其前 项和，且 ，则（ ）
A. B.
C. D. 、 均为 的最大值
【答案】BD
【解析】因为等差数列 是递减数列，所以， ，所以， ，故A错误；因为 ，所以 ，故B正确；
因为 ，故C错误；
因为由题意得， ，所以， ，故D正确；
故选：BD
10.(2022·江苏连云港·期中测试)等差数列的前n项和为，则（ ）
A．a ＝0 B．a ＜a
10 n＋1 n
C．当S＞0时，n的最小值为20 D．S＜S
n 2 16
【答案】AC
【解析】由题意可知，在等差数列中，因为S ＝S ，所以a ＋a ＋a ＋…＋a ＝0，所以7a ＝0，所以a
6 13 7 8 9 13 10 10
＝a＋9d＝0，即有a＝－9d，所以选项A正确；因为a＝－9d，a＜0，所以d＞0，则a ＞a，故选项B
1 1 1 1 n＋1 n
错误；因为S ＝na ＋d＝－9dn＋d＞0，解得n＞19，则n的最小值为20，故选项C正确；因为S －S ＝
n 1 16 2
16a＋d－(2a＋d)＝14a＋119d＝14×(－9d)＋119d＝－7d＜0，所以S ＜S，故选项D错误；综上，
1 1 1 16 2
故选：AC．
11.（2023·宿迁沭阳·高三模拟）设 是数列 的前n项和，且 ， ，则（ ）
A．
B．数列 是公差为 的等差数列
C．数列 的前5项和最大
D．
【答案】AC
【解析】 ，
， 或 (舍)，故选项A正确；
又 ， ， ，
数列 是公差为 的等差数列，故选项B错误；
由 得 ，， 数列 的前5项和最大，故选项C正确；
当 时， ，这与 矛盾，
故选项D错误，
故选:AC.
12.（2023·山东枣庄·高三二模）已知 为等差数列，前n项和为 ， ，公差 ，则
（ ）
A.
B. 当 戓6时， 取得最小值为30
C. 数列 的前10项和为50
D. 当 时， 与数列 共有671项互为相反数．
【答案】AC
【解析】因为等差数列 ，且 ，公差 ，
所以 ，
，
所以 ， ，
所以选项A正确；
因为 ，
根据二次函数的对称性及开口向下可知：
取得最大值为 ，故选项B错误；
记 的前10项和为 ，
因为 ，当 时，解得 ，
当 时，解得 ，
所以，
因为 ，所以 ，
所以 ，故选项C正确；
记 ，因为 ， ，
所以 ，所以当 时， ，
由 ， ，可知 为偶数，
若 与 互为相反数，则 ，且 为偶数，
由 ，所以 为偶数，即 为偶数，即 为偶数，
即 ，即 ，且 为偶数，所以 ，且为偶数，
故这样的 有670个，故选项D错误.
故选：AC
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.记 为等差数列 的前 项和，若 ， ，则 =_______．
【答案】
【解析】 是等差数列，设公差为 ，
又 ， ， ，
.
故答案为： .
14.（2022·全国·高考真题（文））记 为等差数列 的前n项和．若 ，则公差
_______．【答案】2
【解析】由 可得 ，化简得 ，
即 ，解得 .
故答案为：2.
15.已知正项数列 的前 项和为 ，满足 ，则 的最小值为_______．
【答案】
【 解 析 】 因 为 ， 所 以 当 时 ， ， 两 式 相 减 得
，整理得 ，
因为数列 为正项数列，所以 ，则 ，数列 为等差数列，公差为2，
当 时， ，解得 或-1（舍去），
所以 ， ，则 ，
令 ，则 ，函数 在 上单调递增，
所以当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：
16.（2020届河南省天一大联考“顶尖计划”高三一联）记数列 的前 项和为 ，已知
，且 .若 ，则实数 的取值范围为________.
【答案】
【解析】当 时， ，解得 .所以 .
因为 ，
则 ，
两式相减，可得 ，即 ，
则 .两式相减，
可得 .
所以数列 是首项为3，公差为2的等差数列，
所以 ，则 .
令 ，则 .
当 时， ，数列 单调递减，
而 ， ， ，
故 ，即实数 的取值范围为 .
故答案为： 。
