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专题26 圆锥曲线中的弦长问题
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要
求的.
1．已知抛物线 的焦点为 ，若直线 与 交于 ， 两点，且 ，则
（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
【解析】令 ，则 ，故 ，所以 ，
所以 ，故准线为 ，则 .故选：B
2．过抛物线 的焦点F作倾斜角为 的弦AB，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】根据抛物线 方程得：焦点坐标 ，
直线 的斜率为 ，由直线方程的点斜式方程，设 ，
将直线方程代入到抛物线方程中，得： ，
整理得： ，设 ， ， ， ，
由一元二次方程根与系数的关系得： ， ，
所以弦长 ．故选：B．
3．直线 被椭圆 截得最长的弦为（ ）
A． B． C． D．
【解析】联立直线 和椭圆 ，可得 ，解得 或 ，则弦长 ，
令 ，则 ，
当 ，即 ， 取得最大值 ，故选：B
4．已知椭圆 的左、右顶点分别为 ，点 为 上一点，且 不在坐标轴上，直线 与直
线 交于点 ，直线 与直线 将于点 ．设直线 的斜率为 ，则满足 的 的所有
值的和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ， 则 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，则 的横坐标为 ，
直线 的方程为 ，则 的横坐标为 ，
所以 ，整理得 或 ，
解得 或 或 .
所以 的所有值的和为 ，故选：A
5．已知椭圆 的左､右顶点分别为 ，点 为 上一点，且 不在坐标轴上，直线 与直线交于点 ，直线 与直线 将于点 .设直线 的斜率为 ，则满足 的 的所有值的
和为（ ）
A． B． C． D．
【解析】设 ， ， 则 ， ，
则 ，因为 ，所以 ，
直线 的方程为 ，则 的横坐标为 ，
直线 的方程为 ，则 的横坐标为 ，
所以 ，整理得 或 ，
解得 或 或 .
所以 的所有值的和为 ，故选：A
6．已知圆 ，若直线m过 且与圆交于 两点，则弦长 的最小值是
（ ）
A． B．4 C． D．
【解析】由圆 的圆心坐标 ，半径 ，
因为直线m过 ，所以圆心到直线的最大距离就是圆心到 点的距离
可得 ，
由圆的弦长公式，可得 ，此时弦长 的最小，
即弦长 的最小值为 ，故选：D.7．已知抛物线 ： ( )的焦点为 ，准线为 ，过 的直线交抛物线于 ， 两点，作
， ，垂足分别为 ， ，若 ， ，则 （ ）
A． B．4 C．5 D．
【解析】如图所示，
由题意知： ： ， ，设 ， ，直线 ： ，
则 ， ，由 ，得： ，
， ， ， ，
，解得： ，设抛物线准线 交 轴于 ，
则 ，在 中，可得 ， ，
是等边三角形， ， ，
.故选：D.
8．过椭圆 上的焦点 作两条相互垂直的直线 ， 交椭圆于 两点， 交椭圆于
两点，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．【解析】当直线 有一条斜率不存在时，不妨设直线 斜率不存在，则直线 斜率为0，
此时 ， ，所以 ，
当直线 的斜率都存在且不为0时，不妨设直线 的斜率为k，则直线 的斜率为 ，
不妨设直线 都过椭圆的右焦点 ，所以直线 ，直线 ，
联立 与椭圆T ，可得 ，
， ，
所以 ，
同理 ，所以 ，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 = ，
令 ，因为 ，所以 ，
所以 ，所以 ，所以 ，
综上 的取值范围是 .故选：C
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符
合题目要求的.9．已知椭圆 ： 内一点 ，直线 与椭圆 交于 ， 两点，且点 是线段 的中点，
则（ ）
A．椭圆 的焦点坐标为 ，
B．椭圆 的长轴长为4
C．直线 的方程为
D．
【解析】由椭圆方程 ，所以 ， ，所以 ，故 ，
所以椭圆 的焦点坐标为 ， ，故A错误；
因为 ，所以椭圆 的长轴长为 ，故B正确；
设点 ， ，则 ，两式相减可得 ，
整理得 ，因为点 是线段 的中点，且 ，
所以 ，所以 ，所以直线 的方程为 ，即 ，故C正确；
由 ，得 ，
所以 ， ，所以 ，故D正确．
故选：BCD
10．已知 为坐标原点， ， ， 是抛物线 上两点， 为其焦点，则下列说法正确的有
（ ）
A． 周长的最小值为B．若 ，则 最小值为
C．若直线 过点 ，则直线 ， 的斜率之积恒为
D．若 外接圆与抛物线 的准线相切，则该圆面积为
【解析】因为抛物线 ， ， ，
所以 ，准线 ，
对于A，过 作 ，垂足为 ，则 ，
所以 周长的最小值为 ，故A正确；
对于B，若 ，则弦 过 ，过 作 的垂线，垂足为 ，过 作 的垂线，垂足为 ，设 的
中点为 ，过 作 ，垂足为 ，
则 ，即 最小值为4，故B不正确；
对于C，若直线 过点F，设直线 ，联立 ，消去 得 ，设 、 ，则 ， ，
所以 ，故C正确；
对于D，因为 为外接圆的弦，所以圆心的横坐标为 ，
因为 外接圆与抛物线C的准线相切，所以圆的半径为 ，
所以该圆面积为 ，故D正确.
故选：ACD.
11．已知抛物线 的焦点为 ，其准线 与 轴交于点 ，过 的直线与 在第一
象限内自下而上依次交于 两点，过 作 于 ，则（ ）
A． 的方程为
B．当 三点共线时，
C．
D．当 时，
【解析】由题意，在 中，准线 与 轴交于点
∴ ，解得： ，∴抛物线的方程为 ，A项错误；
设 的方程为 ，
联立 得 ，
则 ，即 ，由题意可知， ，当 三点共线时， ，
则 ，解得 ，则 ，
代入 的方程可知， ，
根据抛物线的定义可知 ，∴ ，B项正确；
由定义可知， ，
∵ ，∴ ，C项正确；
当 时，则 ，
解得 （负值舍去）， ，则 ，
由 ，则 ，
∴ ，①
假设 ，则 ，则 ，显然不符合①，所以D项错误．
故选：BC．
12．已知抛物线 的焦点为 ，定点 和动点 ， 都在抛物线 上，且
（其中 为坐标原点）的面积为3，则下列说法正确的是（ ）
A．抛物线的标准方程为
B．设点 是线段 的中点，则点 的轨迹方程为
C．若 （点 在第一象限），则直线 的倾斜角为D．若弦 的中点 的横坐标2，则 弦长的最大值为7
【解析】A． ，抛物线的标准方程为 ，故A错误；
B．抛物线的焦点为 ， ， ，则 ， ，
代入 ，得 ，整理得 ，
所以点 的轨迹方程为 ，B正确；
C．由于 ，所以 三点共线，设直线 的倾斜角为 ，
， ，解得 ，
同理可得 ，依题意 ，即 ，
，所以 为锐角，所以 ，C正确；
D．设直线 的方程为 ，由 消去 并化简得 ，
设 ，则 ，
，则 ，，
所以当 时， ， ，
满足 .所以D正确．
故选：BCD
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．已知直线 与椭圆 交于 、 两点，则线段 的长为 ．
【解析】设 ，联立 ，
， ，∴ ．
14．已知抛物线C： （ ）的焦点F与 的一个焦点重合，过焦点F的直线与C交
于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标为4，则弦长 ．
【解析】因为抛物线C： （ ）的焦点F与 的一个焦点重合，
所以 ，则 ，抛物线方程为 ，设 ，直线AB的方程为 ，
则 ，由 ，得 ，
则在点A处的切线方程为 ，即 ，
同理在点B处的切线方程为： ，两切线方程联立解得： ，即 ，
由 ，得 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 .
15．如果 分别是双曲线 的左、右焦点， 是双曲线左支上过点 的弦，且 ，则
的周长是
【解析】由题意知： ，故 .由双曲线的定义知 ①， ②，
①＋②得： ，所以 ，
所以 的周长是 .
16．已知斜率为 的直线 经过抛物线 的焦点且与此抛物线交于 ， 两点， ．
直线 与抛物线 交于 两点，且 两点在 轴的两侧．若 ，则
．
【解析】抛物线 的焦点为 ，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
所以 ，则 ，
，即 ，所以 或 ，
由 ，得 ，设 ，由 两点在 轴的两侧，则 ，所以 ， ，
，
所以 ，即 ，解得： 或 ，由上可知取
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知椭圆 的标准方程为 .
(1)求椭圆 被直线 截得的弦长；
(2)若直线 与椭圆交于 ， 两点，当 （O为坐标原点）时，求 的值.
【解析】（1）联立方程： ，整理可得：
根据韦达定理： ，
根据弦长公式椭圆 被直线 截得的弦长为：
（2）设 ， ， ，
联立方程： ，整理可得：
因为存在两个交点，故 ，解得
根据韦达定理： ， ， ，
因为 ，所以 ，
即 ，解得
18．已知O是平面直角坐标系的原点，F是抛物线 ： 的焦点，过点F的直线交抛物线于A，B两点，且 的重心为G在曲线 上.
(1)求抛物线C的方程；
(2)记曲线 与y轴的交点为D，且直线AB与x轴相交于点E，弦AB的中点为M，求四边形
DEMG的面积最小值.
【解析】（1）焦点 ，显然直线AB的斜率存在，设 ： ，
联立 ，消去y得， ，设 ， ， ，
则 ， ，所以 ，
所以 ，且 ，故 ，
即 ，整理得 对任意的 恒成立，故 ，
所求抛物线 的方程为 .
（2）解：
由（1）知， ， ， ， ， ，
则 ，又弦AB的中点为M， 的重心为G，则 ，
故 ，所以 ，D点到直线AB的距离 ，， ，
所以四边形 的面积 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
此时四边形 的面积最小值为 .
19．已知椭圆 的离心率为 ，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点， ，求 ．
【解析】（1）椭圆 的离心率为 ，右焦点为F，且E上一点P到F的最大距离3，
所以 ，所以 ，所以椭圆E的方程 ；
（2）A，B为椭圆E上的两点，线段AB过点F，且其垂直平分线交x轴于H点，
所以线段AB所在直线斜率一定存在，所以设该直线方程 代入 ，
整理得： ，设 ，
， ，
，整理得： ，
当 时，线段 中点坐标 ，
中垂线方程： ， ；当 时，线段 中点坐标 ，
中垂线方程： ， ，
综上所述： .
20．已知点 在圆 上运动，过点 作 轴的垂线段 为垂足， 为线段 的中点（当
点 经过圆与 轴的交点时，规定点 与点 重合）．
(1)求点 的轨迹方程；
(2)经过点 作直线 ，与圆 相交于 两点，与点 的轨迹相交于 两点，若 ，
求直线 的方程．
【解析】（1）点 ，点 ，则点 ，由点 是 的中点，得 ， ，
因为 在圆 上，所以 ，
可得 ，即 ，所以点 的轨迹是椭圆。
（2）若直线 的斜率不存在，则 ，
将 代入 中，解得 ，则 ，
将 代入 中，解得 ，则 ，而 ，舍去；
若直线 的斜率存在，设为 ，则 ，由点到直线的距离公式得圆心 到直线 的距离 ，则 ，
联立 得 ，
设 ， ，则 ， ，
，由 ，
得 ，解之得 ．
综上所述，直线 的方程为 或 ．
21．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，E的离心率为 ，斜率为k的直线l
过E的左焦点，且直线l与椭圆E相交于A，B两点.
(1)若 ， ，求椭圆E的标准方程；
(2)若 ， ， ，求k的值.
【解析】（1）因为 ，所以 ，由 ，得 .
因为 ， ，所以直线l的方程为 ，
将直线方程代入椭圆方程 并整理得 .
设 ， ，则 ， ，
所以 ，解得 ，所以椭圆E的标准方程为 .
（2）由（1）知， ， ， ，
易得直线l的方程为 ，椭圆E的方程为 ，
将直线方程代入椭圆方程并整理得 .
由 ， ，得 ， ，
又因为 ， ，
可得 ， ，所以 .
设 ， ，则 ， ，
因为 ，
所以 ，
整理得 ，又因为 ，所以 .
22．已知椭圆 : 过点 ，且离心率为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 且互相垂直的直线 , 分别交椭圆 于 , 两点及 两点.求 的取值范围.
【解析】（1）椭圆 : 过点 ，且离心率为所以 ，解得 ，所以椭圆 的方程为 ；
（2）当直线 的斜率不存在时，则直线 ： ，代入椭圆方程得 ，
所以 ；直线 ： ，代入椭圆方程得 ，所以 ，
所以 ；
当直线 的斜率不存在时，同理可得 ；
当直线 , 的斜率均存在，不妨设直线 的方程为 ，则直线 的方程为 ，
，
则 ，消去 得 ，
恒成立，所以 ，
所以
；
同理可得，将 换成 可得所以 ，
综上所述， 的取值范围是 .
