文档内容
2023~2024 学年度第二学期期末质量检测
高二数学试卷
一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的.
1.已知集合 ，则 （ ）
A. B.
C. D.
2.设 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若随机变量 ，且 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
4.某人研究中学生的性别与成绩､视力､智商､阅读量这四个变量的关系，随机抽查32名中学生，得到如下4
个列联表，则与性别有关联的可能性最大的变量是（ ）
成绩
性别 合计
及格 不及格
男 14 6 20
女 22 10 32
合计 36 16 52
视力
性别 合计
及格 不及格
男 4 16 20
女 12 20 32
合计 16 36 52
智商
性别 合计
及格 不及格男 8 12 20
女 8 24 32
合计 16 36 52
阅读量
性别 合计
及格 不及格
男 14 6 20
女 2 30 32
合计 16 36 52
A.成绩 B.视力 C.智商 D.阅读量
5.已知 ，且满足 ，则（ ）
A. 的最小值为48 B. 的最小值为
C. 的最大值为48 D. 的最大值为
6.定义“等方差数列”：如果一个数列从第二项起，每一项的平方与它的前一项的平方的差都等于同一个
常数，那么这个数列就叫做等方差数列，这个常数叫做该数列的方公差.设数列 是由正数组成的等方
差数列，且方公差为 ，则数列 的前 项和为（ ）
A. B. C. D.
7.某医院要派2名男医生和4名女医生去 三个地方义诊，每位医生都必须选择1个地方义诊，要求
每个地方至少有一名医生，且都要有女医生，同时男医生甲不去 地，则不同的安排方案为（
）
A.120种 B.144种 C.168种 D.216种
8.已知定义在 上的函数 ，设 的极大值和极小值分别为 ，则 的取
值范围是（ ）A. B. C. D.
二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目
要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9.已知变量 和变量 的一组成对样本数据 的散点落在一条直线附近，
，相关系数 ，线性回归方程为
，则（ ）
A.当 越大时，成对数据样本相关性越强
B.当 时，
C.当 时，成对样本数据 的相关系数 满足
D.当 时，成对样本数据 的线性回归方程 满足
10.已知 ，且 ，则（ ）
A. B. 使得
C. 可能大于0 D.
11.冒泡排序是一种计算机科学领域的较简单的排序算法，其基本思想是：通过对待排序序列
从左往右，依次对相邻两个元素 比较大小，若 ，则交
换两个数的位置，使值较大的元素逐渐从左移向右，就如水底下的气泡一样逐渐向上冒，重复以上过程直
到序列中所有数都是按照从小到大排列为止.例如：对于序列 进行冒泡排序，首先比较 ，需要交换1次位置，得到新序列 ，然后比较 ，无需交换位置，最后比较 ，又需要交换
1次位置，得到新序列 最终完成了冒泡排序，同样地，序列 需要依次交换
完成冒泡排序.因此， 和 均是交换2次的序列.现在对任一个包含 个不等实数的序列进
行冒泡排序 ，设在冒泡排序中序列需要交换的最大次数为 ，只需要交换1次的序列个数为 ，
只需要交换2次的序列个数为 ，则（ ）
A.序列 是需要交换3次的序列 B.
C. D.
三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12.若函数 为 的导函数，则 的值为__________.
13. 的展开式中 的系数为__________.（用数字作答）
14.设 是一个随机试验中的两个事件，且 ，则
__________.
四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.
15.（13分）
已知集合 ，非空集合 ，
（1）若 时，求 ；
（2）是否存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件？若存在，求实数 的取值范围；若
不恶在，请说朋理由.
16.（15分）
树人中学对某次高三学生的期末考试成绩进行统计，从全体考生中随机抽取48名学生的数学
成绩 和物理成绩 ，得到一些统计数据： ，其中分别表示这48名同学的数学成绩和物理成绩， 与 的相关系数 .
（1）求 关于 的线性回归方程；
（2）从概率统计规律看，本次考试该校高三学生的物理成绩 服从正态分布 ，用样本平均数
作为 的估计值，用样本方差 作为 的估计值.试求该校高三共1000名考生中，物理成绩位于区间
的人数 的数学期望.
附：①回归方程 中：
②相关系数
③若 ，则
④
17.（15分）
已知等差数列 的前 项利为 ，数列 的前 项利为 .
（1）求数列 和 的通项公式；
（2）设数列 满足 求 .
18.（17分）
（1）如图，在一条无限长的轨道上，一个质点在随机外力的作用下，从位置0出发，每次向左或向右移动
一个单位的概率都为 ，设移动 次后质点位于位置 .（ 求随机变量 的概率分布列及 ；
（ii）求 ；
（2）若轨道上只有 这 个位置.质点向左或右移动一个单位的概率都为 ，若在0处，则只
能向右移动.现有一个质点从0出发，求它首次移动到 的次数价期望.
19.（17分）
已知函数 .
（1）求函数 的单调区间；
（2）证明 时， ；
（3）若对于任意的 ，关于 的不等式 恒成立，求实数 的取值范围.2023~2024 学年度第二学期期末质量检测高二数学试卷
参考答案
1.C 2.B 3.B 4.D 5.A 6.A 7.D 8.B 9.BCD 10.AD 11.BCD
12. 13. 14.
15.解：（1）集合
当 时，非空集合
（2）假设存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件，则 ⫋ ，即 ⫋ ，则
，解得 .故存在实数 ，使得 是 的必要不充分条件.
16.解：（1）由题中数据可得，
由 可得
回归方程为
（2）
，又
所以物理成绩位于区间 的人数 的数学期望为815.
17.（1）设 的公差为 ，由题设得 .
解得 ，所以
当 时， ，也符合上式所以 .
（2）
记 ①
则 ②②-①得，
所以
18.（1）
（i） 可能取值为
（ii）设质点 次移动中向右移动的次数为 ，显然每移动一次的概率为 ，则 ，
所以 .
（2）设首次从 到 的步数期望为 ，则有
，
所以 ，可得 .
又小球在0处，只能向前移动到1，则有 ，所以 .又有 ，则 .
19.解：（1）
当 时， ；当 时，
的增区间为 ，减区间为 .
（2）令
当 时， ；当 时，
当 时， 即
原不等式等价于
为 上的减函数，
只需证明 即
令
当 时， ，当 时，
原不等式成立.
（3）当 时，由（2）知 又原不等式在 上恒成立.
当 时，令 .
在 内必有零点，设为 ，则
而
综上所述实数 的取值范围是 .
