文档内容
专题20 函数中的数列问题
一、单选题
1．已知一次函数 的图像经过点 和 ，令 ，记数列
的前项和为 ，当 时， 的值等于（ ）
A．24 B．25 C．23 D．26
【解析】∵一次函数 的图像经过点 和 ，可得 ，
解得 ，∴ ， ，
， ，得 ．
故选：A.
2．已知函数 的图象在点 处的切线的斜率为3，数列 的前n项和为 ，则
的值为（ ）
A． B． C． D．
【解析】由题意得： ， ，解得： ，
，
.故选：D
3．著名科学家牛顿用“作切线”的方法求函数的零点时，给出了“牛顿数列”，它在航空航天中应用广泛.其定义是：对于函数 ，若数列 满足 ，则称数列 为牛顿数列，若函数
，且 ，则 的值是（ ）
A．8 B．2 C．-4 D．-6
【解析】因为 ，则 ，
则 ，故 ，
所以数列 是以首项 ，公差为 的等数列，可得 .故选：D.
4．已知函数 ，数列 满足 ， ， ，则
（ ）
A．0 B．1 C．675 D．2023
【解析】 的定义域为 ，且 ，
故 为 上的奇函数.而 ，
因 在 上为增函数， 在 为增函数，故 为 上的增函数.
又 即为 ，故 ，
因为 ，故 为周期数列且周期为3.
因为 ，所以 .故选：B.
5．已知函数 ，数列 满足 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【解析】由于 的定义域为 ,所以 ，所以 为奇函数，因此由 得 ，
由 得 ，
所以数列 为周期数列且周期为4，
又 ，故 ，故选：D
6．设 是定义在 上的奇函数，且满足 ， ．数列 满足 ，
，则 （ ）
A．0 B．－1 C．2 D．－2
【解析】对于数列 满足 ，且 ，变形可得： ，
即 ，
则有：
.所以 ，所以 .
因为 是定义在 上的奇函数，所以 且 .
因为 ，则有： ，
则有 ，即 是以3为周期的周期函数.
所以 .故选：D
7．已知数列 满足 ，且 ，数列 满足 ， ，则 的最小值为（ ）．
A． B．5 C． D．
【解析】由数列 满足 ， ，
根据等差数列的定义知，数列 是首项为 ，公差为2的等差数列，
所以 ， ，
当 时，
，
又 满足 ， ，所以 .
设 ，根据对勾函数的性质可知，
当 时， 单调递减；当 时， 单调递增.
又 ， ，所以，当 时， 有最小值为 .故选：D.
8．设曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 ，则数列 的前2023项的积为（
）
A． B． C． D．
【解析】因为 ，
所以，曲线 在点 处的切线斜率为 ，
所以，曲线 在点 处的切线方程为 ，
所以，曲线 在点 处的切线与 轴交点的横坐标为 ，
所以，数列 的前 项的积为 ，所以，数列 的前2023项的积为 .故选：D
二、多选题
9．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列有
关数列 的叙述正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【解析】 选项， ， 正确；
B选项，因为 ，当 时， ， 单调递增，
所以 ，下证 ：
当 时， ，命题成立；
假设 时，命题成立，即 ，则 ，即 时，命题也成立，
所以对任意 ，都有 ，B正确；
C选项，因为 ，所以 ，C错误；
D选项，令 ， ，
所以 在 单调递增，所以 ，
所以 ，则 ，
所以 ，即 ，
所以 ，所以D错误．故选：AB．
10．已知公比为 的正项等比数列 ，其首项 ，前 项和为 ，前 项积为 ，且函数在点 处切线斜率为1，则（ ）
A．数列 单调递增 B．数列 单调递减
C． 或5时， 取值最大 D．
【解析】对A：因为 ，
故
则 ， ，解得 ，
又 ，且数列 是正项数列，故可得 ，故该数列单调递减，A错误；
对B： ，由A知： ，故 ，
故数列 单调递减，B正确；
对C：由A可知： ，又 ，
故数列 的前4项均为大于 的正数，从第 项开始均为小于1的正数，
故当 或 时， 取得最大值，C正确；
对D：因为 ，故 ，因为 ，
故可得 ，即 ，故D正确；
故选：BCD.
11．已知函数 ，数列 的前 项和为 ，且满足 ， ，则下列有关数列
的叙述不正确的是（ ）A． B． C． D．
【解析】由 知， ，
故 为非负数列，又 ，
设 ，则 ，
易知 在 ， 单调递减，且 ，
又 ，所以 ，从而 ，
所以 为递减数列，且 ，故 、 错误；
又 ，故当 时，有 ，
所以 ，故 错误；
又 ，而 ，故 正确．
故选 ．
12．定义在 的函数 满足 ，且 ， 都有
，若方程 的解构成单调递增数列 ，则下列说法中正确的是（ ）
A．
B．若数列 为等差数列，则公差为6
C．若 ，则
D．若 ，则【解析】因为 都有 ，
令 ，则 ，即 ，可知 在 内的图象关于点 对称，
根据题意作出 在 内的图象，如图所示：
对于选项A：因为定义在 的函数 满足 ，
则 ，故A正确；
对于选项B：由图象可知：若数列 为等差数列，则 ，
此时 与 在 内有且仅有一个交点，
因为 ，则 ，所以公差为6，故B正确；
对于选项C：若 ，则 ，
可得 ，
则 ，即 与 在 内有且仅有2个交点，
结合图象可得 ，故C错误；
对于选项D：若 ，则 与 在 内有且仅有3个交点，且 ，
因为 ，则 ，
所以数列 是以首项为7，公差为12的等差数列，
可得 ，所以 ，故D正确；
故选：ABD.
三、填空题
13．设 且 ，已知数列 满足 ，且 是递增数列，则a的取值范围是
__________．
【解析】因为 是递增数列，所以 解得 ，
14．数列 中， ．定义：使数列 的前 项的积为整数的数 叫做期
盼数，则区间 内的所有期盼数的和等于______.
【解析】因为 ，
所以 ，
设 ，则 ，所以 为 的整数次幂，因为 ，所以 ，
故满足条件的 ， ， ， ， ， ， ， ， ，
故区间 内的所有期盼数的和为：
．
15．函数 （ ）的所有极值点从小到大排列成数列 ，设 是 的前n项和，给
出下列四个结论：
①数列 为等差数列；
② ；
③ 为函数 的极小值点；
④ .其中所有正确结论的序号是______．
【解析】 ，令 可得 或 ， ，
易得函数的极值点为 或 ， ，
从小到大为 ， ，不是等差数列，①错误；
，②正确；
因为 ， ，
函数 在区间 上为减函数，在区间 上为增函数，
所以 为函数 的极小值点，③正确；
，
，
则根据诱导公式得
，④正确；
故答案为：②③④．
16．若函数 使得数列 （ ， ）为严格递增数列，则称函数 为“数列 的
保增函数”．已知函数 为“数列 的保增函数”，则实数 的取值范围为__________．
【解析】由题意可得， , ，即 ，即 对 恒成立，由于函数 在 上单调递增，所以 ，
所以 所以
四、解答题
17．令 ，对抛物线 ，持续实施下面牛顿切线法的步骤：
在点 处作抛物线的切线交x轴于
在点 处作抛物线的切线交x轴于
在点 处作抛物线的切线交x轴于
由此能得到一个数列 ，回答下列问题：
(1)求 的值
(2)设 ，求 的解析式．
【解析】（1） ，可得 ，所以 ，
所以切线方程为： ，令 可得 ，即 ．
（2）因为 ，所以 在 处的切线斜率为 ，
所以切线方程为： ，令 ，得 ，
∴ ，即 ，∴ 的解析式： ．
18．已知函数 ，将满足 的所有正数 从小到大排成数列 证明：数列
为等比数列.
【解析】因为 ，所以 ，
由 ，得 ，即 ，解得 ， 为整数，
从而 ，∴ ，∴ ，
∴数列 是公比 的等比数列，且首项 .
19．已知对于任意 函数 在点 处切线斜率为 ，正项等比数列 的公比
，且 ，又 与 的等比中项为2．
(1)求数列 的通项公式；
(2)求数列 的前n项和 ．
【解析】（1）由题意 ，∴ ；
由题可得 ，所以 或 （舍）
所以 ， ；
（2）由题可知 ，所以 ，
，
所以 ，
，即 .
20．已知函数 的所有正的零点构成递增数列 .(1)求数列 的通项公式；
(2)设 ，求数列 的前 项和 .
【解析】（1）因为 ，
令 可得 ，即 ，
解得 ，因为 为所有正的零点构成的，
故 ，且 ，故 为以 为首项，1为公差的等差数列，
即 ；
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以
①，
所以 ②，
①-②可得：
，故 .
21．已知数列 的前 项和为 ，对一切正整数 ，点 都在函数 的图像上，且过点 的切线的斜率为 ．
(1)求数列 的通项公式．
(2)若 ，求数列 的前 项和 ．
【解析】（1） 点 都在函数 的图像上， ，
当 时， ，
当 时， 满足上式，所以数列 的通项公式为
（2）由 求导可得 ，
过点 的切线的斜率为 ， ， ，
①
由①×4，得 ②
①－②得：
，
.
22．已知函数 ， ， ．令 ， ．
(1)求数列 的通项公式；
(2)证明： ．【解析】（1）由 ， 得 ，∴ ，
因此 ，即 ，∴ 为等比数列，公比为 ，首项为 ．
故 ，即 ；
（2）由（1）知 ，要证 ，即证 ，
也即证 ，这只需证 ，
令 ，则 ，
当 时， ，当 时， ，
所以函数 在 上递增，在 上递减，所以 ，
即 ，当且仅当 时等号成立，令 ，得 ，
∴ ，
即 ．
