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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(41)
(数列的通项与求和)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知等差数列 的公差为 ，前 项和为 ，且 、 、 成等比数列，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意，得 ，
解得 ，所以 ．
故选:C
2.（2023·河北衡水·河北衡水中学校考三模）公差不为0的等差数列 的前 项和为 ，且 ，
若 ， ， ， ， 依次成等比数列，则 （ ）
A．81 B．63 C．41 D．32
【答案】C
【解析】因为 ，
所以 ，故 ，
设等差数列 的公差为 ，则 ，
所以 ，
因为 ， ， ， ， 依次成等比数列， ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故选：C.
3.（2023秋·山东潍坊·高三期中统考）设等差数列 的前 项和为 ，且公差不为 ，若 ， ，
构成等比数列， ，则 （ ）A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为 是等差数列 的前 项和，
所以 ，得 ，
因为 ， ， 成等比数列，所以 ，
设等差数列 的首项为 ，公差为 ，
则 ，
因为 ，解得， ， ，
所以 .
故选：D.
4.（2023·湖南郴州·统考三模）已知函数 的图象在点 处的切线的斜率
为 ，则数列 的前 项和 为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】 ，则 ，
所以 ，
所以 .
故选：C.
5.（2023秋·山东德州·高三期中统考）“中国剩余定理”又称“孙子定理”，原文如下：今有物不知其
数，三三数之剩二（除以3余2），五五数之剩三（除以5余3），七七数之剩二（除以7余2），问物几
何？现有这样一个相关的问题：已知正整数 满足五五数之剩三，将符合条件的所有正整数 按照从小到
大的顺序排成一列，构成数列 ，记数列 的前 项和为 ，则 的最小值为（ ）
A. 46 B. 42 C. 41 D. 25【答案】C
【解析】依题意， ，显然数列 是等差数列， ，
因此 ，当且仅当 ，即 时取等
号，
所以当 时， 取得最小值41.
故选：C
6.（2023·山东·烟台二中校考模拟预测）记数列 的前n项和为 ， ，数列 是公差为7
的等差数列，则 的最小项为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】依题意， ，因数列 是公差为7的等差数列，则
，
因此 ，当 时， ，而 不满足上式，
当 时， ，即当 时， ，
于是当 时，数列 是递增的，而 ， ，则 ，
所以 的最小项为 .
故选：C
7.（2023·山东日照·高三一模）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，设
，若存在正整数 ，使得 ， ， 成等差数列，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】数列 满足 ， ，
当 时， ，解得： ；当 时， ，
因为 ，所以 ，所以数列 是首项为1，公差为1的等差数列，
所以 ， ，
若存在正整数 ，使得 ， ， 成等差数列，
则 ，所以 ①
因为数列 是单调递减数列，
当 时，由 ，解得： ，舍去；
当 时，则 ， ；
当 时， ， ，所以 ，①式不成立，
所以 ，则有 ，解得： ，
故选：B.
8.若数列 的前 项和为 ， ，则称数列 是数列 的“均值数列”.已知数列 是
数列 的“均值数列”且通项公式为 ，设数列 的前 项和为 ，若 对
一切 恒成立，则实数 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】由题意，数列 的前 项和为 ，由“均值数列”的定义可得 ，所以 ，
当 时， ；当 时， ，
也满足 ，所以 ，
所以 ，
所以 ，
又 对一切 恒成立，
所以 ，整理得 ，解得 或 .
即实数 的取值范围为 .
故选：D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.（2022-2023·南通、泰州、扬州、徐州、淮安、连云港、宿迁、盐城·二模）已知数列{an}的前n项和
为 ， ，若 ，则k可能为（ ）
A．4 B．8 C．9 D．12
【答案】AC
【解析】 ，
当 时，由 ，
解得 或 （舍去），所以A选项正确.
，
， ，所以B选项错误.
，所以C选项正确.
，
所以 ，所以D选项错误.
故选：AC
10.对于给定数列 ，如果存在实数t，m，对于任意的 均有 成立，那么我们称数列为“M数列”，则下列说法正确的是（ ）
A．数列 是“M数列”
B．数列 不是“M数列”
C．若数列 为“M数列”，则数列 是“M数列”
D．若数列 满足 ， ，则数列 是“M数列”
【答案】ACD
【解析】对于选项A，由“M数列”定义，得 ，即 ，存在
， 对于任意的 都成立，故选项A正确；
对于选项B，由“M数列”定义，得 ，即 ，存在 ， 对
于任意的 都成立，故选项B错误；
对于选项C，若数列 为“M数列”，则 ， 所以 ，
存在m=0成立所以数列 是“M数列”，故选项C正确；
对于选项D，若数列 是“M数列”，则 ，可得 ，即
，故 ，对于任意的 都成立，则 所以
， 或 .当 ， 时， ，此时数列 是“M数列”；当 时，
，此时数列 是“M数列”，故选项D正确.
故选：ACD.
11.（2023秋·山东德州·高三期中统考）已知等比数列 的公比为整数， 是数列 的前 项
和，若 ， ，则（ ）
A. B.
C. 数列 是公比为 的等比数列 D. 数列 是公差为 的等差数列
【答案】BD
【解析】依题意，设公比为 ，又 ，由 ， 可得 ，
显然 ，进而可得 ，
则 ，
由于公比为整数，所以 ，则 ，故A错误，
，故B正确，
由A知， ，
而 ， ，则 不为常数，故C错误，
， ，
故 为常数，
故 是公差为 的等差数列，D正确，
故选：BD
12.（2023秋·广东广州·高三三校（铁一、广外、广大附中）期中联考分形几何学是数学家伯努瓦·曼
德尔布罗在20世纪70年代创立的一门新的数学学科，分形几何学不仅让人们感悟到数学与艺术审美的统
一，而且还有其深刻的科学方法论意义.按照如图甲所示的分形规律可得如图乙所示的一个树形图：
记图乙中第 行白圈的个数为 ，黑圈的个数为 ，则下列结论中正确的是（ ）
A. B.
C. 当 时， 均为等比数列 D.
【答案】BCD【解析】由题意可知， ， ， ，且有 ，故
，
所以 是以1为首项，3为公比的等比数列， 是以1为首项，1为公比的等比数列，故C
选项正确；
由 是以1为首项，3为公比的等比数列， 是以1为首项，1为公比的等比数列，
则 ， ，所以解得
，故B选项正确；
，故D选项正确；
，故A选项错误.
故选：BCD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2023秋·江苏南通如皋·高三期中统考）已知等差数列 前3项和 ， ， ，
成等比数列，则数列 的公差 _______________．
【答案】 或
【解析】由 ，可知 ，即 ，
又 ， ， 成等比数列，
所以 ，
即 ，解得 或 ，
故答案为： 或2
14.（2023·北京·统考高考真题）我国度量衡的发展有着悠久的历史，战国时期就已经出现了类似于砝
码的、用来测量物体质量的“环权”．已知9枚环权的质量（单位：铢）从小到大构成项数为9的数列
，该数列的前3项成等差数列，后7项成等比数列，且 ，则 ；
数列 所有项的和为 ．【答案】 48 384
【解析】空1：因为 为等比数列，则 ，
且 ，所以 ；
又因为 ，则 ；
空2：设后7项公比为 ，则 ，解得 ，
可得 ，所以
.
故答案为：48；384.
15.已知数列 满足 ， ，当 时， ______；若数列
的所有项仅取有限个不同的值，则满足题意的所有实数a的值为______.
【答案】 ①. ②. 2
【解析】∵
∴
∴ .
∵ ，∴ ，
∴ .
∴当 时， .因为 ，所以 .
要使 的所有项仅取有限个不同的值，则 ，此时 ， .
否则 时， 取值有无穷多个.
故答案为： ；2.
16.已知数列 的前 项即为 ，且 ，若对任意 ，都有 ，则 的取值范围是
.
【答案】
【解析】 数列 的前 项即为 ，且
，
，
两式相减可得： ，
. ， 单调递增，即 .
， ， .
又 若对任意 ，都有 ，即 ， .
故答案为： .
