文档内容
第 21 练 空间几何体
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面
积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
设圆锥的母线长为 ，则 ，解得 ，则该圆锥的表面积为 .
故选：C.
2．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为 ，则该四棱
柱的高为（ ）
A． B．2 C． D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为 ，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
3．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中 ，则以下
说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形 B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形 D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角
形
【答案】C
【详解】
解：将其还原成原图，如图，
设 ，则可得 ， ，
从而 ，
所以 ，即 ，故 是等腰直角三角形.
故选：C.
4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
因为圆柱的底面半径和高都是 ，所以圆柱的侧面积 .
故选：B.
5．圆柱内有一个球 ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为 ，
则球 的体积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】
设球 的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以 ，解得： ，
则球 的体积为
故选：A
6．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到
的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台
形容器的高为（ ）
A． cm B．1cm C． cm D． cm
【答案】D
【详解】由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为 ， ，
则 ， ，解得 ， ．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为 和 ，腰长为 ，
即 ,过点 作 , 为垂足，
所以 ，
该圆台形容器的高为 ，
故选：D．
7．在矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，沿 将四边形
折起，使 ，若折起后点 ， ， ， ， ， 都在球 的表面上，则
球 的表面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
因为矩形 中， ，点 ， 分别是 ， 的中点，
所以四边形 和四边形 是正方形，
又沿 将四边形 折起，使 ，
所以几何体 是正三棱柱， ，
设球 的球心 在底面 的射影为 ，因此 ，
显然 是等边三角形 的中心，
，
在直角三角形 中， ，
所以球 的表面积为 ，
故选：C8．在 中， ， ，若将 绕直线BC旋转一周，则所形成
的旋转体的体积是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】
旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
作出简图：
所以 ， ，
所以旋转体的体积： .
故选：B.
9．已知S，A，B，C是球O表面上的点， 平面ABC，AB⊥BC， ，
，则球O的表面积等于（ ）
A． B． C． D．【答案】A
【详解】
因为 、 、 、 是球 表面上的点，
所以
又 平面 ， 平面 ，
所以 ， ， ，
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ，而 平面 ，
所以 ，
所以可得 为 的中点， ， ，
所以 ，
所以球 的半径径为 ，
所以球 表面积为 ．
故选：A．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为 ，且
，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】
∵ 球的体积为 ，所以球的半径 ,
设正四棱锥的底面边长为 ，高为 ，
则 ， ,
所以 ，所以正四棱锥的体积 ，
所以 ，
当 时， ，当 时， ，
所以当 时，正四棱锥的体积 取最大值，最大值为 ，
又 时， ， 时， ,
所以正四棱锥的体积 的最小值为 ，
所以该正四棱锥体积的取值范围是 .
故选：C.
二、多选题
11．在边长为2的菱形 中， ， ，垂足为点E，以DE所在的直线
为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台 B．该几何体的高为
C．该几何体的表面积为 D．该几何体的体积
【答案】BCD
【详解】
解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，
该几何体的高为 ，
该几何体的表面积为
，
体积为 .
故选：BCD
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularsolid），是由边数不全相同的正
多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三
条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正
方形的一种半正多面体，已知 ，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有
（ ）A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式
【答案】ABD
【详解】
如图，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.
对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：
，故正确；
对于B，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，所以 ，故
正确.
对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为 ，侧棱长为2
的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积 ，故
错误；
对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足 ，故正确.
故选：ABD
13．已知正方体 的棱长为 ，则（ ）A．正方体的外接球体积为 B．正方体的内切球表面积为
C．与 异面的棱共有4条 D．三棱锥 与三棱锥 体积
相等
【答案】ACD
【详解】
∵正方体外接球的半径 ,内切球的半径
∴正方体的外接球体积为 ，内切球表面积为
A正确，B不正确；
与 异面的棱有 ，共有4条，C正确；
∵ ，则三棱锥 与三棱锥 的高 ，底面积
，故体积相等，D正确；
故选：ACD．
三、填空题
14．将一个棱长为 的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，若要求该正四面体能在正
方体容器中自由旋转，则该正方体容器的棱长的最小值为___________.
【答案】2
【详解】
由题若正四面体能在正方体容器中自由旋转，
则当正方体最小时，其内切球是该正四面体的外接球，
又由棱长为 的正四面体的外接球半径 ，
此时正方体的棱长为 .
故答案为： .15．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为 的球面上，圆柱底面半径为 ，则该
圆柱的表面积为__________．
【答案】
【详解】
设圆柱外接球半径为： ，圆柱的母线长为： ，
由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，
所以外接球球心到底面的距离为圆柱母线的一半： ，
所以 ，又 ，解得 ， ，
所以圆柱的表面积为： .
故答案为： .
四、解答题
16．已知正四棱柱 ，其中 ．
(1)若点 是棱 上的动点，求三棱锥 的体积．
(2)求点 到平面 的距离
【答案】(1) (2)
【解析】(1)
实际上需求三棱锥 的体积．
由正四棱柱，
角形 的面积为
因为P是棱 上的动点且 与平面 平行，则只需写出 与平面 间的距离即可．
由于 平面 ，不妨记三棱锥的高为
则三棱锥 的体积
(2)
以D为原点，如图建立空间直角坐标系．
则
可知
设平面 的法向量为
则
不妨设 ，同时设点 到平面 的距离为d
则
故点 到平面 的距离为
17．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥 ，求：
(1)截去的三棱锥 的体积；
(2)剩余的几何体的表面积．【答案】(1) (2)
【解析】(1)
∵正方体 的棱长为1，
三棱锥 的体积
(2)
是边长为 的等边三角形， ，
∴ ，
，
所以剩余几何体表面积为 ．
18．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其
中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分
和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为 ，高为 ，圆锥的母线长为 ．
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【答案】(1) (2) 元
【解析】(1)
设圆柱的底面半径r，高为h；圆锥的母线长为l，高为h
1，
则 ，则
；
(2)
圆柱的侧面积 ，圆柱的底面积 ，
圆锥的侧面积 ，
所以：＂笼具＂表面积 ，
故：50个＂笼具＂的总造价为： ．
答：现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”共需 元．
