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决胜 2024 年高考数学复习“8+4+4”小题强化训练(42)
(空间几何体的表面积和体积)
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1.已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】】绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得： ，
结合勾股定理，底面半径 ，
由圆柱的体积公式，可得圆柱的体积是 ，
故选:B.
2.（2020全国I文理3）埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一，它的形状可视为一个正四棱锥，以该
四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积，则其侧面三角形底边上的高与底面
正方形的边长的比值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【解析】如图，设 ，则 ，由题意 ，即
，化简得 ，解得 （负值舍去），
故选：C．
3.（2023秋·江苏启东·高三期中统测）学校以“布一室馨香，育满园桃李”为主题开展了系列评比活动，动
员师生一起为营造舒心愉悦的学习生活环境奉献智慧．张老师特地培育了一盆绿萝放置在教室内，绿萝底
部的盆近似看成一个圆台，圆台的上、下底面半径之比为 ，母线长为 ，其母线与底面所成的角
为 ，则这个圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】如图所示：过点 作 与点 ，不妨设上下底面圆圆心分别为 ，半径分别为 ，圆台
的高 ，
由题意母线 长为 ，其母线 与底面所成的角为 ，即 ，
从而 ， ，
又圆台的上、下底面半径之比为 ，即 ，
所以 ，圆台上下两个底面的面积分别为
，
由圆台体积公式可知 .
故选：A
4.（2023秋·山东·高三山东省实验中学第二次检测）如图，圆锥的母线长为2，点M为母线 的中点，
从点M处拉一条绳子绕圆锥的侧面转一周到达B点，这条绳子的长度最短值为 ，则此圆锥的表面积为
（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】将圆锥侧面沿母线AB剪开，其侧面展开图为扇形，如图，
从点M处拉一条绳子，绕圆锥的侧面转一周达到B点，最短距离即为线段BM长，则有 ，而M是线段 中点，又母线长为2，于是得 ，即 ，
设圆锥底面圆半径为r，从而有： ，解得 ，
所以圆锥的表面积为 .
故选: .
5.（2023秋·广东汕头·高三期中统测）图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器 ，现往
内灌进一些水，设水深为 .将容器底面的一边 固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，
水面形状恰好为 ，如图2，则 （ ）
.
A 3 B. 4 C. D. 6
【答案】B
【解析】在图1中的几何体中，水的体积为 ，
在图2的几何体中，水的体积为 ，
因为 ，可得 ，解得 .
故选：B.
6.（2022·江苏·阜宁县高三·东沟中学校考）民间娱乐健身工具陀螺起源于我国，最早出土的石制陀螺是在
山西夏县发现的新石器时代遗址.如图所示的是一个陀螺的立体结构图.已知.底面圆的直径 ，圆
柱体部分的高 ，圆锥体部分的高 ，则这个陀螺的表面积是（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由题意可得圆锥体的母线长为 ，
所以圆锥体的侧面积为 ，
圆柱体的侧面积为 ，圆柱的底面面积为 ，
所以此陀螺的表面积为 （ ），
故选：C
7.（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方
形，直三棱柱的底面是顶角为 ，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【解析】该几何体由直三棱柱 及直三棱柱 组成，作 于M，如图，
因为 ，所以 ，
因为重叠后的底面为正方形，所以 ,
在直棱柱 中， 平面BHC，则 ,
由 可得 平面 ，
设重叠后的EG与 交点为
则则该几何体的体积为 .
故选：D.
8.（2020届安徽省“江南十校”高三综合素质检测）如图，在平面四边形 中，满足
，且 ，沿着 把 折起，使点 到达点 的位置，且使
，则三棱锥 体积的最大值为（ ）
A．12 B． C． D．
【答案】C
【解析】在 和 中， ，所以 ，则 ，
过 作 于 ，连接 ，显然 ，则 ，且 ，
又因为 ，所以 平面 ，
所以 ，
当 最大时， 取得最大值，取 的中点 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以点 在以 为焦点的椭圆上（不在左右顶点），其中长轴长为10，
焦距长为8，
所以 的最大值为椭圆的短轴长的一半，故 最大值为 ，
所以 最大值为 ，故 的最大值为 ，
故选：C。二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,
全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．
9.一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 相等，下列结论正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面积为 B. 圆锥的侧面积为
C. 圆柱的侧面积与球的表面积相等 D. 球的体积是圆锥体积的两倍
【答案】ACD
【解析】对于A， 圆柱的底面直径和高都等于 ，
圆柱的侧面积 故 A正确；
对于B， 圆锥的底面直径和高等于 ，
圆锥的侧面积为 ，故B错误；
对于C， 圆柱的侧面积为 ，
球的表面积 ，即圆柱的侧面积与球的表面积相等，故C正确；
对于D，球的体积为 ，圆锥的体积为 ，
即球的体积是圆锥体积的两倍，故D正确．
故选：ACD．
10.已知三棱锥 的顶点均在半径为5的球面上， 为等边三角形且外接圆半径为4，平面
平面 ，则三棱锥 的体积可能为（ ）
A．20 B．40 C．60 D．80
【答案】AB
【解析】如图，
设三棱锥 的外接球的球心为 ，则 ，
设 外接圆的圆心为 ，则 ，连接 ，则 平面 ，可得 ，
设 的边长为 ，由 ，得 ．
平面 平面 ，当 为等腰三角形且 时， 到底面 的距离最大，
设为 ，则 ．
又 ，
三棱锥 的体积的最大值为 ．
则三棱锥 的体积的取值范围为 ．
结合选项可得，三棱锥 的体积可能为AB．
故选：AB
11.（2023秋·广东佛山·高三统测）清初著名数学家孔林宗曾提出一种“蒺藜形多面体”，其可由两个正交的
正四面体组合而成，如图1，也可由正方体切割而成，如图2．在图2所示的“蒺藜形多面体”中，若
，则给出的说法中正确的是（ ）
A. 该几何体的表面积为
B. 该几何体的体积为4
C. 二面角 的余弦值为
D. 若点P，Q在线段BM，CH上移动，则PQ的最小值为
【答案】BCD
【解析】因为 ，所以 ．蒺藜形多面体的表面可看作是八个全等的棱长
为 的小正四面体构成，故该几何体的表面积为 ，A错误．
该几何体的体积为 ，B正确．设EF的中点为 ，连接OB，OH，则 ,
则 即二面角 的平面角． ，
，C正确．
建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，
，当且
仅当 ， 时，等号成立．故PQ的最小值为 ，D正确．
故选：BCD
12.如图，在棱长为a的正方体 中，M，N分别是AB，AD的中点，P为线段 上的动点
（不含端点），则下列结论中正确的是（ ）A．三棱锥 的体积为定值
B．异面直线BC与MP所成的最大角为45°
C．不存在点P使得
D．当点P为 中点时，过M、N、P三点的平面截正方体所得截面面积为
【答案】AD
【解析】点 到平面 的距离为 为定值，
又 ，
所以 ，即三棱锥 的体积为定值，故 正确；
设 中点为 ，连接 ，
则 即为异面直线 与 所成的角
在 中，
所以异面直线 与 所成的最小角为45°，故 不正确；
若 为 中点，则 ，所以 ，又 ， ，所以 平面
， 平面 ，所以 ，故 不正确；
取 的中点 ， 的中点 ， 的中点 ，连接 、 、 、 、 ，所以过 、 、 三点的平面截正方体所得截面为正六边形，面积为 ，故 正确．
故选：AD．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，多空题，第一空2分，第二空3分，共20分．
13.（2022·山东济南外国语学校高三模拟）已知三棱锥有一个面是边长为2的正三角形，两个面为等腰直
角三角形，该三棱锥的体积可能为___________.(只需要写出一个即可，不必全部写出)
【答案】 (或 或 )
【解析】如图所示：
①若 平面 ， 为边长为2的正三角形， ， 都是等腰直角三角
形，满足题目条件，故其体积为 ．
②若 平面 ， 为边长为2的正三角形， ， 都是等腰直角三角
形，满足题目条件，故其体积为 ．
③若 为边长为2的正三角形， 都是等腰直角三角形，
， ，满足题目条件，取 中点 ，因为 ，而 ，所以
，即有 平面 ，故其体积为 ．
故答案为： (或 或 )．14.（2023·广东·高三执信、深外、育才等学校12月联考）“升”是我国古代测量粮食的一种容器，在“升”装
满后用手指成筷子沿升口刮平，这叫“平升”，如图所示的“升”，从内部测量，其上、下底面均为正方形，
边长分别为 和 ，侧面是全等的等腰梯形，梯形的高为 ，那么这个“升”的“平升”可以装
__________mL的粮食．（结果保留整数）
【答案】1167
【解析】根据题意画出正四棱台的直观图，其中底面 是边长为20cm的正方形，底面 是边
长为10cm的正方形，侧面等腰梯形的高 cm，记底面ABCD和底面 的中心分别为
与 ，则 是正四棱台的高，
过 作平面 的垂线，垂足为 ，则 ，且 , ,
则 , ,
则 ,
侧面 是等腰梯形，
,则 ,则棱台的高 ,
则由棱台的体积公式得 mL,
故答案为：1167.
15.（2019•新课标Ⅲ，理16文16）学生到工厂劳动实践，利用 打印技术制作模型，如图，该模型为长
方体 ，挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中心， ， ， ，
，分别为所在棱的中点， ， ， 打印所用原料密度为 ，不考虑打
印损耗，制作该模型所需原料的质量为 ．
【答案】118．8
【解析】该模型为长方体 ，挖去四棱锥 后所得的几何体，其中 为长方体的中
心， ， ， ， ，分别为所在棱的中点， ， ，
该模型体积为：
， 打印所用原料密度为 ，不考虑打印损耗， 制作该模型所需原料的
质量为： ．
故答案为：118．8
16.（2023秋·湖南·高三九校联盟联考）如图所示，有两个相同的直三棱柱，高为 ，底面三角形的三边长
分别为3a，4a， ．用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一
个四棱柱，则a的取值范围是________．【答案】
【 解 析 】 拼 成 一 个 三 棱 柱 时 ， 全 面 积 有 三 种 情 况 ： ① 上 下 底 面 对 接 ， 其 全 面 积 为
.
② 边合在一起时，全面积为 .
③ 边合在一起时，全面积为 .
拼成一个四棱柱时，有四种情况，全面积有三种情况：
让边长为 所在的侧面重合，其上下底面积之和都是 ，
但侧面积分别为 ，
显然，三种情况中全面积最小的是 ；
为
因 比 小，所以由题意得 ，
解得 .故答案为： .
