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2024 届高考新结构数学-选择填空强化训练(7)
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1．已知数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为4，10，那么数据 ， ，…，
的平均数和方差分别为（ ）
A. ， B. 1， C. ， D. ，
【答案】D
【解析】设数据 ， ，…， 的平均数和方差分别为 和 ，
则数据 ， ，…， 的平均数为 ，方差为 ，
得 ， ，
故选：D．
2．在 的展开式中， 的系数为（ ）
A. 30 B.60 C. 40 D. -60
【答案】B
【解析】 的通项为： ，
令 可得： 的系数为 .
故选：B．
3．设等差数列 的前 项和 ，若 ， ，则 （ ）
A. 18 B. 27 C. 45 D. 63
【答案】C
【解析】由题意得 成等差数列，
即 成等差数列，
即 ，解得 .
故选：C
4．设 ， 是两条不同的直线， ， 是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）
A. 若 ， ， ，则 B. 若 ， ， ，则
C. 若 ， 是两条不同的异面直线， ， ， ，则 D. 若 ，
，则 与 所成的角和 与 所成的角互余
【答案】C
【解析】A． ， ，则 ，又 ，则 ，所以 不正确，A不正确；
B． ， ， ，则 或 ，故B不正确；
C．若 ， 是两条不同的异面直线， ， ， ，则 ，C正确．
D．由 时， 与 所成的角没有关系， 时，由面面平行的性质知 与 所成的角相
等， 与 所成的角相等，
因此 与 所成的角和 与 所成的角不一定互余，D不正确.
故选：C．5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，点 为椭圆 上位于第一象限
内的一点，若 ， （ 为坐标原点），则椭圆 的离心率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】如图，
由 ， ，可得 为直角三角形，
，且 ，
解得 ， ，
再由勾股定理可得：
得 ， ．
故选：D．
6．若O是 所在平面内 一点，且满足 ，则 的形状为（
的
）
A. 等边三角形 B. 等腰三角形 C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形
【答案】D
【解析】∵ ， ，
∴ ，两边平方，化简得 ∴ .
∴ 为直角三角形.
因为 不一定等于 ，所以 不一定为等腰直角三角形.
故选：D.
7．小明将 与等边 摆成如图所示的四面体，其中 ， ，若 平面
，则四面体 外接球的表面积为（ ）A. B. C. D.
【答案】C
【解析】 中，取 中点 ，则 为 的外心，
在等边 中取重心 ， 也为 的外心，
取 中点 ，连接 ，
过 ， 的外心作所在平面的垂线，
所得交点 即为外接球的球心，
则 ， 平面 ，则 平面 ，
则 ，
， 平面 ， 平面 ，
， ， 平面 ，
则 平面 ，所以 ，
故 为矩形，
则 ，
，
则
则外接球的表面积为 .
故选：C8．已知正数 满足 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】由题设 ，则 ，且 ，则 ，
令 且 ，故 ，
令 ，则 在 上递增，故 ，
所以 在 上递增，故 ，
所以 在 上递增，故 ，
即 在 上恒成立，故 ，A错，B对；
对于 的大小关系，令 且 ，而 ， ，
显然 在 上函数符号有正有负，故 的大小在 上不确定，
即 的大小在 上不确定，所以C、D错.
故选：B
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合
题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 ，i虚数单位，将
指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天
桥” 为自然对数的底数， 为虚数单位 依据上述公式，则下列结论中正确的是（ ）
A. 复数 为纯虚数
B. 复数 对应的点位于第二象限
C. 复数 的共轭复数为
D. 复数 在复平面内对应的点的轨迹是半圆
【答案】ABD
【解析】对于A， ，则 为纯虚数，A正确；对于B， ，而 ，即 ，则复数 对应的点位于第二象限，
B正确；
对于C， ，复数 的共轭复数为 ，C错误；
对于D， ，
复数 在复平面内对应的点的轨迹是半径为 的半圆，D正确．
故选：ABD
10 ． 在 中 ， 内 角 ， ， 所 对 的 边 分 别 为 ， ， ， 其 中 ， 且
，若 边上的中点为 ，则（ ）
A. B. 的最大值为
C. 的最小值为 D. 的最小值为
【答案】ABD
【解析】对于A： ，由正弦定理得
，即
， ，因为
，所以 ，所以 ， ， ，故A正确；
对于 B：由余弦定理知 ， ，因为 ， ，所以
， ，当且仅当 时等号成立，因为 ，所
以 的最大值为 ，故B正确；
对 于 C ： 由 B 知 ， 则 ， 所 以
，当且仅当 时等号成立，所以 的最大值为
，故C错；
对 于 D ： 因 为 为 边 上 的 中 线 ， 所 以 ，
，得 ，因为 ，所以
的最小值为 ，故D正确；
故选：ABD.11．已知 是圆 上任意一点，过点 向圆 引
斜率为 的切线 ，切点为 ，点 ，则下列说法正确的是（ ）
A. 时， B.
C. D. 的最小值是
【答案】BCD
【解析】当 时，圆 的方程为 ，圆心为 ，半径为 ，
过点 向圆 引切线，根据题意可知，切线斜率存在，
设切线方程为 ，即 ，
由点到直线的距离公式可得 ，又因为 ，所以 ，故A不正确；
设直线 ，由 ，
得 ，
由 ，即 ，
又因为 ，所以 ，所以 ，
所以 ，故B正确；
因为 ，
令 ， ，
当 时， ，所以 在 上单调递减，
因为 ，而 ，
所以 ，即 ，故C正确；
设 ，此时 ，故而 ，等号成立当且仅当 在 上，故
D正确.
故选：BCD.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．已知 的定义域为A，集合 ，若 ，则实数a的取值范
围是_______.
【答案】
【解析】 ，则 或 ，即 或 .
①当 时， ，满足 ，符合题意；
②当 时， ，所以若 ，
则有 或 （舍），解得 ；
③当 时， ，所以若 ，
则有 或 （舍），解得 .
综上所述， .
故答案为：
13.设函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，当 时，
，则 ______.
【答案】
【解析】因为函数 的定义域为 ，且 为偶函数， 为奇函数，
则 ， ，
所以，函数 的图象关于直线 对称，也关于点 对称，
所以， ， ，
所以， ，则 ，
所以，函数 是周期为 的周期函数，
当 时， ，则 ， ， ，
， ， ，
， ，
所以， ，又因为 ，所以， .
故答案为： .
14.函数 （ ）在区间 上有且只有两个零点，则 的取值范围是
______.
【答案】
【解析】利用三角函数的性质分析求解即可.
由于 在区间 上有且只有两个零点，所以 ，
即 ，由 得， ， ，
∵ ，∴ ，
∴ 或 ，解得 或 ，
所以 的取值范围是 .
故答案为：
