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专题 15 数列中的情景题及数学文化题
一、单选题
1．明代数学家程大位在《算法统宗》中已经给出由n， 和d求各项的问题，如九儿问甲歌：“一个公公
九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七．借问长儿多少岁，各儿岁数要详推．”则
该问题中老人的长子的岁数为（ ）
A．35 B．32 C．29 D．26
【答案】A
【解析】根据题意，九个儿子的岁数从大到小构成公差为 的等差数列，设长子的岁数为 ，则
，解得 ．故选A
2．（2024届辽宁省六校高三上学期期初考试）黄山市歙县三阳镇叶村历史民俗“叠罗汉”已被列入省级
非物质文化遗产保护项目，至今已有500多年的历史，表演时由二人以上的人层层叠成各种样式，魅力四
射，光彩夺目，好看又壮观.小明同学在研究数列 时，发现其递推公式 就可以利
用“叠罗汉”的思想来处理，即 ，如果该数列 的前两项分别为
，其前 项和记为 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．【答案】D
【解析】由 得，
所以
，
.故选D.
3．《周碑算经》记载：一年有二十四个节气，每个节气唇（guǐ）长损益相同，夏至、小暑、大暑、立秋、
处暑、白露、秋分、寒露、霜降、立冬、小雪、大雪是连续十二个节气，其日影子长依次成等差数列．经
记录测算，夏至、处暑、霜降三个节气日影子长之和为16.5尺，这十二节气的所有日影子长之和为84尺，
则夏至的日影子长为（ ）尺
A．1 B．1.25 C．1.5 D．2
【答案】C
【解析】由题意可知：十二个节气的日影子长为等差数列，
设为 ，公差为d，其前n项和为 ，则 ，代入得：
，解得： .故选C.
4．（2023届广东省揭阳市惠来县高三最后一模）在《增减算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八
里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，如此六日过其关”.其大意是：有人要去某关口，路程为 里，
第一天健步行走，从第二天起由于脚痛，每天走的路程都为前一天的一半，一共走了六天，才到目的地.则
此人后 天共走的里程数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】设第 天走 里，其中 ，由题意可知，数列 是公比为 的等比数列，所以，，解得 ，所以，此人后三天所走的里程数为
.故选D.
5．（2024届湖南省永州市双牌县高三上学期摸底联考）“三分损益法”是古代中国发明的制定音律时所
用的生律法.例如：假设能发出第一个基准音的乐器的长度为36，那么能发出第二个基准音的乐器的长度
为 ，能发出第三个基准音的乐器的长度为 ，……，也就是依次先减少三分
之一，后增加三分之一，以此类推.现有一兴趣小组采用此规律构造了一个共12项的数列 用来研究数
据的变化，已知 ，则 （ ）
A．324 B．297 C．256 D．168
【答案】A
【解析】由损益规律可知 ，即 ，
解得 .故选A
6．（2023届河南省部分名校高三二模）大衍数列0，2，4，8，12，18，⋯来源于《乾坤谱》中对易传
“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项，都代表太极衍
生过程中，曾经经历过的两仪数量总和.其通项公式为 记数列 的前n项和为 ，
则 （ ）
参考公式： .A．169125 B．169150 C．338300 D．338325
【答案】B
【解析】由 ，
故
.故选B
7．任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 再加上 ；若是偶数，就将该数除以 ．反复进行上述两种
运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 ．这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角
谷猜想”）．比如取正整数 ，根据上述运算法则得出 ．猜想的
递推关系如下：已知数列 满足 （ 为正整数）， ，若 ，则 的取值
为（ ）
A． B． C． D． 或
【答案】D
【解析】由“冰雹猜想”可知：若 ，则 ， ，若 为偶数，则 ；若 为奇数，
则 ；综上所述： 或 .故选D.
8．高阶等差数列是数列逐项差数之差或高次差相等的数列，中国古代许多著名的数学家对推导高阶等差
数列的求和公式很感兴趣，创造并发展了名为“垛积术”的算法，展现了聪明才智 如南宋数学家杨辉在
《详解九章算法 商功》一书中记载的三角垛、方垛、刍甍垛等的求和都与高阶等差数列有关 如图是一个
三角垛，最顶层有 个小球，第二层有 个，第三层有 个，第四层有 个，则第 层小球的个数为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【解析】记第 层有 个球，则 ， ， ， ，
结合高阶等差数列的概念知 ， ， ， ， ，则第 层的小
球个数
．故选B
9．（2023届陕西省丹凤中学高三模拟）在数学中，欧拉-马䟜罗尼常数 是数学中的一个重要常用无理数，
为了便于仗用，我们认为 ，且 ．研究 与
的单调性，可得 所在的区间为（ ）（参考数据，
）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 单调递减，则 ，
即 ．
因为 ，
所以 单调递增，则当 趋近于 时，
，
所以 ，
所以 ，故 所在的区间为 ．故选C
10．（2023届甘肃省陇南市高三一模）斜拉桥是将梁用若干根斜拉索拉在塔柱上的桥，它由梁、斜拉索和
塔柱三部分组成.如图1，这是一座斜拉索大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列.如图2，已知拉
索上端相邻两个锚的间距 约为4m，拉索下端相邻两个锚的间距
均为18m.最短拉索的锚 ， 满足 ， ，以 所在直线为 轴， 所在直线为
轴，则最长拉索所在直线的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由题意知 ， 分别是公差为4和18的等差数列，
所以 ， ，所以 ，
，即最长拉索所在直线的斜率为 .故选B.
11．（2023届湖南省岳阳市华容县高三上学期适应性考试）裴波那契数列 ，因数学家莱昂纳多·裴波
那契以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，该数列 满足 ，且
．卢卡斯数列 是以数学家爱德华·卢卡斯命名，与裴波那契数列联系紧密，即
，且 ，则 （ ）A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】因为 ，所以当 时， ，
所以 ，
故 ，因为 ，
所以 ， ，
故 ，
所以 .故选C.
12．（2024届山西省大同市高三上学期学情调研）分形几何学是数学家伯努瓦•曼德尔布罗在20世纪70
年代创立的一门新的数学学科，它的创立为解决众多传统科学领域的难题提供了全新的思路，按照如图1
的分形规律可得知图2的一个树形图，记图2中第 行黑圈的个数为 ，白圈的个数为 ，若 ，
则 （ ）
A．34 B．35 C．88 D．89
【答案】D
【解析】由题可知，每个白圈在下一行产生一个白圈一个黑圈，一个黑圈在下一行产生一个白圈两个黑圈，
所以有 ， ，又因为 ， ，所以 ， ， ， ， ， ，
， ， ， ， ， ，故选D.
二、多选题
13．（2023届江苏省南通市如皋市高三上学期调研测试）朱世杰是历史上伟大的数学家之一，他所著的
《四元玉鉴》卷中“如像招数”五问中有如下问题：“今有官司差夫一千八百六十四人筑堤，只云初日差
六十四人，次日转多七人，每人日支米三升.”其大意为“官府陆续派遣1864人前往修筑堤坝，第一天派出
64人，从第二天开始每天比前一天多派7人，官府向修筑堤坝的每人每天发放大米3升.”则下列结论正确
的有（ ）
A．将这1864人派谴完需要16天
B．第十天派往筑堤的人数为134
C．官府前6天共发放1467升大米
D．官府前6天比后6天少发放1260升大米
【答案】ACD
【解析】记数列 为第n天派遣的人数，数列 为第n天获得的大米升数，则 是以64为首项，7
为公差的等差数列，即 ， 是以192为首项，21为公差的等差数列，即 ，所以
，B不正确.
设第k天派遣完这1864人，则 ，解得 （负值舍去），A正确；
官府前6天共发放 升大米，C正确，
官府前6天比后6天少发放 升大米，D正确.故选ACD
14．（2024届贵州省贵阳第一中学高三上学期适应性月考）提丢斯·波得定律是关于太阳系中行星轨道的
一个简单的几何学规则，它是在1766年由德国的一位中学老师戴维斯·提丢斯发现的，后来被柏林天文台
的台长波得归纳成一条定律，即数列 ：0.4，0.7，1，1.6，2.8，5.2，10，19.6…表示的是太阳系第 颗
行星与太阳的平均距离（以天文单位AU为单位）.现将数列 的各项乘以10后再减4，得到数列 ，可以发现数列 从第3项起，每项是前一项的2倍，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 的第2023项为 B．数列 的通项公式为
C．数列 的前10项和为157.3 D．数列 的前 项和
【答案】CD
【解析】数列 各项乘以 后再减 得到数列
故该数列从第 项起构成公比为 的等比数列，所以 ，
则 ，故A错误；
从而 ，故B错误；
设数列 的前 项和为 ，
当 时， ；
当 时
，
当 时， 也符合上式，所以 ，
所以 ，故C正确；
因为 ，所以当 时 ，
当 时 ，
，两式相减得
，
所以 ，
又当 时 也满足上式，所以 ，故D正确.故选CD.
15．平面螺旋是以一个固定点开始，向外圈逐渐旋绕而形成的图案，如图（1）．它的画法是这样的：正
方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H作第二个正方形，然后再取正方形
EFGH各边的四等分点M，N，P，Q作第三个正方形，以此方法一直循环下去，就可得到阴影部分图案，
设正方形ABCD边长为 ，后续各正方形边长依次为 ， ，…， ，…；如图（2）阴影部分，设直角
三角形AEH面积为 ，后续各直角三角形面积依次为 ， ，…， ，…．则（ ）
A．数列 是以4为首项， 为公比的等比数列
B．从正方形 开始，连续 个正方形的面积之和为32
C．使得不等式 成立的 的最大值为3
D．数列 的前 项和
【答案】ACD【解析】对于A选项，由题意知， 且 ，
所以 ，又因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，故A正确；
对于B选项，由上知， ， ， ， ，
所以 ，故B错误；
对于C选项， ，
易知 是单调递减数列，且 ， ，
故使得不等式 成立的的最大值为 ，故C正确；
对于D选项，因为 ，且 ，
所以 ，所以 ，故D正确；故选ACD．
16．（2024届重庆市高三上学期9月质量检测）历史上著名的伯努利错排问题指的是：一个人有
封不同的信，投入n个对应的不同的信箱，他把每封信都投错了信箱，投错的方法数为 .例如两封信都投
错有 种方法，三封信都投错有 种方法，通过推理可得： .高等数学给出了泰勒公式： ，则下列说法正确的是（ ）
A． B． 为等比数列
C． D．信封均被投错的概率大于
【答案】ABC
【解析】选项A，令4封信分别为 ，当 在第2个信箱时，共3种错排方式：
第1种
信箱 1 2 3 4
信
第2种
信箱 1 2 3 4
信
第3种
信箱 1 2 3 4
信
同理可得 在第3和4个信箱时，也分别有3种错排方式，所以共 种方法，故A选项正确；
选项B， ，∴ ，
又 ，则 ，故B选项正确；
选项C， ，
两边同除以 得，
∴ ，，故C选项正确；
选项D，装错信封的概率为 ，∵ ，
则 ，即
当n为奇数时， ；
当n为偶数时， ；综上，当
n为奇数时 ；当n为偶数时 ，故D项错误.故选ABC.
17．（2023届重庆市高三下学期5月质量检测）麦克斯韦妖（Maxwell＇s demon），是在物理学中假想的
妖，能探测并控制单个分子的运动，于1871年由英国物理学家詹姆斯·麦克斯韦为了说明违反热力学第二
定律的可能性而设想的．当时麦克斯韦意识到自然界存在着与熵增加相拮抗的能量控制机制．但他无法清
晰地说明这种机制．他只能诙谐地假定一种“妖”，能够按照某种秩序和规则把作随机热运动的微粒分配
到一定的相格里．麦克斯韦妖是耗散结构的一个雏形．可以简单的这样描述，一个绝热容器被分成相等的
两格，中间是由“妖”控制的一扇小“门”，容器中的空气分子作无规则热运动时会向门上撞击，“门”
可以选择性的将速度较快的分子放入一格，而较慢的分子放入另一格，这样，其中的一格就会比另外一格
温度高，可以利用此温差，驱动热机做功．这是第二类永动机的一个范例．而直到信息熵的发现后才推翻
了麦克斯韦妖理论．设随机变量X所有取值为1，2，…n，且 （ ，2，…n） ，
定义X的信息熵 ，则下列说法正确的有（ ）
A．n=1时B．n=2时，若 ，则 与 正相关
C．若 ， ，
D．若n=2m，随机变量y的所有可能取值为1,2,…,m，且 （j=1,2,…,m）则
【答案】ABD
【解析】对于A，若 ，则 ，因此 ，A正确；
对于B，当n=2时， ， ，
令 ，则 ，
即函数 在 上单调递增，所以 与 正相关，B正确；
对于C， ， ，则 ，
，而 ，
于是
，令 ，
则 ，两式相减得
，因此 ， ，C
错误；
对于D，若 ，随机变量 的所有可能的取值为 ，且 （ ），
，，
由于 ，即有 ，则 ，
因此 ，所以 ，即 成立，D正确.
故选ABD
三、填空题
18．风雨桥（如图①所示）是侗族最具特色的民间建筑之一.风雨桥由桥、塔、亭组成.其中亭、塔的俯视
图通常是正方形、正六边形或正八边形.图②是某风雨桥亭的大致俯视图，其中正六边形的边长的计算方法
如下： ， ，…， ，其中
.已知该风雨桥亭共 层，若 ， ，则图②中的五个正
六边形的周长总和为 .
【答案】
【解析】由已知可得 （ 且 ）， ，
则 ，
所以，图②中五个六边形的边长（单位： ）构成以 为首项，以 为公差的等差数列，所以，这五个正六边形的周长之和为 .
19．（2024届江西省南昌市高三上学期8月月考）我国古代的《洛书》中记载着世界上最古老的一个幻方：
如图将 填入 的方格内，使三行，三列和两条对角线上的三个数字之和都等于15. 一般地，将
连续的正整数 填入 个方格中，使得每行，每列和两条对角线上的数字之和都相等，这个正
方形叫做 阶幻方. 记 阶幻方的每列的数字之和为 ，如图三阶幻方的 ，那么 .
【答案】65
【解析】由 阶幻方填入 ，共 列，
这 个数字之和为 ，由这 列之和都相等，
则每一列和 .
故 .
20．我国古代数学著作《九章算术》中有“竹九节”问题：现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成
等比数列，最上面 节的容积之积为 ，最下面 节的容积之积为 ，则第 节的容积是 .
【答案】
【解析】现有一根 节的竹子，自上而下各节的容积成等比数列，
设第 节的容积为 ，则 为等比数列，且 ，
上面 节的容积之积 ，下面 节的容积之积为 ，
，解得 ， ，第 节的容积为： ．
21．黎曼猜想由数学家波恩哈德·黎曼于1859年提出，是至今仍未解决的世界难题.黎曼猜想涉及到很多领
域的应用，有些数学家将黎曼猜想的攻坚之路趣称为：“各大行长躲在银行保险柜前瑟瑟发抖，不少黑客
则潜伏敲着键盘蓄势待发”.黎曼猜想研究的是无穷级数 ，我们经常从无穷级
数的部分和 入手.已知正项数列 的前 项和为 ，且满足 ，则
（其中 表示不超过 的最大整数）.
【答案】38
【解析】当 时， ， ， ，∵ ，∴ ，
当 时， ，∴ ， ，
∴ ，∴ 是以1为首项，公差为1的等差数列，∴ ，
∵ ，∴ ，∴ ， ，即 ，
又 时， ，即 ，
令 ，
，
，
即 ，从而 .
22．（2023届河北省衡水中学高三六调）将杨辉三角中的每一个数 都换成分数 ，就得到一个如图所示的分数三角形，称为莱布尼茨三角形，从莱布尼茨三角形可以看出：
，令 ， 是 的前 项和，
则 .
【答案】
【解析】由 可得： ，
所以
所以
，
∴ .
