2025———2026 学年第二学期期中考试
高一数学试卷参考答案
一、单选题
1 - 4
ACBD
5 - 8
CDCB
二、多选题
9. ACD
10. AD
11. BCD
三、填空题
12. 8 + 4 2
13. 49 14. [2 6 ,31
5 )
四、解答题
15. 解:(1) 设圆锥底面半径为r,圆柱底面半径为r′,
因为过PO 的中点O′ 作平行于底面的截面,以该截面为底面挖去一个圆柱,
可得r = a
2 ,r′ = a
4 ,
……2 分
且圆柱母线长l′ = a
2 ,
……3 分
∴
圆柱的表面积为:S表= 2πr′2 + 2πr′l′ = 2π·( a
4 ) 2 + 2π· a
4 · a
2 = 3
8 πa2
……6 分
(2) 圆锥PO 的体积为V1 = 1
3 πr2·OP = 1
3 π·( a
2 ) 2·a = 1
12πa3
……8 分
挖去的圆柱体积为V2 = πr′2·OO′ = π·( a
4 ) 2· a
2 = 1
32πa3
……10 分
∴
剩下几何体的体积V = V1 - V2 = 1
12πa3 - 1
32πa3 = 5
96πa3.
……12 分
16. 解:(1) 与b 方向相同的单位向量为e =
b
| b | = 1
4 b.
……2 分
所以向量a 在向量b 上的投影向量为| a |·cos60°·e = 6 × 1
2 × 1
4 b = 3
4 b
……5 分
(2) 由已知得a·b =| a | | b | cos60° = 6 × 4 × 1
2 = 12.
……6 分
所以b·(a - 3b) = a·b - 3b2 = 12 - 3 × 16 = - 36
……7 分
又因为| a - 3b | 2 = (a - 3b) 2 = a2 - 6a·b + 9b2 = 36 - 72 + 144 = 108, ……9 分
所以| a - 3b | =
108 = 6 3
……10 分
高一数学答案 第1 页 (共4 页) (2026. 4)
{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
设b 与a - 3b 的夹角为θ(0° ≤θ ≤180°)
则cosθ = b·(a - 3b)
| b | | a - 3b | =
- 36
4 × 6 3
= -
3
2 ,
……12 分
所以θ = 150°.
……13 分
17. 解:(1)
z2
z1
= - 1 + ai
2 + i
= ( - 1 + ai)(2 - i)
(2 + i)(2 - i)
……1 分
= a - 2
5
+ 2a + 1
5
i
……3 分
因为
z2
z1
是纯虚数,所以
a - 2
5
= 0
2a + 1
5
≠0
ì
î
í
ï
ï
ïï
,
……5 分
解得a = 2.
……6 分
(2) 由(1) 知,z2 = - 1 + 2i,
……7 分
因为z2 是关于x 的方程2x2 + mx + n = 0(m,n ∈R) 的一个根,
则2( - 1 + 2i) 2 + m( - 1 + 2i) + n = 0,
……8 分
即( - 6 - m + n) + ( - 8 + 2m)i = 0,
……10 分
所以- 6 - m + n = 0
- 8 + 2m = 0
{
,
……12 分
∴
m = 4
n = 10
{
.
……13 分
18. 解:(1)∵ m ∥n,∴ asinB =
3 bcosA,
……2 分
由正弦定理a
sinA =
b
sinB,得asinB = bsinA,
……3 分
∴ bsinA =
3 bcosA, ∴ sinA =
3 cosA,即tanA =
3
……5 分
∵ 0 < A < π, ∴ A = π
3 .
……6 分
(2)∵
点M 为△ABC 的内心, ∴ AD 为△ABC 的角平分线,
∴ ∠BAD = ∠CAD = π
6
……7 分
∵ S△ABD =
1
2 AB·AD·sin∠BAD,S△ACD =
1
2 AC·AD·sin∠CAD,
S△ABC =
1
2 AB·AC·sin∠BAC,而S△ABD + S△ACD = S△ABC,
∴
1
2 c·2·sin π
6 + 1
2 b·2·sin π
6 = 1
2 c·b·sin π
3
……8 分
整理得2(b + c) =
3 bc
……9 分
高一数学答案 第2 页 (共4 页) (2026. 4)
{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
由余弦定理a2 = b2 + c2 - 2bccosA,可得b2 + c2 - bc = 12
∴ (b + c) 2 - 3bc = 12,
……10 分
将3 bc = 2(b + c) 代入可得,(b + c) 2 - 2 3 (b + c) - 12 = 0
……11 分
解得b + c =
3 ±
15 , ∵ b + c > 0, ∴ b + c =
3 +
15 .
……12 分
∴ △ABC 的周长为a + b + c = 2 3 +
3 +
15 = 3 3 +
15
……13 分
19. 解:(1) 证明:在四棱锥P - ABCD 中,BC ∥平面PAD,BC ⊂平面ABCD,
平面ABCD ∩平面PAD = AD,
∴ BC ∥AD.
……1 分
取PA 的中点F,连接BF,EF,
∵ E 是PD 的中点, ∴ EF ∥AD,且EF = 1
2 AD.
……2 分
∵ BC ∥AD 且BC = 1
2 AD, ∴ EF ∥BC 且EF = BC,
……3 分
∴
四边形EFBC 为平行四边形, ∴ CE ∥BF.
……4 分
又BF ⊂平面PAB,CE ⊄平面PAB,
……5 分
∴ CE ∥平面PAB.
……6 分
(2) 解:线段AD 上存在点N,使得MN ∥平面PAB,
……7 分
理由如下:
取AD 中点N,连接CN,EN.
∵ E,N 分别为PD,AD 的中点, ∴ EN ∥PA, ……9 分
∵ EN ⊄平面PAB,PA ⊂平面PAB,
∴ EN ∥平面PAB.
……10 分
又CE ∥平面PAB,CE ∩EN = E,CE,EN ⊂平面CEN,
∴
平面CEN ∥平面PAB.
……11 分
∵ M 是CE 上的动点,MN ⊂平面CEN, ∴ MN ∥平面PAB,
……12 分
∴
线段AD 上存在点N,且N 是AD 的中点,使得MN ∥平面PAB.
……13 分
20. 解:(1)∵ D 为BC 中点, ∴ AD
→= 1
2 AB
→+ 1
2 AC
→
……1 分
又 ∵ G 为△ABC 的重心, ∴ AG
→= 2
3 AD
→= 1
3 AB
→+ 1
3 AC
→,
∴ λ = μ = 1
3
……2 分
∴ 2λ - 3μ = 2
3 - 1 = - 1
3 .
……3 分
(2) 由(1) 得AG
→= 1
3 AB
→+ 1
3 AC
→= 1
3xAP
→+ 1
3yAQ
→,
∵ G,P,Q 三点共线, ∴
1
3x + 1
3y = 1
……4 分
高一数学答案 第3 页 (共4 页) (2026. 4)
{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
又 ∵ x > 0,y > 0,
∴ 4x + y = (4x + y)( 1
3x + 1
3y) = 1
3 (4x + y)( 1
x + 1
y ) = 1
3 (5 + y
x + 4x
y )
≥1
3 (5 + 2
y
x ·4x
y ) = 3(当且仅当y
x = 4x
y ,即x = 1
2 ,y = 1 时取等号)
……5 分
∴ 4x + y 的最小值为3.
……6 分
(3)GP
→=AP
→-AG
→= xAB
→- ( 1
3 AB
→+ 1
3 AC
→) = (x - 1
3 )AB
→- 1
3 AC
→
GQ
→=AQ
→-AG
→= yAC
→- ( 1
3 AB
→+ 1
3 AC
→) = - 1
3 AB
→+ (y - 1
3 )AC
→
……7 分
∵
| AB
→| =| AC
→| = 1,∠BAC = 60°,
∴ AB
→·AC
→=| AB
→| | AC
→| cos60° = 1 × 1 × 1
2 = 1
2
……8 分
∴
| GP
→| 2 = [(x - 1
3 )AB
→- 1
3 AC
→] 2 = (x - 1
3 ) 2AB
→2 - 2
3 (x - 1
3 )AB
→·AC
→+ 1
9 AC
→2
= (x - 1
3 ) 2 - 1
3 (x - 1
3 ) + 1
9 = x2 - x + 1
3
| GQ
→| 2 = [ - 1
3 AB
→+ (y - 1
3 )AC
→] 2 = 1
9 AB
→2 - 2
3 (y - 1
3 )AB
→·AC
→+ (y - 1
3 ) 2AC
→2
= 1
9 - 1
3 (y - 1
3 ) + (y - 1
3 ) 2 = y2 - y + 1
3
∴
| GP
→| 2 +| GQ
→| 2 = (x2 + y2) - (x + y) + 2
3 = (x + y) 2 - 2xy - (x + y) + 2
3
……10 分
由(2) 知, 1
3x + 1
3y = 1,即x + y = 3xy.
∴
| GP | 2 +| GQ | 2 = 9(xy) 2 - 5xy + 2
3 = 9(xy - 5
18) 2 - 1
36
……11 分
又x + y ≥2
xy , ∴ 3xy ≥2
xy ,
∴ xy ≥4
9 (当且仅当x = y = 2
3 时取等号)
……12 分
∵
4
9
> 5
18,
∴
当xy = 4
9 时, | GP
→| 2 +| GQ
→| 2 取得最小值:9 × ( 4
9 - 5
18) 2 - 1
36 = 2
9
即GP2 + GQ2 的最小值为2
9 .
……13 分
高一数学答案 第4 页 (共4 页) (2026. 4)
{#{QQABIYQoxgiY0ITACa6KUwEaCQqYkIAiLIgMBRAYqAxjSQFAFAA=}#}
