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哈尔滨德强高级中学 2025-2026 学年度上学期期末考试
高二年级数学试题（Ⅰ卷）
时间：120 分钟 满分：150 分
一、单选题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，每小题四个选项中，仅有一项正确）
1. 等于（ ）
A. 35 B. 210 C. D. 21
【答案】B
【解析】
【分析】按照排列数计算即可.
【详解】由题可知： .
故选：B
2. 抛物线 的焦点为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将抛物线方程化为标准方程，根据方程特点可求出其焦点坐标.
【详解】 的标准形式为 ，其焦点在 轴负半轴上，坐标为 .
故选：C
3. 下列求导结果正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据导数的运算法则求导即可.
第 1页/共 19页【详解】因 ，
，
，
.
故 ABC 错误，D 正确.
故选：D
4. 在等差数列 中， 则其前 11 项的和
A. 99 B. 198 C. D. 128
【答案】A
【解析】
【分析】由等差数列{a }中，a+a+a =27，，可得 a 的值，再根据 S = 运算求得结果．
n 1 3 14 6 11
【详解】∵等差数列{a }中，a+a+a =27，∴3（a+5d）=3a=27 前 11 项的和 S = =11a =99
n 1 3 14 1 6 11 6
故选 A．
【点睛】本题考查等差数列的定义和性质，通项公式，解决此类问题的关键是熟练掌握等差数列的有关性
质与等差数列的前 n 项和的公式，并且加以正确的计算.
5. 已知圆 与圆 ，若圆 C 完全覆盖圆 ， ，则圆 C 的半径的最小值
为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】A
【解析】
【分析】先判断圆 与圆 外切，依题意只需使所求圆的半径等于两圆半径之和即可.
【详解】依题意，圆 的圆心 ，半径 ，圆 的圆心 ，半径为 ，
则 ，故两圆外切，
第 2页/共 19页因圆 C 覆盖圆 ， ，所以圆 半径的最小值为 .
故选：A.
6. 若数列 满足 ，且 ，则数列 的
第 100 项为
A. 2 B. 3
C. D.
【答案】B
【解析】
【 详 解 】 试 题 分 析 ： 由 可 得 ：
，记 ，有 ，由累加法得： ，数列
的第 项为 ，故选 B.
考点：递推数列及数列求和.
7. 已知 为抛物线 上一点，直线 与抛物线 交于 ， 两点，点 不在直线
上，且直线 与 的倾斜角互补，则直线 的斜率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】将点 代入抛物线方程得 ，则抛物线方程为 ，根据直线 与 的倾斜角互补得
，化简得 ，利用两点间斜率求得 ，即可得解.
【详解】因为 是抛物线 上一点，所以 ，得 ，
所以抛物线方程为 ，设 ， 的坐标分别为 ， ，
易知直线 、直线 、直线 的斜率存在，
第 3页/共 19页则 ， ，
由题意 ，可得 ，
所以 ，
所以直线 的斜率为定值 .
故选：C.
8. 已知当 时，函数 恒成立， 的导数为 ，且 ，则
的范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】构造函数 与 ，然后利用导数判断出两函数的单调性，利用单调性即
可求解.
【详解】令 ，则 ，
所以函数 为单调递增函数，由 ，
即 ，所以 ，
令 ，则 ，
第 4页/共 19页所以函数 为单调递减函数，由 ，
即 ，所以 ，
所以 .
故选：C
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，解题的难点和关键是构造出函数，属于难题.
二、多选题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
9. 若 3 男 3 女排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A. 共计有 720 种不同的排法
B. 男生甲在排头或在排尾的排法总数为 240 种
C. 男生甲、乙相邻的排法总数为 240 种
D. 男女生相间排法总数为 36 种
【答案】ABC
【解析】
【分析】由全排列公式判断 A，B；由捆绑法判断 C；由插空法判断 D.
【详解】对于 A，3 男 3 女排成一排共有 种不同的排法，故 A 正确；
对于 B，男生甲在排头或在排尾的排法总数为 种，故 B 正确；
对于 C，男生甲、乙相邻的排法总数为 种，故 C 正确；
对于 D，男女生相间排法总数为 种，故 D 错误
故选：ABC.
10. 已知函数 ，则（ ）
A. 函数 在 上单调递增
B. 函数 有且仅有一个零点
C. 函数 有且仅有一个极值点
D. 直线 是曲线 的切线
第 5页/共 19页【答案】BC
【解析】
【分析】利用导数求函数单调区间，由函数单调性确定极值点和零点，由导数的几何意义求切线方程.
【详解】函数 的定义域为 ，则 ，
令 ，则 在 上恒成立，所以函数 在 上单调递增，
又 ，
所以当 时， ，即 ，所以函数 在 上单调递减，
当 时， ，即 ，所以函数 在 上单调递增，
所以函数 存在极小值 ，所以 A 选项不正确，B，C 选项正确；
由 得 或 ，因为 ， ，所以曲线 在点 处的切
线方程为 ，同理 在点 处的切线方程为 ，所以 D 选项不正确．
故选：BC．
11. 已知等比数列 的各项均为正数，公比为 q，且 ， ，记 的前 n 项积为
，则下列选项中不正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】等比数列 的各项均为正数， ， ，可得 ，因此
， ， ．进而判断出结论．
【详解】 等比数列 的各项均为正数， ， ，
，
，若 ，则一定有 ，不符合不等式，
第 6页/共 19页故 ， ， ．
， ，
， ，
综上可知，AC 正确，BD 错误．
故选：BD．
12. 已知双曲线 的左焦点为 ， 为 右支上的动点，过 作 的一条渐近
线的垂线，垂足为 ， 为坐标原点，当 最小时， ， ， 成等差数列，则下列说法
正确的是（ ）
A. 若 的虚轴长为 2，则 到 的一条渐近线的距离为 2
B. 的离心率为
C. 若 的焦距为 2，则 到 的两条渐近线的距离之积小于
D. 若 的焦距为 10，当 最小时，则 的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】设出双曲线的右焦点，根据双曲线的定义以及题意得到 ， ，对 A，写出双曲线的
一条渐近线方程利用点到直线的距离即可求解；对 B，根据离心率的公式即可求解；对 C，根据双曲线的焦
距以及离心率，求出双曲线的方程，设出 点的坐标，表示出 到 的两条渐近线的距离，再根据 点在
双曲线上即可求解，对 D，根据题意可得 ，在 中利用余弦定理求出 ，即可求
解.
【详解】解：设双曲线的右焦点为 ，
则 ，
，
故当 最小时，即 取得最小值，
故当 三点共线时 最小，
第 7页/共 19页设双曲线的一条渐近线为： ，
故 ，
即 ，
，
又 ， ， 成等差数列，
故 ,
即 ，
即 ，
又 ，
将 代入得： .
对 A，若 的虚轴长为 2，则 ，
设双曲线的一条渐近线为： ，
则 到 的一条渐近线的距离为 ，故 A 错误；
对 B，由上述可知： ，
即 ，
即 ，故 B 正确；
对 C，若 的焦距为 2，则 ，
由 得： ，
第 8页/共 19页故双曲线的方程为： ，
双曲线的渐近线方程为： ，
即 ，
设 ，
则 到两条渐近线的距离分别为：
，
，
又 在双曲线上，
故 ，
即 ，
到两条渐近线的距离之积为： ，
故 C 正确；
对 D，若 的焦距为 10，则 ，
由 得： ，
则 的周长为： ，
又 ，
，
在 中，由余弦定理得： ,
即 ，
第 9页/共 19页故 ，
故 ，故 D 正确.
故选：BCD.
【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用双曲线的定义，再根据 最小时， ， ，
成等差数列，找到 的关系式，以及由 ，得到 .
三、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）
13. 函数 的单调减区间是______________
【答案】
【解析】
【分析】先求导数，再解不等式得结果
【详解】
所以单调减区间是
【点睛】本题考查利用导数求单调区间，考查基本分析求解能力，属基础题.
14. 甲、乙等五名学生志愿者在校庆期间被分配到莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个不同的岗位服务，
每个岗位至少一名志愿者，则甲、乙两人各自独立承担一个岗位工作的分法共有____种．(用数字作答)
【答案】72
【解析】
【分析】本题是一个分步计数问题，甲在四个地方选一个，有 4 种选择，乙在剩下的 3 个地方选一个，有 3
种选择，余下三人只能选择剩下的两个地方，总共有 2×2×2×2，这 8 种里要去掉 3 个人都选择同一个地
方的情况，得到结果．
【详解】解：由题意知本题是一个分步计数问题，
设 5 个志愿者为甲、乙、丙、丁、戊．甲在莘元馆、求真馆、科教馆、未名园四个地方选一个，有 4 种选
择，乙在剩下的 3 个地方选一个，有 3 种选择丙、丁、戊三人只能选择剩下的两个地方，每人有 2 个选择，
总共有 2×2×2＝8 种，这 8 种里要去掉 3 个人都选择同一个地方的情况
即 8﹣2＝6∴方法数为 4×3×6＝72 种
故答案为 72
第 10页/共 19页【点睛】本题考查分步计数问题，解题时一定要分清做这件事需要分为几步，每一步包含几种方法，再根
据分步乘法原理得到结果．本题是一个典型的排列组合的实际应用．
15. 已知椭圆 ，点 是椭圆的左右焦点，点 A 是椭圆上的点， 的内切
圆的圆心为 ，若 ，则椭圆的离心率为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据已知等式化简变形可得 三点共线，则可确定 为角平分线和中线，根据三线合
一得出 为等腰三角形，根据内切圆半径公式求出三边关系，再根据椭圆定义将数据代入离心率公
式即可.
【详解】取线段 的中点 ，因为 ，
所以 ，
所以点 三点共线，且 ，所以 为 的中线，
又因为点 为 的内切圆的圆心，所以 为 的角平分线，
所以 为等腰三角形， ，
则 的周长为 、面积为 ， 为内切圆半径 ，
根据三角形内切圆半径公式可得 ，
整理得
则 ，所以 .
故答案为： .
第 11页/共 19页16. 2024 央视春晚魔术表演的背景是约瑟夫问题，这是一个经典的数学问题，用数学语言描述为：将数字
按顺时针排列在圆周上，首先取走数字 2，然后按照顺时针方向，每隔一个数字就取走
一个数字，直到圆周上只剩下一个数字，将这个数字记为 ．例如 时，操作可知 ，则
___________．
【答案】17
【解析】
【分析】根据题意探索 ， ， ，与 之间的关系，即可求解.
【详解】由题意，圆周上顺时针排列 时，可得 ，就是这 个数中的第 个数；
当圆周上顺时针排列 时，第一轮操作将划去所有偶数，留下 共 个数，它们的第 个
数是 ，所以 ，是这 个数中的第 个数；
当圆周上顺时针排列 时，第一轮操作将划去所有偶数，留下 共 个数，它们的第 个
数是 ，所以 ，是这 个数中的第 个数；
当圆周上顺时针排列 时，第一轮操作将划去所有偶数，留下 共 个数，它们的第
个数是 ，所以 .
故答案为： .
四、解答题（本大题共 6 小题，其中第 17 题 10 分，18-22 题每题 12 分，共 70 分）
17. 已知圆 经过 和 两点，且圆心在直线 上．
（1）求圆 的方程；
（2）从点 向圆 C 作切线，求切线方程．
第 12页/共 19页【答案】（1）
（2） 或
【解析】
【分析】(1)根据弦的中垂线过圆心,联立过圆心的两条直线方程可确定圆心坐标，即可求解;(2)根据直线与圆
相切，则圆心到直线的距离等于半径即可求解.
【小问 1 详解】
由题可知 ,所以线段 的中垂线的斜率等于 1，
又因为 的中点为 ，
所以线段 的中垂线的直线方程为 ，
即 ，
联立 解得 ，所以圆心
又因为半径等于 ,所以圆 的方程为 .
【小问 2 详解】
设圆 的半径为 ，则 ，
若直线的斜率不存在，因为直线过点 ，
所以直线方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，满足题意;
若直线的斜率存在，设斜率为 ，
则切线方程为 ，即 ，
因为直线与圆相切，所以圆心到直线 距离 ，
解得 ，
所以切线方程为 ，即 .
所以切线方程为 或 .
第 13页/共 19页18. 等差数列 满足 ， ，正项等比数列 满足 ， 是 和 的等比中项．
（1）求 和 的通项公式；
（2）记 ，求数列 的前 项和 ．
【答案】（1） ， ；
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意，利用等差数列通项公式将 ， 用 ， 表示，联立方程组解得 ， ，可得通项
公式 ，进而可求得 ， 的值，可求得 的通项公式；
（2）由于 ，可用分组求和算得 的前 n 项和 .
【小问 1 详解】
设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 ，
由题意可得： ，
解得， ，
所以， ；
又 且 ， ，
所以 ，
所以 ．
【小问 2 详解】
因为 ，
所以
第 14页/共 19页.
19.
已知函数 ，
（I）当 时，求函数 的极值；
（II）若函数 在区间 上是单调增函数，求实数 的取值范围.
【答案】（1） 的极小值为 .（2）
【解析】
【分析】
【详解】解：（I）因为 ，所以当 时， ，
令 ，则 ，所以 的变化情况如下表：
0
0 +
极
小
值
所以 时， 取得极小值 .
(II) 因为 ，函数 在区间 上是单调增函数,
所以 对 恒成立.又 ，所以只要 对 恒成立, 解法一：设
，则要使 对 恒成立，
只要 成立，即 ，解得 .
解法二：要使 对 恒成立，
因为 ，所以 对 恒成立，
第 15页/共 19页因为函数 在 上单调递减，
所以只要 .
20. 设数列 的前 n 项和为 ，且 （I）求数列 的通项公式；
（II）设数列 满足： ，又 ，且数列 的前 n 项和为 ，求证： ．
【答案】(I) ；(II)证明见解析.
【解析】
【分析】(I)由 得 两式相减可化为 ，从而可得结论；(II)
由(I)知 ，利用裂项相消法求和，根据放缩法可得
结论.
详解】(I)由 , 得
得 ，故 是公比为 的等比数列，易知， ，
故 ;
(II)易知
.
【点睛】裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方
法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1) ；（2）
； （3） ；（4）
；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，
导致计算结果错误.
第 16页/共 19页21. 已知函数 满足： .
（1）求 的解析式；
（2）若 ，且当 时， ，求整数 k 的最大值.
【答案】（1） ；（2）2.
【解析】
【分析】(1)直接对 f(x)求导,然后令 x=1,求出 ,再令 x=0,求出 ,从而得到 f(x)的解析式;
(2)先求出 g(x)的解析式,然后利用分离参数法求出 k 的范围,进一步得到整数 k 的最大值.
【详解】解:(1)∵ ,
∴ ,
令 得, ,即 ,
令 得, ,
∴函数 的解析式为 .
(2)由(1)有 ,则 ,
∴ ,
故当 时, 等价于 ①,
令 ,则 ,
令函数 ,易 在 上单调递增,
而 , ,所以 在 内存在唯一的零点,
故 在 内存在唯一的零点,设此零点为 ,则 .
当 时, ；当 时, .
∴ 在 内的最小值为 .又由 可得
∴ ,∴ ,
第 17页/共 19页∴ 恒成立,则整数 的最大值为 2.
【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值,不等式恒成立问题,考查了转化思想和函数思想,属难
题.
22. 已知中心在原点，焦点在 轴的椭圆过点 ，且焦距为 ，过点 分别作斜率为 、
的椭圆的动弦 、 ，设 、 分别为线段 、 的中点．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）当 ，直线 是否恒过定点？如果是，求出定点坐标．如果不是，说明理由．
【答案】（1）
（2）过定点
【解析】
【分析】（1）由椭圆的定义可得出 的值，结合 的值可得出 的值，由此可得出椭圆的标准方程；
（2）联立直线 与椭圆的方程，求出点 的坐标，可得出点 的坐标，可得出直线 的方程，利用
根与系数的关系以及 可求得定点的坐标.
【小问 1 详解】
解：由题意知 ，设右焦点为 ，左焦点为 ，
则 ，可得 ，
所以， ，因此，椭圆的标准方程为 .
【小问 2 详解】
解：由题意 ，设 、 ，
因为点 在椭圆 内，则直线 、 都与椭圆 相交，
直线 方程为 ，即 ，
第 18页/共 19页联立 可得 ，
所以， ， ，即点 ，
同理可得点 ，
当 时，直线 的斜率为 ，
直线 的方程为 ，
又 ，直线 的方程化简得 ，此时直线 过定点 ；
当 时，直线 即 轴，也过点 .
综上，直线 过定点 .
【点睛】方法点睛：（1）直线过定点，由对称性知定点一般在坐标轴上，如直线 ，若 为常量，
则直线恒过 点；若 为常量，则直线恒过 ；
（2）一般直线过定点，把曲线方程变为 （ 为参数）．解方程组 ，
即得定点．
第 19页/共 19页
